카플란스키의 추측

Kaplansky's conjectures

수학자 어빙 카플란스키는 홉프 알제브라에 대한 10가지 추측 목록을 포함한 수학의 여러 가지 분야에서 수많은 추측을 제안한 것으로 유명하다.그것들은 보통 카플란스키의 추측으로 알려져 있다.

그룹 링

K는 밭이 되고 G는 토션 없는 집단이 되게 하라.카플란스키의 무분할 추측은 다음과 같이 말하고 있다.

이와 관련된 두 가지 추측을 카플란스키의 덧없는 추측이라고 한다.

  • K[G]는 비종속적 특질 증분(예2: a = a, a = 1 또는 a = 0)을 포함하지 않는다.

그리고 카플란스키의 단위 추측(원래 그레이엄 히그먼에 의해 만들어졌고 카플란스키에 의해 대중화되었다):

  • K[G]는 비교 단위를 포함하지 않는다. 즉, ab = K[G]에서 1이면 k, G에서 일부 k의 경우 a = kg이다.

영분위 추측은 공적인 추측을 내포하고 단위 추정에 의해 암시된다.2021년을 기점으로 제로 디비저와 idempotent 추측이 열려 있다.그러나 이 단위의 추측은 2021년 2월 자일스 가르담에 의해 긍정적인 특징의 분야에 대해 반증되었다. 그는 arXiv에 대한 사전 인쇄물을 발표하여 백범례를 만들었다.[1][2][3]이 필드는 특성 2. (또한:피보나치군)

많은 계층의 그룹에 대한 공증약과 영분위 추론 둘 다의 증거가 있다.예를 들어, 영분위 추정은 사실상 해결 가능한 모든 그룹과 보다 일반적으로 잔여 비틀림 없는 해결 가능한 모든 그룹에 대해 유지되는 것으로 알려져 있다.이러한 해결책은 먼저 L 베티 수치에 대한 아티야 추측에 대한 결론을 정립하는 과정을 거치게 되며, 여기서부터 0분위수 추측이 쉽게 뒤따른다.

공증 추정은 감소된 그룹 C*-알제브라에 있는 요소들에 대해 카디슨-카플란스키 추측이라고도 알려진 일반적인 추측인 카디슨 공증 추측을 가지고 있다.이 상황에서 만약 파렐-존스 추측이 K[G]를 지탱한다면, 공증적 추측도 마찬가지인 것으로 알려져 있다.후자는 예를 들어 모든 쌍곡선 집단을 포함하여 극히 많은 집단의 집단에서 긍정적으로 해결되었다.

단위 추측도 여러 집단으로 나뉜다고 알려져 있지만, 부분적인 해법은 다른 두 집단보다 훨씬 덜 견고하다.예를 들어 모든 단위가 사소한 것인지 알 수 없는 비틀림 없는 3차원 결정체가 있다.이러한 추측은 다른 두 가지와 같은 분석적 진술에서 따라오는 것으로 알려져 있지 않기 때문에, 이 추론이 유지되는 것으로 알려진 사례는 모두 소위 고유한 제품 속성과 관련된 직접 결합 접근법을 통해 성립되었다.위에서 언급한 가르담의 저작에 의해, 지금은 일반적으로 사실이 아닌 것으로 알려져 있다.

바나흐 알헤브라스

이 추측에 따르면 바나흐 대수 C(X)에서 다른 바나흐 대수학으로의 모든 대수 동형성(X는 콤팩트한 하우스도르프 공간인 X의 연속적인 복합 가치 함수)은 반드시 연속적이다.그 추측은 C(X)의 모든 대수규범이 통상적인 균일규범과 동등하다는 진술과 동등하다. (카플란스키 자신은 일찍이 C(X)의 모든 완전한 대수규범이 균일규범과 동등하다는 것을 보여주었다.)

1970년대 중반, H. 가르스 달레스와 J. 에스테렐은 독립적으로 만약 한 사람이 연속체 가설의 타당성을 더 가정한다면, C(X)에서 일부 바나흐 대수까지 콤팩트한 하우스도르프 공간 X와 불연속적인 동형체가 존재하여 추측에 대한 억측력을 부여한다는 것을 증명했다.

1976년 R. M. Solovay(H. Woodin의 작업에 관한 건물)에서는 카플란스키의 추측이 사실인 ZFC(Zermelo-Fraenkel set 이론+선택의 공리) 모델을 전시하였다.따라서 카플란스키의 추측은 ZFC에서 이해할 수 없는 진술의 한 예다.

2차 형태

1953년 카플란스키는 u-invariants의 유한한 값이 오직 2의 힘만이 될 수 있다는 추측을 제안했다.[4][5]

1989년, 이 추측에 대해 알렉산더 메르쿠르예프는 어떤 짝수 m의 우이불변제들과도 논증했다.[4]1999년 올레그 이즈볼딘은 u-invariant m = 9로 밭을 만들었는데, 이 밭은 이상한 u-invariant의 첫 번째 예였다.[6]2006년에 알렉산더 비식(Alexander Vishik)[7]은 3부터 시작하는 정수 k에 대해 u-invariant m= + }를가진 필드를 시연했다.

참조

  1. ^ Gardam, Giles (2021-02-23). "A counterexample to the unit conjecture for group rings". Annals of Mathematics. 194 (3): 967–979. arXiv:2102.11818. doi:10.4007/annals.2021.194.3.9. S2CID 232013430.
  2. ^ "Interview with Giles Gardam". Mathematics Münster, University of Münster. Retrieved 2021-03-10.
  3. ^ Erica Klarreich (April 12, 2021). "Mathematician Disproves 80-Year-Old Algebra Conjecture". Quanta Magazine. Retrieved 2021-04-13.
  4. ^ a b Merkur'ev, A. S. (1991). "Kaplansky conjecture in the theory of quadratic forms". J Math Sci. 57 (6): 3489. doi:10.1007/BF01100118. S2CID 122865942.
  5. ^ Kaplansky, I. (1951). "Quadratic forms". J. Math. Soc. Jpn. 5 (2): 200–207. doi:10.2969/jmsj/00520200.
  6. ^ Izhboldin, Oleg T. (2001). "Fields of u-Invariant 9". Annals of Mathematics. Second Series. 154 (3): 529–587. doi:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
  7. ^ Vishik, Alexander (2009). "Fields of u-Invariant 2^r + 1". Algebra, Arithmetic, and Geometry. Progress in Mathematics. 270: 661. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ISBN 978-0-8176-4746-9.
  • H. G. Dales, 자동 연속성: 조사.런던 수학.Soc. 10(1978), 2번, 129–183.
  • W. 뤼크, L-Invariants2: 기하학과 K-이론에 대한 이론과 응용.베를린:Springer 2002 ISBN 3-540-43566-2
  • D.S. 패스먼, 그룹 링의 대수학적 구조, 순수 및 응용 수학, 와일리-인터사이언스, 1977년 뉴욕.ISBN 0-471-02272-1
  • M. Puschnigg, The Kadison-Kaplansky uspression for word-hyperbolic groups.발명하다.수학. 149(2002), 1번, 153–194.
  • H. G. Dales와 W. H. Woodin, 분석가들을 위한 독립에 대한 소개, 1987년 캠브리지