SL2(R)의 표현 이론

수학에서, 리 그룹 SL(2,R)의 불가해한 단일 표현에 관한 주요 결과는 겔판드와 나이마크(1946), V. 바그만(1947), 하리쉬 찬드라(1952)에 기인한다.

복잡한 Lie 대수학의 구조

우리는 IH가 소형 카르탄 부분군 K의 Lie 대수학을 생성하도록 SL(2,R)의 Lie 대수학을 복잡화하기 위한 근거 H, X, Y를 선택한다(그래서 특히 H의 Eigenspace의 합으로 분할됨), {H,X,Y}는 sl-triple이며₂, 이는 그들이 관계를 만족한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H.}$

이를 위한 한 가지 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$ corresponding to the subgroup K of matrices ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle X={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle Y={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&-1\end{pmatrix}}}$

Casimir 연산자 Ω은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Oomega =H^{2}+1+2XY+2YX.}$

SL(2,R)의 복합화된 Lie 대수학의 만능포함대수의 중심을 생성한다.Casimir 요소는 어떤 복잡한 스칼라 μ에² 의한 곱셈으로서 어떤 수정 불가능한 표현에 작용한다.따라서 Lie 대수 sl의₂ 경우, 수정 불가능한 표현에 대한 최소의 문자는 하나의 복잡한 숫자로 지정된다.

그룹 SL(2,R)의 중심 Z는 순서 2의 주기적 그룹 {I,-I}이며, ID 매트릭스와 음수로 구성된다.수정할 수 없는 표현에서 중심은 사소한 행동을 하거나 표현 공간에서 매트릭스 -I를 -1로 곱하여 나타내는 Z의 비종교적 특성에 의해 행동한다.그에 상응하여, 사람은 사소한 중심적 성격이나 비종교적인 중심적 성격을 말한다.

환원성 Lie 집단의 회복 불가능한 표현에 대한 중심적 성격과 극소수의 성격은 표현에 있어 중요한 불변성이다.SL(2,R)의 불가역적 대표성의 경우, 일반적으로는 이형성까지 정확히 한 개의 대표성이 있으며, 그 중심과 최소의 문자를 가지고 있다.예외적인 경우, 규정된 매개변수를 가진 2~3개의 표현이 있으며, 모두 결정되었다.

유한차원 표현

각 비음수 정수 n에 대해, 그룹 SL(2,R)은 치수 n+1을 수정할 수 없는 표현을 가지고 있는데, 이것은 이등형성에까지 고유한 것이다.이 표현은 두 변수에서 도 n의 균일한 다항식 공간에서 구성할 수 있다.사례 n=0은 사소한 표현에 해당한다.1보다 큰 비구체적 단순 Lie 그룹의 수정 불가능한 유한차원 표현은 결코 단일하지 않다.따라서 이 구조는 사소한 표현인 SL(2,R)의 단일 표현만을 생산한다.

비 컴팩트 그룹 SL(2,R)의 유한차원 표현 이론은 그 콤팩트한 형태인 SU(2)의 표현 이론에 상당하는 것으로, 본질적으로 그들의 리 알헤브라가 같은 복잡성을 가지고 있고 "알고리즘적으로 간단히 연결되어 있다"(더 정확히 말하면 그룹 SU(2), SL(2,R)는 단순하게 연결되어 있지 않지만 n은 없다.온-임계 대수 중심 확장)그러나 일반적인 무한차원 사례에서는 집단의 표현과 그 집단의 리 대수적 표현 사이에는 밀접한 관련성이 없다.사실, 콤팩트한 리 그룹 SU(2)의 모든 불가해한 표현은 유한한 차원이고 단일화된 것이라는 것은 피터-와일 정리에 따른다.SL(2,R)의 상황은 완전히 다르다. SL(2,R)은 무한 차원 수정 불가능한 표현을 가지고 있는데, 그 중 일부는 단일하며 일부는 그렇지 않다.

주계열 표현

환원성 Lie 집단의 표현을 구성하는 주요 기법은 포물선 유도법이다.그룹 SL(2,R)의 경우, 결정 인자 1의 삼각형 상위의 보렐 부분군인 적절한 포물선 부분군만 결합한다.유도 주계열표현의 유도 매개변수는 ε = ± 1과 복합수 μ를 선택하여 지정하는 실수의 승수집단의 (아마도 비합리적인) 문자다.해당 주계열 표현은 I로_ε,μ 표시된다.ε은 유도표현의 중심적 특징이며 복합수 μ는 하리쉬-찬드라 이소모르프리즘을 통해 극소수 문자로 식별할 수 있다는 것이 밝혀진다.

주계열성 표현 I_ε,μ(또는 더 정확히 말하면 K-Finite 요소의 Harish-Chandra 모듈)은 ε=1인 경우 지수 j가 짝수 정수를 통과하고 ε=-1인 경우 홀수 정수를 통과하는 원소 w로_j 구성된 근거를 인정한다.X, Y, H의 작용은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle H(w_{j}=jw_{j}}}$

${\displaystyle X(w_{j}}={\mu +j+1 \over 2}w_{j+2}}$

${\displaystyle Y(w_{j}={\mu -j+1 \over 2}w_{j-2}}$

인정표현

카시미르 운영자의 고유 벡터로서 H에 대한 고유벡터를 가지고 있다는 사실을 이용하여, 어떤 불가해한 허용표현도 파라볼리적으로 유도된 표현에 대한 하위표현임을 쉽게 따른다.(이것은 보다 일반적인 환원형 리 그룹에게도 해당되며 카셀만의 하위 표현 정리라고 알려져 있다.)따라서 SL(2,R)의 허용 불가능한 표현은 주요 시리즈 표현 I를_ε,μ 수정 불가능한 구성요소로 분해하고 이형성을 결정함으로써 찾을 수 있다.분해는 다음과 같이 요약한다.

• 나는_ε,μ μ가 정수일 경우에만 환원할 수 있고 μ가 ==-(-1)일 경우에만 환원할 수 있다.^μ만약 내가_ε,μ 다시 설명할 수 없다면 그것은_ε,−μ 나에게 이형적인 것이다.
• I는_{−1, 0} 이산 직렬 표현 한계라고 불리는 두 개의 수정 불가능한 표현에 대한 직접 합계_ε,0 I₊₀ = D + D로₋₀ 분할된다.D는₊₀ j≥1에 대한 basis w를_j 가지고 있고, D는₋₀ j≤-1에 대한_j basis를 가지고 있다.
• 만약_ε,μ 내가 μ>0 (그래서 cible=-(-1)^μ으로 환원할 수 있다면, 그것은 유한 치수 μ를 갖는 고유한 unreducible quotient를 가지고 있고, 낟알은 두 개의 이산 시리즈 표현_+μ D + D의_−μ 합이다.표현 D는_μ j≥1에 대한_μ+j basis w를 가지고 있고_−μ, D는 j for-1에 대한_−μ−j basis를 가지고 있다.
• 만약_ε,μ 내가 μ<0 (so ==-(-1))^μ으로 환원할 수 있다면, 그것은 유한 치수 - μ를 갖는 고유한 reducible 하위표시를 가지고 있으며, 그 몫은 두 개의 이산 시리즈표현_+μ D + D의_−μ 합이다.

이것은 다음과 같은 수정불가한 인정표현 목록을 제공한다.

• 각 양의 정수 μ에 대한 치수 μ의 유한 치수 표현(중심 문자 - (-1)).^μ
• 이산₊₀ 계열의 두 한계 D, D₋₀, μ=0 및 비삼각 중심 문자로 표시한다.
• 이산형 영상 시리즈는 0이 아닌 정수에 대한 D를_μ 중심 문자 -(-1)로 나타낸다.^{μ[<span title="e.g. Knapp's Rep. Theory of Semisimple Groups has central character (−1)−μ=(−1)μ for D+
  _μ (p. 35) (September 2012)">dubious – discuss]}
• ε≠-(-1)^μ에 대한 to-_ε,−μ(-1)에 대한 for- for- series(I에_ε,μ 대해 이형성이 있는 경우)에 대한 ir-_ε,μ series- series(I에 대해 이형성이 있는 경우)의 I를 나타내는 ir.

랭글랜드 분류와의 관계

랭글랜드 분류에 따르면, 불가침 허용 표현은 포물선 부분군 P=MAN의 Levi 부분군 M의 특정 강화 표현에 의해 매개된다.이것은 다음과 같이 동작한다.

• 이산형 계열, 이산형 계열의 한계, μ 가상의 단일 주계열 I는_ε,μ 이미 담금질이 되어 있으므로 이 경우 포물선 부분군 P는 그 자체로 SL(2,R)이다.
• 그 유한 차원의. 묘사와, 진정 Iε,μ ℜμ&gt을 위해;0, 주계열 표현 Iε,μ의 ℜμ&gt이 아닌 정수나 ε≠−(−1)μ은 더 이상 줄일 수 없는 상수;0, 포물선 부분 군 P=MAN 위쪽 삼각형 매트릭스의 강화 표현에서 유도하고 있A는 긍정적인 대각선 매트릭스와 μ. M중심순서가 2인μ의 경우 양의 정수 및 μ=-(-)-(^μ1) 주계열 표현은 한정된 차원 표현을 그것의 불확실한 몫으로 하고, 그렇지 않으면 이미 무효화된다.

단일 표현

불가해한 단일적 표현은 불가해한 인정된 표현 중 어느 것이 불변적으로 확실한 은둔자 형식을 인정하는지를 확인함으로써 찾을 수 있다.이로써 SL(2,R)의 단일 표현 목록은 다음과 같다.

• 사소한 표현(이 리스트에서 유일한 유한 차원 표현).
• 이산형 영상 시리즈의 두 가지₊₀ 한계 D₋₀, D.
• 이산형 영상 시리즈는 0이 아닌 정수 k에 의해 색인화된 D를_k 나타낸다.그들은 모두 뚜렷하다.
• 실수 μ에 의해 지수화된 구면 주계열 I와_+,iμ 0이 아닌 실수 μ에 의해 지수화된 비구면 단수계열_−,iμ I로 구성된 불가침 주계열 표현 두 계열이다.매개변수 μ를 사용한 표현은 매개변수 - μ를 가진 것에 대해 이형성이며, 이들 사이에는 더 이상의 이형성이 없다.
• 보완_+,μ 시리즈는 0< μ< 1을 나타낸다.매개변수 μ를 사용한 표현은 매개변수 - μ를 가진 것에 대해 이형성이며, 이들 사이에는 더 이상의 이형성이 없다.

이 중 이산 직렬 표현의 두 가지 한계인 이산 직렬 표현과 주요 직렬 표현 두 집단은 담금질되는 반면, 소소하고 보완적인 직렬 표현은 담금질되지 않는다.

참조

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참고 항목

• 회전(회전)
• SU(2)의 표현 이론
• 회전군 SO(3)#리 대수 유의사항