랭글랜드 분류

Langlands classification

수학에서 랭글랜드 분류는 로버트 랭글랜드(1973년)가 제안한 환원성 리 그룹 G의 불가해한 표현을 기술한 것이다.Langlands 분류에는 두 가지 약간 다른 버전이 있다.이 중 하나는 축소형 리 그룹 G의 리 대수 g a Lie 대수에 대해 축소형 소형 서브그룹 K에 대해 더 작은 그룹의 강화 표현 측면에서 허용되지 않는 (g,K)-모듈을 설명한다.담담한 표현은 앤서니 크냅과 그레그 주커맨에 의해 차례로 분류되었다.Langlands 분류의 다른 버전은 수정 불가능한 표현을 L-패킷으로 나누고, L-패킷을 R 또는 C의 Weil 그룹의 특정 동형성 측면에서 L-패킷을 L-lands 이중 그룹으로 분류한다.

표기법

  • g는 하리쉬-찬드라 클래스에서 실제 환원성 Lie 그룹 G의 리 대수다.
  • K는 G의 최대 콤팩트 부분군이며, Lie 대수 k가 있다.
  • Ω은 K를 고정시키는 G의 카르탄 비자발이다.
  • p는 g의 카르탄 비자발성의 -1 eigenspace이다.
  • a는 p의 최대 아벨의 하위 공간이다.
  • σ은 a in g의 루트 시스템이다.
  • Δ는 σ의 단순한 뿌리 집합이다.

분류

Langlands 분류에 따르면 (g,K)의 불가역적 표현은 3배수로 매개변수화된다.

(F, σ, λ)

어디에

  • F는 Δ의 하위 집합이다.
  • Q는 F의 표준 포물선 부분군이며, Langlands 분해 Q = MAN이다.
  • σ은 반실현 Lie 그룹 M(이형성에 이르기까지)의 수정 불가능한 강화 표현이다.
  • λ은 F에 없는 모든 단순근에 대하여 α(Re(Re))>0을 가지는 Hom(aF,C)의 원소다.

더 정확히 말하면, 위의 데이터에 의해 주어지는 불가역적 허용 표현은 파라볼릭적으로 유도된 표현에 대한 불가역적 지수다.

Langlands 분류의 예는 SL2(R)의 표현 이론을 참조한다.

변형

랭글랜드 분류에는 몇 가지 사소한 변화가 있다.예를 들면 다음과 같다.

  • 수정 불가능한 지수를 취하는 대신, 수정 불가능한 하위절을 취할 수 있다.
  • 강화 표현은 이산 직렬 표현에서 유도된 특정 표현 또는 이산 직렬 표현 한계로 차례대로 주어지기 때문에, 두 가지 유도 모두를 한 번에 할 수 있으며, 강화 표현 대신 이산 직렬 표현 한계 또는 이산 직렬 표현 한계로 식별된 랭글랜드 분류 매개변수를 얻을 수 있다.이렇게 하는 것의 문제점은 두 개의 불가해한 표현들이 같은 시기에 결정하기가 까다롭다는 것이다.

참조

  • Adams, Jeffrey; Barbasch, Dan; Vogan, David A. (1992), The Langlands classification and irreducible characters for real reductive groups, Progress in Mathematics, vol. 104, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3634-0, MR 1162533
  • E. P. 밴 덴 반, 유도 표현 및 랭글랜드 분류 ISBN 0-8218-0609-2 (T. Bailey and A)W. Knapp, Eds.)
  • Borel, A. 및 Wallach, N. 연속 코호몰로지, 이산 하위 그룹 및 환원 그룹의 표현.제2판.수학 설문 조사와 모노그래프, 67세미국 수학 협회, 프로비던스, RI, 2000.16ii+18p.ISBN 0-8218-0851-6
  • Langlands, Robert P. (1989) [1973], "On the classification of irreducible representations of real algebraic groups", in Sally, Paul J.; Vogan, David A. (eds.), Representation theory and harmonic analysis on semisimple Lie groups, Math. Surveys Monogr., vol. 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7, MR 1011897
  • Vogan, David A. (2000), "A Langlands classification for unitary representations" (PDF), in Kobayashi, Toshiyuki; Kashiwara, Masaki; Matsuki, Toshihiko; Nishiyama, Kyo; Oshima, Toshio (eds.), Analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups, Okayama--Kyoto (1997), Adv. Stud. Pure Math., vol. 26, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 299–324, ISBN 978-4-314-10138-7, MR 1770725
  • D. 보간, 리얼 환원형 거짓말 그룹 표현, ISBN 3-7643-3037-6