코스탄트의 볼록 정리

수학에서 베르트람 코스탄트(1973)가 도입한 코스탄트의 볼록도 정리에서는 연결된 콤팩트 리 그룹의 모든 코아드관절 궤도를 카르탄 아발지브라 이중으로 투영하는 것이 볼록 세트라고 명시하고 있다.대칭 공간에 대한 보다 일반적인 결과의 특별한 경우다.코스탄트의 정리는 은둔자 행렬에 대한 슈르(1923), 혼(1954), 톰슨(1972)의 결과를 일반화한 것이다.그들은 주어진 고유값 λ = (λ₁, ..., λ_n)을 가진 n개의 복잡한 자기 적응 행렬에 의한 모든 공간의 대각 행렬에 대한 투영이 λ 좌표의 모든 순열 정점이 있는 볼록 폴리토프라는 것을 증명했다.

코스탄트는 이것을 황금-을 일반화하기 위해 사용했다.톰슨은 모든 콤팩트 그룹들에 대한 불평등이다.

컴팩트 거짓말 그룹

K는 최대 토러스 T와 Weyl 그룹 W = N_K(T)/T로 연결된 컴팩트 Lie 그룹이다.Let their Lie algebras be ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. Let P be the orthogonal projection of ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ onto ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ for some Ad-invariant inner product on ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Then$t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대해$,$ P(Ad(K)⋅X)는 Weyl 그룹 위로 w가 실행되는 정점이 있는 볼록 폴리토프다.

대칭 공간

G를 콤팩트한 Lie 그룹으로 하고 and에 의해 고정되고 σ의 고정점 부분군의 식별 성분을 포함하는 콤팩트한 부분군을 K와 비자발적으로 한다.따라서 G/K는 컴팩트 타입의 대칭 공간이다.Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ be their Lie algebras and let σ also denote the corresponding involution of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Let ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ be the −1 eigenspace of σ and let ${\displaystyle {\mathfrak {a$$}}}}}}$은(는) 최대 아벨리안 서브 스페이스가 된다.Let Q be the orthogonal projection of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ onto ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ for some Ad(K)-invariant inner product on ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Then for X in ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, Q(Ad(K)⋅X) is the convex polytope with vertices the w(X) where w제한된 Weyl 그룹(K modulo의$$ ${\$의 노멀라이저) 위를 달린다.

콤팩트한 Lie 그룹의 경우는 G = K × K, K가 대각선으로 박혀 있고 σ은 G가 두 요인을 교대하는 자동형성인 특수한 경우다.

컴팩트한 거짓말 그룹에 대한 증거

대칭 공간에 대한 코스탄트의 증거는 헬가슨(1984년)에 제시되어 있다.와일드버거(1993) 때문에 비슷한 생각을 사용하는 콤팩트 리 그룹만을 위한 기본적인 증거가 있는데, 그것은 컴팩트 리 그룹에 대한 자코비 고유값 알고리즘의 일반화에 바탕을 두고 있다.

K는 최대의 토러스 T를 가진 콤팩트한 거짓말 그룹이다.각 양의 뿌리 α에 대해 K로 들어가는 SU(2)의 동형성이 있다.2 x 2 행렬로 단순 계산하면 $Y$가 k ${\$에 있고 이 SU(2) 영상에서 k가 변하면 P(Ad(k)⋅Y는 P(Y)와 그 반사를 루트 α에 추적한다.특히 α 루트 공간의 성분("α 외부-대각 좌표")은 0으로 보낼 수 있다.이 후자 연산을 수행할 때 P(Y)에서 P(Ad(k))Y)까지의 거리는 Y의 α 오프-다이앵글 좌표 크기에 의해 위쪽으로 경계된다.K/T 치수의 절반인 양근의 수가 되게 하라.임의의 Y에서₁ 시작하여 가장 큰 대각선 바깥 좌표를 취하여 0으로 전송하여 Y를₂ 얻는다.시퀀스(Y_n)를 얻으려면 이렇게 계속하십시오.그러면

${\displaystyle \p^{\perp }(Y_{n+1})\^{2}\leq \left({m-1 \over m}\right)\P^{\perp }}(Y_{n})\^{2}.}}$

따라서 P^⊥(Y_n)는 0을 나타내는 경향이 있고

$\displaystyle \displaystyle {\ p(Y_{n+1}-Y_{n})\leq \ p^{\perp }}(Y_{n})\ .}}$

따라서 X_n = P(Y_n)는 Cauchy 시퀀스여서 $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 X를 경향이 있다$.$ Y_n = P(Y_n) ⊕ P^⊥(Y_n) since P(Y)에서 Y는_n X를 경향이 있다.반면에 X는_n X와_n+1 결합하는 선 부분과 그 근본 α에 반사되는 부분에 놓여 있다.따라서 X는_n X에_n+1 의해 정의된 Weyl 그룹 폴리토프에 있다.따라서 이러한 볼록한 폴리토프는 n이 증가함에 따라 증가하며 따라서 P(Y)는 X의 폴리토프에 위치한다.이는 X의 K-orbit에 있는 각 Z에 대해 반복될 수 있다.한계는 반드시 X의 Weyl 그룹 궤도에 있으므로, P(Ad(K)xX)는 W(X)가 정의한 볼록 폴리토프에 포함된다.

반대편 포함을 입증하려면 X를 포지티브 Weyl 챔버의 포인트로 삼으십시오.그러면 W(X)의 볼록한 선체에 있는 다른 모든 지점 Y는 단순한 뿌리의 음을 따라 움직이는 그 교차점의 일련의 경로에 의해 얻을 수 있다.(이것은 표현 이론으로부터 친숙한 그림과 일치한다:이중성 X가 지배적인 무게에 해당하는 경우 λ에 의해 정의된 Weyl 그룹 폴리토프의 다른 무게는 나타나는 것 i이다.n 가장 높은 중량 λ으로 K를 수정할 수 없는 표현.연산자를 낮추어 논하는 것은 그러한 각각의 무게가 연쇄에 의해 λ에서 단순 뿌리를 연속적으로 빼서 얻은 λ과 연결되어 있음을 보여준다.)^[1]X에서 Y까지의 경로의 각 부분은 단순 뿌리에 해당하는 SU(2)의 복사본에 대해 위에서 설명한 프로세스에 의해 얻을 수 있으므로 전체 볼록 폴리포프는 P(Ad(K))X에 놓여 있다.

기타 교정쇄

헤크만(1982)은 힐거트, 호프만 & 로슨(1989)에서도 제시된 콤팩트 리 그룹에 대한 볼록한 정리 증거를 또 하나 제시했다.콤팩트 그룹의 경우, 아티야(1982)와 길레민 & 스턴버그(1982)는 M이 리 대수 $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$가 있는 토러스 T의 해밀턴식 작용이 있는 공감각 다지관이라면, 모멘트 맵의 이미지로 나타났다$.$

${\displaystyle \displaystyle {M\오른쪽 화살표 {\mathfrak{t}^{*}}}$

T의 고정점 세트 영상에 정점이 있는 볼록 폴리토프(이미지는 유한 세트)이다.K${\displaystyle {}^{}}$co${\$의 K의 공동 궤도 M을 위해 T의 모멘트 맵은 구성이다$.$

${\displaystyle \displaystyle {M\오른쪽 화살표 {\mathfrak {k}^{*}\오른쪽 화살표 {\mathfrak {t}^{*}}}.}}$

Ad-invariant 내부 제품을 사용하여 $∗{\$ 및$$ $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 식별하면 지도가 된다$.$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad}(K)\cdot X\오른쪽 화살표 {\mathfrak{t}},}}$

직교 투영의 제한$t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 X를 취하면$,$ 궤도 Ad(K)⋅X에서 T의 고정점은 Weyl 그룹 아래의 궤도일 뿐이다.그래서 모멘트 맵의 볼록한 특성은 영상이 이러한 정점을 가진 볼록한 폴리토프임을 암시한다.지글러(1992)는 모멘트 맵을 이용하여 간단한 직접 버전의 증명서를 주었다.

듀이스터마트(1983)는 모멘트 맵의 볼록한 특성의 일반화를 대칭 공간의 보다 일반적인 경우를 다루는데 사용할 수 있다는 것을 보여주었다.τ은 Ω ~ -Ω의 공통점 형태를 취하고 t ∘ = τ t를⁻¹ 갖는 M의 원활한 비자발성이 되도록 한다.그 다음 M과 τ의 고정점 집합(비어 있지 않은 것으로 가정)은 모멘트 맵 아래에서 동일한 이미지를 갖는다.이를 적용하려면 T = T = G의$$$토러스$인$${\$displaystyle${\$mathfrac {a}}$을(를) expos 하도록 하십시오.모멘트 맵이 투영 맵을 산출하기 전과$$ 같이 X가 ${\$에 있는 경우

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad}(G)\cdot X\오른쪽 화살표 {\mathfrak {a}.}}$

τ을 지도 τ(Y) = - σ(Y)가 되게 하라.위의 지도는 τ의 고정점 집합인 Ad(K)⋅X의 이미지와 동일하다.그것의 이미지는 Ad(G)⋅X에서 T의 고정점 세트의 정점 이미지, 즉 W = N_K(T)/C_K(T)의 w(X) 점들이 있는 볼록 폴리토프다.

추가 방향

코스탄트(1973)에서 볼록도 정리는 이와사와 분해 G = 실제 반실현 리 그룹 G의 성분 A에 대한 투영과 관련된 보다 일반적인 볼록도 정리에서 추론한다.콤팩트한 Lie 그룹 K에 대해 위에서 논한 결과는 G가 K의 복잡화일 때의 특수한 경우에 해당한다: 이 경우 A의 Lie 대수는 ${\displaystyle i\mathfrak{}}$ t ${\$ i${\mathfrak{t}}$로 식별할 수 있다$.$코스탄트의 정리의 보다 일반적인 버전도 판 덴 반(1986)에 의해 대칭 공간을 반실현하도록 일반화되었다.Kac & Peterson(1984)은 무한 차원 그룹에 대해 일반화를 했다.

메모들

참조

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