리의 정리

수학에서 정선 algebras의, 명확하게 이론, 리의 정리 상태 that,[1]특성 0의 대수적으로 폐쇄된 들판을 넘어서면 π:g→ g나는(V){\displaystyle \pi:{\mathfrak{g}}\to{\mathfrak{gl}}(V)해결할 수 있는 매복하여 대수의}은 유한 차원의. 표현, 그렇다면 국기 V탭 V0⊃ V 1${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ of invariant subspaces of ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ with ${\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i}$, meaning that ${\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}}$$$ 각 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ 및 i에 대해.

다른 방식으로 말하면, ${\displaystyle \pi \mathfrak{}}$( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi({\mathfrak{g}})$의 모든 선형 변환이 상위 삼각 행렬로 표현될$$ 수 있는 V에 대한 근거가 있다고 정리되어 있다.^[2]이는 통근 행렬이 포티오리 해결 가능한 아벨리안 리 대수학(Abelian Lie 대수학)을 생성하기 때문에 통근 행렬이 동시에 상위 삼각형이라는 프로베니우스 결과를 일반화한 것이다.

Lie의 정리의 결과는 특성 0의 영역에 걸쳐 유한 치수 해결 가능한 Lie 대수에는 영량 유도 대수(nilpotent 파생 대수)가 있다는 것이다(#Conquences 참조).Also, to each flag in a finite-dimensional vector space V, there correspond a Borel subalgebra (that consist of linear transformations stabilizing the flag); thus, the theorem says that ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ is contained in some Borel subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.^[1]

카운터-예시

특성 p>0 Lie의 대수로 닫힌 장의 경우, 표현 치수가 p보다 작다면(아래 증명 참조), 치수 p의 표현에 실패할 수 있다.고유 벡터가 없는 p-차원 벡터 공간 k[x]/(x^p)에 작용하는 1, x, dx에 걸친 3차원 영점 리 대수학에서 그 예가 제시된다.p-차원 표현(아벨리안 리 대수학으로 간주됨)에 의해 이 3차원 리 대수학의 반간접적인 산물을 취하면, 파생된 대수학이 영소성이 아닌 해결 가능한 리 대수학을 얻게 된다.

증명

$증명$은 g ${\$의 치수에 따라 유도되며$$ 몇 단계로 구성된다.(주:증거의 구조는 엥겔의 정리를 위한 구조와 매우 유사하다.)기본적인 경우는 사소한 것으로 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 치수가 양수라고$$ 가정한다.우리는 또한 V가 0이 아니라고 가정한다.단순성을 위해 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle v}$= ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$( v${\displaystyle }$) ${\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)}$을(를) 쓴다$.$

1단계: 정리가 다음 문장과 동등하다는 것을 관찰하십시오.^[3]

• V에는 $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \pi({\mathfrak{g}})$의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 있다$.$

Indeed, the theorem says in particular that a nonzero vector spanning ${\displaystyle V_{n-1}}$ is a common eigenvector for all the linear transformations in ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$. Conversely, if v is a common eigenvector, take ${\displaystyle V_{n-1}}$ to its span and then $$${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \pi({\mathfrak {g})}$은(는) $V{\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\mathrm{V}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- 1 {\$displaystyle$ V$/V_{n-1}$의 공통 고유 벡터를 인정하고$,$ 인수를 반복한다.

2단계: $이상적$인 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 코드션$$ 1을 g ${\$에 찾으십시오$.$

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle D{\mathfak{g}}=[{\mathfak{g},{\mathfak{$g}}}}}}을$($를) 파생 대수학으로 한다.Since ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is solvable and has positive dimension, ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}$ and so the quotient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}$ is a nonzero abelian Lie algebra, which certainly contains an ideal of codimension one 및 이상적인 대응법에 의해, 그것은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 있는 코드인장의 이상에 해당한다$.$

3단계: $h{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$에 선형 기능 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 있으며, 이러한$$ 기능이 있다.

${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V X\cdot v=\lambda(X)v, X\in {\mathfrak {h}\}}}}$

0이 아니다.이는 귀납 가설(유전값이 선형 기능을 결정한다는 것을 쉽게 확인할 수 있음)에서 비롯된다.

4단계: $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}$ - invariant$$ 하위 공간이다$$.(이 단계는 일반적인 사실을 입증하며 해결 가능성을 포함하지 않는다는 점에 유의하십시오.)

Let ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$, then we need to prove ${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$. If ${\displaystyle v=0}$ then it's obvious, so assume ${\displaystyle v\neq 0}$ and set recursively ${\displaystyle v_0=v,v_{}}$${\$$Y\cdot v_{i}}$. Let ${\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i} i\geq 0\}}$ and ${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}}$ be the largest such that ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ are linearly independent.Then we'll prove that they generate U and thus ${\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })}$ is a basis of U. Indeed, assume by contradiction that it's not the case and let ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ be the smallest such that ${\disp$$laystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle }$, then obviously ${\displaystyle m\geq \ell +1}$. Since ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}}$ are linearly dependent, ${\displaystyle v_{\ell +1}}$ is a linear combination of ${\displaysty$$le v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$. Applying the map ${\displaystyle Y^{m-\ell -1}}$ it follows that ${\displaystyle v_{m}}$ is a linear combination of ${\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}}$. Since by the minimality of m each of these vectors is a linear combination of${\displaystyle {}_{}}$$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {v\_}_{}}$${\el$}}, vm ${\$ 그리고 우리는 원하는 모순을 얻는다.We'll prove by induction that for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ and ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ there exist elements ${\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}}$ of the base field such that ${\displaystyle a_{n$$,n$$,X}=\lambda(X)}$ 및

${\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}$

The ${\displaystyle n=0}$ case is straightforward since ${\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}}$. Now assume that we have proved the claim for some ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ and all elements of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ and let ${\displaystyle X\in \mathfrak{h}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak{h$ $h{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle {\mathfrak$ {$h}$이(가) 이상적이기 때문에${\displaystyle }$[${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y\mathfrak{}}$ ${\displaystyle [X,Y]\mathfak {h}}$이$($가) 이상적이기 때문에.

${\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot(X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}$

유도 단계가 뒤따른다.This implies that for every ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ the subspace U is an invariant subspace of X and the matrix of the restricted map ${\displaystyle \pi (X) _{U}}$ in the basis ${\displaystyle \alpha }$ is upper triangular with diagonal elements equal to ${\displaystyle \$$lambda (X)}$, hence ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X) _{U})=\dim(U)\lambda (X)}$. Applying this with ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ instead of X gives ${\displaystyle \operatorna$$me {tr} (\pi ([X,Y]) _{U}=\dim(U)\lambda ([X,Y$ 반면에 U는 Y의 불변적인 하위 공간이기도 하고, 따라서 Y의 불변적인 하위 공간이기도 하다.

${\displaystyle \operatorname {tr}(\pi([X,Y]) _{U}=\operatorname {tr}([\pi(X) _{U}]=0}$

since commutators have zero trace, and thus ${\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=0}$. Since ${\displaystyle \dim(U)>0}$ is invertible (because of the assumption on the characteristic of the base field), ${\displaystyle \lambda ([X,Y])=0}$ and

$[\displaystyle X\cdot(Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]+\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}}$

그리고 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ $\}\}\}.$

5단계: 공통의 고유 벡터를 찾아 증거를 마무리하십시오.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle h}$+ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{h}+L}$를 쓰십시오. 여기서$$ L은 1차원 벡터 서브공간입니다.베이스 필드가 대수적으로 닫혀 있기 때문에, L의 일부(모든) 비제로 원소에 대해$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$에 고유벡터가 존재하며, $그{\displaystyle \mathfrak{}}$ 벡터 역시 h ${\$의 각 원소에 대한 고유벡터이므로 증명이 완료된다$.$${\displaystyle \square }$

결과들

이 ${\displaystyle \mathrm{정리}}$는 특히 0의 $대수적$으로 닫힌 영역에 ${\displaystyle 대해\mathfrak{}}$$$$$g${\displaystyle }$→ g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ $){\displaystyle \operatorname${$ad$$} :{\mathfrak{g}\$mathfrak{g$}$에 $적용$된다$.$${\displaystyle (g}$) ${\$$displaystyle {\mathfak{g}}$에 대한$$ 기준을 $선택$할 수 있으며, display(g ) {\displaystyle $\operatorname {ad}({\mathfrak {g})$은(는$)$ 상위 삼각 행렬로 구성된다.각 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle }$(x , y${\displaystyle }$]) =${\displaystyle }$[${\displaystyle }$ad${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ( x ) ,${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle }$( y ) ${\displaystyle \operatorname {ad}$([$x,y])$에 대해 쉽게 뒤따른다.$=[\datablename {ad}(x),\mbname {ad}(y)}}$은(는) 0으로 구성된 대각선을 가지고$$ 있다. 즉, ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle ([}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y])}$ ${\displaystyle \operatorname {ad}([x,y])}$은(는) 엄격히 상위 삼각 행렬이다.이는${\displaystyle }$[ ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [{\mathfrak{g},{\mathfrak{g}}}}$이(가) 영분수 리 대수임을 암시한다.더욱이, 베이스 필드가 대수적으로 닫히지 않는다면, 리 대수학의 해결 가능성과 영확도는 베이스 필드를 대수적 폐쇄로 확장해도 영향을 받지 않는다.따라서 한 가지 결론은 다음과 같다(다른 함축적 의미는 명백하다.^[4]

특성 0의 필드에 걸친$$ 유한차원 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak {g}$은(는) 파생 $대수{\displaystyle }$ D${\displaystyle g\mathfrak{}}$= [ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$, g${\displaystyle }$]$${\$displaystyle D{\mathfrak{g}=[{\mathfrak {g},{\mathfrak$ {g$}}}}}}}}$이 nilpotent인 경우에만$$ 해결할 수 있다.

또한 리의 정리는 카르탄의 해결가능성 기준에서 한 가지 방향을 설정한다.

If V is a finite-dimensional vector space over a field of characteristic zero and ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$ a Lie subalgebra, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is solvable if and only if ${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}$ for every ${\displaystyle }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ $및{\displaystyle }$ Y${\displaystyle [}$ [ g${\displaystyle }$, ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g},{\mathfrak {g$^[5]

실제로 위와 같이 베이스 필드를 확장한 후에는 함축성 $⇒{\displaystyle \Rightarrow }$을(를) 쉽게 볼 수 있다$$.(반전이 더 어렵다)

거짓말의 정리(다양한 V에 대한)는 다음과 같은 진술과 같다.^[6]

특성 0의 대수적으로 닫힌 필드 위에$$ 있는 해결 가능한 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -module(즉, 표현으로 해석할 수 없는)에 대해, 각 유한 차원 $단순{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ -module$$(즉, 표현으로 해석할 수 없는)은 치수 1을 갖는다.

실제로 리의 정리는 이런 진술을 분명히 함축하고 있다.반대로, 그 진술이 사실이라고 가정해 보자.유한 치수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${g} -module$$ V를 지정하면 V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 최대 $치수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ -submodule$$(차원의 정밀도에 의해 존재함)이$$ 되도록 한다.그러면 최대성 기준으로 $V{\displaystyle }$/ ${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 단순하므로$$ 1차원이다.인덕션이 이제 증거를 완성한다.

그 진술은 특히 아벨리안 리 대수학을 통한 유한차원 단순 모듈이 1차원이라고 말하고 있다; 이 경우 모든 벡터 서브공간은 리 하위공간이기 때문에 이 사실은 어떤 기본분야에서도 사실로 남아있다.^[7]

여기 또 다른 꽤 유용한 응용 프로그램이 있다.^[8]

래디컬 ${\displaystyle \mathrm{래드}}$ ${\displaystyle }$( g$){\displaystyle$ $\$$operatorname {rad}({\$$mathfrak$ {$})$을(를) 가진 특성 0의 대수학적으로 닫힌 필드에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ \operatorname}({\$mathfrak {g$})}을(으)로 한다$$$.$Then each finite-dimensional simple representation ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ is the tensor product of a simple representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ with a one-dimensional representation of ${\displaystyle \mathfrak{g}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}($즉, 눕는 괄호 위에 선형 기능이 소멸됨).

By Lie's theorem, we can find a linear functional ${\displaystyle \lambda }$ of ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ so that there is the weight space ${\displaystyle V_{\lambda }}$ of ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$. By Step 4 of the proofof Lie's theorem, ${\displaystyle V_{\lambda }}$ is also a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module; so ${\displaystyle V=V_{\lambda }}$. In particular, for each ${\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$, ${\displayst$$yle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}$. Extend ${\displaystyle \lambda }$ to a linear functional on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ that vanishes on ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$; ${\displaystyle \lambda }$ is then a one-dimensional representation of ${\displaystyle \mathfrak{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Now, ${\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }$. Since ${\displaystyle \pi }$ coincides with ${\displaystyle \lambda }$ on ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$, we have that $$${\displaystyle V\otimes (-\lambda )}$ is trivial on ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ and thus is the restriction of a (simple) representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$. ${\displaystyle \square }$

참고 항목

• 영점 리 대수학에 관한 엥겔의 정리.
• (연결된) 해결 가능한 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리.

참조

원천

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
• 제이콥슨, 네이쓴, 리 알헤브라스, 1962년 오리지널의 공화국도버 퍼블리셔스, 1979년 뉴욕.ISBN 0-486-63832-4
• 장 피에르 세레: 콤플렉스 세미스이벤트 리 알헤브라스, 스프링거, 베를린, 2001.ISBN 3-5406-7827-1