모멘트 맵

수학에서, 특히 공감 기하학에서, 모멘텀 맵(또는 거짓 어원에 의한, 모멘트^[1] 맵)은, 그 행동을 위해 보존된 양을 구성하는 데 사용되는, Lie 그룹의 해밀턴식 작용과 관련된 도구다.모멘텀 맵은 선형과 각운동량의 고전적 개념을 일반화한다.이것은 복합체를 포함한 다양한 복합체의 구성에서 필수적인 성분이다.웨인슈타인)의 인용구, 아래에서 논하고, 동정적 삭감 및 합계.

형식 정의

M을 Ω의 다지관으로 한다.Lie 그룹 G가 동심원형을 통해 M에 작용한다고 가정하자(즉, G에서 각 G의 작용은 Ω을 보존한다).$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) G의 Lie 대수학으로 하고, $display$ {\$displaystyle$ {\$mathfak$ {g$}^{*}$을(를) 이중으로 하고,

${\displaystyle \langle ,\rangle :{\mathfak{g}^{*}\time {\mathfak {g}\to \mathbf {R}}}}$

둘의 짝짓기$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 in은 ξ의 최소 동작을 설명하는 M의 벡터 필드 ρ(ξ)을 유도한다$$.정확히 말하면, M의 지점 x에서 벡터 ${\displaystyle \rho }$ (${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle x_{}}$ ${\$(\$xi$ )$_{x}}$은(는)

$왼쪽.{\frac {d}{dt}\오른쪽 _{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

여기서 ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfak{g}\to G}$는 지수형 맵이고 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은 M에서 G-action을 나타낸다$$.^[2]${\displaystyle {\iota }_{}}$(${\displaystyle {\xi }_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) Ω으로 이 벡터 필드의 수축 상태를 나타낸다$$.G는 ${\displaystyle {\iota }_{}}$(${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 닫히는 것을 따른다($g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {g$}$의 모든 all).$$

Suppose that ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ is not just closed but also exact, so that ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =dH_{\xi }}$ for some function ${\displaystyle H_{\xi }}$. Suppose also that the map ${\displaystyle {\ma$$thfrak {{g}\to$ C$^{\\inful$ ${\displaystyle \}\}\}{}_{}}$ fty H$$${\displaystyle {sending}_{}}$ ${\$은(는) Lie 대수동형이다.그렇다면 (M, Ω)에 대한 G-action의 모멘텀 맵은 지도 $\mu A{\displaystyle }$ →${\displaystyle }$G${\$과 같은$$ 것이다.

$#\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \angle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }}$

for all ξ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Here ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$ is the function from M to R defined by ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$. The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of in티그레시끌

모멘텀 맵은 또한 G-등가성이어야 하는 경우가 많으며, 여기서 G는 공동 작용을 통해 g${\displaystyle {}^{}}$g ${\$에 작용한다.그룹이 콤팩트하거나 반실행인 경우, 통합의 상수는 항상 모멘텀 맵 코어드 조인트의 등가성을 위해 선택될 수 있다.그러나 일반적으로 코아드 공동 작용은 지도를 등가변성으로 만들도록 수정되어야 한다(예: 유클리드 집단의 경우 그러하다).수정은 Souriau(1970년)에서 처음 설명한 바와 $같이{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ g ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\${\$mathfrak {g}^{*}$의 값을 가진 그룹의 1-cocycle에 의해 이루어진다$.$

해밀턴 집단 행동

모멘텀 맵의 정의는 ${\displaystyle {\iota }_{}}$(${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$을(를) 닫아야$$ 한다.실제로 훨씬 더 강력한 가정을 하는 것이 유용하다.G-action은 다음과 같은 조건이 유지될 경우에만 해밀턴이라고 한다.먼저 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 ξ에 대해 for$$${\displaystyle {(\xi )}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \iota _{\rho(\xi )}\omega$}이 정확하며$$, 이는 어떤 부드러운 기능을$$ 위해 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\$과 같다는 것을 의미한다.

${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}$

만약 이것이 유지된다면, $지도{\displaystyle {}_{}}$ $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\xi }_{}}$ $\{\${\xi $}}$을(를$$) 선택하여 ξ${\displaystyle }${$$H $display$ {\$displaystyle \xi$ \$mapsto H_${\xi$$}}}을(를) 선형으로$$ 만들 수 있다.G-action을 해밀턴어로 하기 위한 두 번째 요건은 지도 $map{\displaystyle {\xi }_{}}$ H $\$ {\$displaystyle$$\xi$\$mapsto H_${\xi$$}}}이$($가$)$ 포아송 괄호 아래 M의 평활함수 대수에서$$ 리 대수동형(Lie 대수)이$$ 되어야 한다는 것이다$.$

If the action of G on (M, ω) is Hamiltonian in this sense, then a momentum map is a map ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ such that writing ${\displaystyle H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle }$ defines a Lie algebra homomorphism ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$만족스러운 $\rho {\displaystyle (\xi )}$ = ${\displaystyle {X{}_{}}_{}}$ H ${\displaystyle {{\xi }_{}}_{}}${\$displaystyle \rho$(\$xi$)=$X_{H_{\xi$ $\}\}$여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {{\xi }_{}}_{}}${\$displaystyle X_{H_{\xi }}}}}}$는 해밀턴 H ${\displaystyle {\xi }_{}}${\$displaystystyption H_{{\xi }$에 의해 정의된 벡터 필드 입니다$.$

${\displaystyle \iota _{X_{H_{\xi }}\omega =dH_{\xi }}$

모멘텀 맵의 예

In the case of a Hamiltonian action of the circle ${\displaystyle G={\mathcal {U}}(1)}$, the Lie algebra dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ is naturally identified with ${\displaystyle \mathbb {R} }$, and the momentum map is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

$또{\displaystyle }$ 다른 고전적인 경우는 M ${\displaystyle M}$이(가) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$의 등각 묶음이고 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 회전과 번역을 통해 생성된 유클리드 그룹일 때 발생한다.즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 6차원 $그룹$이며, S ${\displaystyle O}$(${\displaystyle }$3 ) ${\displaystyle SO(3)}$ 및$$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}}$의 반직접 제품이다$.$모멘텀 맵의 여섯 가지 구성 요소는 세 개의 각도 모멘텀a와 세 개의 선형 모멘텀이다.

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$을(를) 매끄러운 다지관이 되게$$ $하고{\displaystyle {}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$n ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ T$^{*}N}$을(를) 동탄성 번들로 하며$$ 투영 지도 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ N${\displaystyle }$→ N ${\displaysty \pi$:$T^{*}N\rightarrow N}$. Let ${\displaystyle \tau }$ denote the tautological 1-form on ${\displaystyle T^{*}N}$. Suppose ${\displaystyle G}$ acts on ${\displaystyle N}$. The induced action of ${\displaystyle G}$ on the symplectic manifold ${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \$$tau )}$, given by ${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$ for ${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$ is Hamiltonian with momentum map ${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$ for all ${\displaystyle \$$xi \in {\mathfrak {g}}}$. Here ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$ denotes the contraction of the vector field ${\displaystyle \rho (\xi )}$, the infinitesimal action of ${\displaystyle \xi }$, with the 1-form ${\displaystyle \tau }$.

아래에 언급된 사실들은 모멘텀 맵의 더 많은 예를 생성하기 위해 사용될 수 있다.

모멘텀 맵에 대한 몇 가지 사실

$G{\displaystyle }$, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,$${\displaystyle H\mathfrak{}}$$}$을(를) 각각 리 $알헤브라스{\displaystyle \mathfrak{}}$ g${\displaystyle }$, h ${\$ {g$},{\mathfrak {h}$과$($와) 함께 Lie 그룹으로 한다$$.

1. $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle F}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$)로 설정한다$.$$F\in {\mathfrak{g}^{*}}$은(는) 공동 궤도다.${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$($){\displaystyle{\mathcal{O}}{\$$mathcal${$O$${\displaystyle {\}\}\}\}\}\}\}}^{}}$에 고유한 공통점 구조가 존재하는데, 그러한$$ 포함 지도 $O{\displaystyle \mathcal{}}$($){\$이 모멘텀 맵이다$$.
2. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) ${\displaystyle {\phi }_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$인 공감각 다지관$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (M,\omega )}$에 대해 작용하도록$$ 한다.$M\rightarrow {\mathfrak{g$}^{*}} 작용에 대한$$ 모멘텀 맵과 ${\displaystyle \psi }$:${\displaystyle }$H → ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi$:$H\rightarrow G}$ be a Lie group homomorphism, inducing an action of ${\displaystyle H}$ on ${\displaystyle M}$. Then the action of ${\displaystyle H}$ on ${\displaystyle M}$ is also Hamiltonian, with momentum map given by ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$$$, where ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$ is the dual map to ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ (${\displaystyle e}$ denotes the identity 요소($H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$})$특히 관심 있는 경우는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 Lie 부분군이고 $and$ ${\displaystyle \psi}$이(가) 포함 맵인$$ 경우다.
3. Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$displaystyle$$(M_{1},\omega _{1})$은 해밀턴식 G {\$displaystyle G$${\displaystyle {}_{}}$ $-manifold$이고 ( M$$ 2,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (M_{2},\omega$ $_$${2})}$ 해밀턴식 $H$}$$-manifold이다$$.Then the natural action of ${\displaystyle G\times H}$ on ${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$ is Hamiltonian, with momentum map the direct sum of the two momentum maps ${\displaystyle \Phi _{G}}$ and ${\displaystyle \Phi _{H}}$.Here ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$, where ${\displaystyle \pi _{i}:$$M_{1}\times M_{2}\오른쪽$ 화살표 $M_{i}}}$은(는) 투영 지도를 나타낸다$$.
4. Let ${\displaystyle M}$ be a Hamiltonian ${\displaystyle G}$-manifold, and ${\displaystyle N}$ a submanifold of ${\displaystyle M}$ invariant under ${\displaystyle G}$ such that the restriction of the symplectic form on ${\displaystyle M}$ to ${\displaystyle N}$ is non-degenerate.이것은 자연적인 $방법$으로 N ${\displaystyle N}$에 공통적인 구조를 전달한다.그런 $다음{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle N$}에 대한$$G {\$displaystyle$ G$}$의 동작도 $해밀턴식$이며,$$M {\$displaystyle$ M$\}$의 모멘텀 맵이 포함된 포함 맵의 구성이 된다.

공통 인용구

Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M, ω) is Hamiltonian, as defined above, with momentum map ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. From the Hamiltonian condition it follows that ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ is invariant under G.

0은 μ의 정규값이며 G는 $\mu {\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ ( 0 )${\displaystyle \mu ^{-1}$ ($0$에서 자유롭고 적절하게 작용한다고 가정하자.따라서 $\mu {\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ ( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)$ 및$$ 그 몫의 $\mu {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}0}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$는 모두$$ 다지관이다.이 지수는 M에서 공통점 형태를 이어받는다. 즉, ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1 ( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \mu ^{-1}}$의 풀백은 Ω ~ $\mu {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}0}$) ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)$의 제한과 같은$$ 고유한 공통점 형식이 있다$.$따라서 그 몫은 마스덴-이라 불리는 동정성 다지관이다.Weinstein index, commonlectic index 또는 commonlectic index of M by ${\displaystyle G}$로 표시되며 $M{\displaystyle }$/${\displaystyle }$/ / G ${\displaystyle M/\\!/G}$로 표시된다$.$ 치수는 M의 치수를 G의 두 배 차원에 뺀 치수와 같다.

표면의 평평한 연결부

표면에 있는$$ 사소한 번들 ×${\displaystyle }$$×$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ $\Oomega ^{1}(\Sigma ,{\mathfak {g$$})$의 연결 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ $ω$ , ${\displaystyle g}$)은 무한 치수 동선 $형태를 띠고$ 있다.

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}(\alpha \wedge \beta)}$

The gauge group ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$ acts on connections by conjugation ${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(dg)+g^{-1}Ag}$. Identify ${\displaystyle {\text{$$Lie}}}({\mathcal{G})=\오메가 ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak{g}})=\오메가$^{2$}(\Sigma ,{\mathfrak{g}}})^{*}}$ 통합 페어링을 통해$$.그럼 지도는

${\displaystyle \mu :\Oomega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g})\우측 화살표 \Oomega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}),\qquad A\;\mapsto;dA+{\fr}{1}:{1}2}} [A\웨지 A]}$

곡률에 대한 연결을 보내는 것은 연결에 대한 게이지 그룹의 작동을 위한 모멘트 맵이다.특히 평면 연결 모듈로 게이지 동등성 ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G\mathcal{}}$= ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 1 (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\sigma }}$, ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G\mathcal{}}$ ${\${G$}=\Igmatcal ^{}}}(\Sigma ,\mathfrac$ {$g)/\!$$\!/{\mathcal{G}}$은(는) 동시절감에 의해 주어진다.

참고 항목

• GIT 지수
• 정량화는 감소에 따라 통용된다.
• 포아송-리군
• 토릭 다지관
• 기하학 역학
• 키르완 지도
• 코스탄트의 볼록 정리

메모들

참조

• J.-M. Souriau, Structure des systemes dynamicique, Maîtries de mathématique, Dunod, Paris, 1970년. ISSN0750-2435.
• S. K. Donaldson과 P. B. Kronheimer, The Geomethod of Four-Manifolds, Oxford Science Publishes, 1990.ISBN 0-19-850269-9
• 두사 맥더프와 디트마르 살라몬, 1998년 옥스포드 사이언스 출판사의 심플렉틱 토폴로지 소개.ISBN 0-19-850451-9
• Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics. Vol. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Audin, Michèle (2004), Torus actions on symplectic manifolds, Progress in Mathematics, vol. 93 (Second revised ed.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1990), Symplectic techniques in physics (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Woodward, Chris (2010), Moment maps and geometric invariant theory, Les cours du CIRM, vol. 1, EUDML, pp. 55–98, arXiv:0912.1132, Bibcode:2009arXiv0912.1132W
• Bruguières, Alain (1987), "Propriétés de convexité de l'application moment" (PDF), Astérisque, Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87