레전드르 합리 함수

수학에서 Legendre 합리적 함수는 [0, ∞]의 직교 함수의 순서다.그것들은 Cayley 변환을 Legendre 다항식으로 구성함으로써 얻어진다.

정도 n의 합리적인 레전드르 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt{2}}{x+1}}\,P_{n}\왼쪽({\frac {x-1}{x+1}}\오른쪽)}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle P_{n}(x)}$은(는) 범례 다항식이다.이러한 기능은 단일한 스터름-리우빌 문제의 고유 기능이다.

${\displaystyle (x+1)\properties _{x}(x\properties _{x}(x+1)v(x))+\data v(x)=0}$

고유값으로

${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,}$

특성.

많은 속성은 제1종류의 레전드르 다항식의 속성에서 파생될 수 있다.다른 특성은 기능 자체에 고유한 것이다.

재귀

${\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}:{n+1}:{n:1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\,R_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}:1}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1}}}$

그리고

${\displaystyle 2(2n+1)R_{n}(x)=(x+1)^{2}(\partial _{x}R_{n+1}(x)-\partial _{x}-{n-1}(x)+(R_{n+1}(x)-{n-1}(x)-{n-1}(x)))}$

제한행동

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \lim _{x\오른쪽 화살표 \infit }(x+1)R_{n}={\sqrt{2}}:$

그리고

${\displaystyle \lim _{x\오른쪽 화살표 \infit }x\partial _{x}(x+1)R_{n}(x)=0}$

직교성

${\displaystyle \int _{0}^{\nm}(x)\,R_{n}(x)\,dx={\frac{2}{2n+1}}\delta _{nm}}}}$

여기서$$ ${\displaystyle {\Delta n}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타 함수다.

특정 값

${\displaystyle R_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle R_{1}(x)={\frac {x-1}{x+1},}$

${\displaystyle R_{2}(x)={\frac {x^{2}-4x+1}{(x+1)^{2}}}\,}$

${\displaystyle R_{3}(x)={\frac {x^{3}-9x^{2}+9x-1}{(x+1)^{3}}}\,}$

${\displaystyle R_{4}(x)={\frac {x^{4}-16x^{3}+36x^{2}-16x+1}{(x+1)^{4}}}\,}$

참조

Zhong-Qing, Wang; Ben-Yu, Guo (2005). "A mixed spectral method for incompressible viscous fluid flow in an infinite strip". Mat. Apl. Comput. 24 (3). doi:10.1590/S0101-82052005000300002.