리 대수

수학에서, 리 대수(Lie algebraq, /lie/LEE로 발음됨)는 제이콥의 항등식을 만족시키는 교대 쌍선형 ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ g × ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ \ $display$ style \ $mathfrak {g}$ \ $times$ \ $mathfrak {g}$ \ $rightarrow$ { $mathfrak {g$ )와 ${\mathfrak {g}}$ 함께 벡터 ${\mathfrak {g}}$ 이다. $x$ (\ $displaystyle$ x $)$ 와 y $(\displaystyle$ y $[x,y]$ 의 $y$ 2개의 $벡터$ g(\ $displaystyle [x,y$ ^[a]의 Lie $[x,y]$ 는 [ $[x,y]$ y $]($ x,y)로 $[x,y]$ 표기됩니다.이 연산과 함께 벡터 ${\mathfrak {g}}$ g(\displaystyle $\mathfrak$ {g $})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 비연관대수이므로 Lie 괄호는 반드시 연관성이 있는 것은 아닙니다.

리 대수는 매끄러운 다양체인 리 군과 밀접하게 관련되어 있다: 어떤 리 군도 항등식에서의 접선 공간인 리 대수를 발생시킨다.반대로, 실수 또는 복소수에 대한 어떤 유한 차원 Lie 대수에 대해서도, 유한 커버링(Lie의 세 번째 정리)까지 고유한 대응하는 연결된 Lie 그룹이 있습니다.이 대응관계를 통해 리 대수의 관점에서 리 군의 구조와 분류를 연구할 수 있다.

물리학에서, 리 그룹은 물리적 시스템의 대칭 그룹으로 나타나고, 그들의 리 대수는 무한대칭 운동으로 생각될 수 있다.따라서 리 대수와 그 표현은 물리학, 특히 양자역학 및 입자물리학에서 광범위하게 사용된다.

기본적인 예는 교차곱 $[x,y]=x\times y.$ [ $[x,y]=x\times y.$ $[x,y]=x\times y.$ $[x,y]=x\times y.$ × $[x,y]=x\times y.$ {\ $displaystyle [x,y$ ] = $x\times$ y $}$ 에 ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ 의해 정의된 괄호 연산을 사용하는 ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ 벡터 ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ $=$ ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ 3(\ $displaystyle$ { $x,y$ }=\ $mathbb$ {R $} ^{3$ })의 공간이다 $.$ $[x,y]=x\times y.$ 이것은 x $x\times y=-y\times x$ × $x\times y=-y\times x$ $=$ - $x\times y=-y\times x$ × $x\times y=-y\times x$ {\ $displaystyle$ x $\times$ y=- $y\times$ x $x\times y=-y\times x$ 이므로 왜곡되며 연관성 대신 Jacobi 정체성을 만족합니다.

x\times z(y\times z)\=(x\times y)\times z +\times z(x\times z).

이는 공간 회전의 Lie 그룹의 Lie 대수이며, 각 $v\in \mathbb {R} ^{3}$ v $v\in \mathbb {R} ^{3}$ R $v\in \mathbb {R} ^{3}$ {\ $style$ v $\in \mathbb {R}$ ^{ $3}}$ 는 $v\in \mathbb {R} ^{3}$ v $\displaystyle$ v의 $v$ 와 같은 속도로 축 $\displaystyle$ v $v$ 를 중심으로 한 극소 회전으로 그려질 수 있다.Lie 브래킷은 두 회전 사이의 불환성을 측정한 것입니다. 회전은 그 자체와 일치하므로 교대 특성 $[x,x]=x\times x=0$ $[x,x]=x\times x=0$ ] $[x,x]=x\times x=0$ × $[x,x]=x\times x=0$ $=$ $[x,x]=x\times x=0$ { $display$ [ $x$ , x , x ]= $x$ \ $times$ x $= 0$ 이 됩니다.

역사

리 대수는 1870년대 ^[1]마리우스 소푸스 리에 의해 극소 변환의 개념을 연구하기 위해 도입되었고 1880년대 빌헬름^[2] 킬링에 의해 독립적으로 발견되었다.리 대수라는 이름은 1930년대에 헤르만 바일에 의해 붙여졌다; 더 오래된 문서에서는, 무한소 군이라는 용어가 사용된다.

정의들

리 대수의 정의

리 대수는 이진 연산 $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ [ $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ : g × $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $→$ g \ $displaystyle$ [ , \ $cdot$ , , \ cdot $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ], 와 함께 F {\ $displaystyle$ F $}$ 의 $\,{\mathfrak {g}}$ $F$ $일부$ 필드에서의 $\,{\mathfrak {g}}$ 공간 $\,{\mathfrak {g}}$ g {\ $displaystyle \,\ mathfrak {g}}}$ 입니다. $다음$ 과 $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ^[b]같은 공리를 만족시키는 Lie 괄호라고 $부릅니다.$

이중선성

[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],

[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]

모든 스칼라

(\displaystyle

a

a

b

(\

displaystyle

F

)

F

모든

요소 x(\

displaystyle

x

x

$y$ $(\displaystyle$ y $y$ z(\ $displaystyle$ z $)$ 에

z

대해 g

(\

에 대해 설명합니다.

대체성,

[x,x]=0\

모든

x에

대해

{\mathfrak {g}}

g

\

displaystyle {mathfrak {g

로 지정합니다

x

.

야코비 정체성

\displaystyle [x,[y,z]+[y,[z,x]+[z,[x,y]=0\}

$모든$

x

$(\$

displaystyle

x), y

(\

$displaystyle$ y $y$ $z$ (\ $displaystyle$ z $)$ 에

z

대해 g

(\

로 지정합니다.

${\mathfrak {g}}$ 을 사용하여 $[x+y,x+y]$ Lie $[x+y,x+y]$ [ $[x+y,x+y]$ + y , x + $y ]{ displaystyle$ [x + y $,$ $[x,y]+[y,x]=0\$ + y $[x,y]+[y,x]=0\$ ]}을 $[x+y,x+y]$ $y$ (를 $)$ 확장하고 교대로 사용하면 ${\$ $displaystyle$ $[x$ , $y$ + $[x,y]+[y,x]=0\$ [ $[x,y]+[y,x]=0\$ , x $=$ { $displaystyle$ x $x$ }, $y$ ${\mathfrak {g}}$ = $0$ 이 $표시$ 됩니다 $[x,y]+[y,x]=0\$ $.$ nd 대체성이 의미하는 것은

반상호성,

\ displaystyle [ x , y ] = displayy , x , \ }

모든 요소

x {\

displaystyle

x

x

$g$

{\mathfrak {g}}

{\

displaystyle

{g $y$

{\mathfrak {g}}

의y {\displaystyle

y

$}.$ 필드의 특성이 2가 아닌 경우 반양성성은 [

[x,x]=-[x,x].

]

[x,x]=-[x,x].

[

[x,x]=-[x,x].

.

[x,x]=-[x,x].

{

displaystyle [x,x

] =

displayx,

를 의미하므로

[x,x]=-[x,x].

대체성을 의미합니다.

}

^[3]

일반적으로 Lie 대수는 g ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ $(\$ style $\mathfrak {g,h,b,n$ 과 ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ 소문자 프락터 문자로 나타냅니다.Lie 대수가 Lie 그룹과 관련되어 있는 경우 대수는 그룹의 프락터 버전으로 표시됩니다.예를 들어 SU(n)의 Lie 대수는 ${\mathfrak {su}}(n)$ \style $s입니다.$ $n$

제너레이터 및 치수

${\mathfrak {g}}$ 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 요소(style ${mathfrak$ ${\mathfrak {g}}$ { $g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ 이러한 요소를 포함하는 가장 작은 부분 대수가 ${\mathfrak {g}}$ g( $style {mathfrak$ {g $})$ ${\mathfrak {g}}$ 일 경우 생성된다고 합니다.Lie 대수의 치수는F(\ $displaystyle$ F $F$ $F$ 의 벡터 공간으로서의 치수입니다.Lie 대수의 최소 생성 집합의 카디널리티는 항상 그 치수보다 작거나 같습니다.

다른 작은 예는 저차원 실제 리 대수의 분류를 참조하십시오.

하위 대문자, 이상 및 동형사상

Lie 괄호는 연관지을 필요가 없습니다.즉 $[[x,y],z]$ [ $[x,[y,z]]$ $[[x,y],z]$ $]{displaystyle [[x$ $[x,[y,z]]$ $y$ $[x,[y,z]]$ $z$ $}{displaystyle [x,y,$ displaystyle [x,y, $z$ 는 $[[x,y],z]$ $[x,[y,z]]$ 필요는 없습니다.단, 유연합니다.그럼에도 불구하고, 연상 고리와 대수의 용어 대부분은 일반적으로 리 대수에 적용된다.Lie 서브대칭은 Lie 괄호 아래에 닫힌 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 공간 h ${\$ ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ ( $표시$ 스타일 ${mathfrak$ {h $}})$ 입니다 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ . $아이디얼$ 는 $보다$ 강한 ^[4]조건을 만족시키는 $서브대칭이다.$

\displaystyle [{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {i}}\displayeq {mathfrak {i}}.}

리 대수의 동형사상은 각 리 대괄호와 호환되는 선형 맵입니다.

\displaystyle \phi : {\mathfrak {g'}에서 \mathfrak {g'},\display \phi([x,y])로=[\phi(x),\phi(y)]\{text{for all}}\x,y\in {mathfrak {g}.}

연상환의 경우, 이상은 정확히 동형사상의 알맹이이다. ${\mathfrak {g}}$ 대수 g(\displaystyle\ $mathfrak$ {g ${\mathfrak {g}}$ })와 ${\mathfrak {i}}$ 안에 이상 i(\displaystyle\ $mathfrak$ {i})가 ${\mathfrak {i}}$ 있을 때, 인수 대수 g 또는 몫 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ g $(\$ 를 구성한다.동형 정리는 리 대수에 적용된다.

Lie 괄호는 대응하는 Lie 그룹의 미소한 정류자의 일종이기 때문에 괄호가 사라지면 x $[x,y]=0$ $[x,y]=0$ $x,y\in {\mathfrak {g}}$ g $,$ $y, in {mathfrak {g}$ 의 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 의 요소 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ , $x,y\in {\mathfrak {g}}$ , y, y $=$ { $display$ $style$ [ $x,y$ ]= $0$ 이 $($ ) 통근한다고 합니다 $[x,y]=0$

$S\subset {\mathfrak {g}}$ S $S\subset {\mathfrak {g}}$ {\ $displaystyle$ S $\subset$ { $mathfrak {$ $g}}$ 의 $S\subset {\mathfrak {g}}$ 중앙집합 서브대수는S { $displaystyle$ S $S$ 로 $S$ 하는 요소의 집합입니다. ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ , z ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ( ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ) ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ { ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ [ ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ , ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ] $=$ ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ( s ) $。$ xt ${모든 }s\in$ S ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$ ${\mathfrak {g}}$ g $(\displaystyle$ { $mathfrak {$ g})의 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$ 은 g $(\displaystyle {mathfrak {g$ 입니다. 마찬가지로부분공간 S의 정규화 부분대수는 g ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}$ S ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}$ 이다 $S$ ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}$ ∈ S}{\displaystyle{\mathfrak{n}}_{\mathfrak{g}}(S)=\{x\in{\mathfrak{g}}))\mid[x,s]\in S\{모든 \text{에}})s\in S\}}.[5]Equivalently, 만약 S{S\displaystyle}은 정선 subalgebra, ng({\displaystyle{\mathfrak{n}}_{\mathfrak{g}}(S)}가장 큰 subalgebra가 S{S\displaystyle}은 ani $)$ { $style {mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}(S$ 의 딜.

예

d ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$ g ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$ ( 2 ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$ ) { $displaystyle$ { $d$ $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ } \ $subset$ { $mathfrak$ { $gl }$ } $d$ $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ 2 $g$ $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ l $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ ( $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ ) $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ { $displaystyle$ g $\$ $in$ \ $mathfrak$ ${$ $gl$ $}$ ( 2 ) $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ d $（$ 2 $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ ） $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ $displaystyled$ : d $（$ 2 $d\in {\mathfrak {d}}(2)$

${argined}\left[{\display{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}, {\display{bmatrix}x&0\y\right]=display {bmatrix}ax&by\dy\end{bmatrix}\x&bmatrix}\x&b}\x&batrix}\x&batrix{x}x}x}x}x}x}x}x}x}x}x}x}x}x}x$

는 d ${\mathfrak {d}}(2)$ ( $){$ $displaystyle {d}}(2)$ 가 ${\mathfrak {d}}(2)$ 서브대칭이지만 이상은 아님을 ${\mathfrak {d}}(2)$ .사실, 리 대수의 모든 1차원 선형 부분 공간은 유도된 아벨리안 리 대수 구조를 가지고 있는데, 이것은 일반적으로 이상이 아니다.어떤 단순한 리 대수에 대해서도, 모든 아벨리안 리 대수는 결코 이상이 될 수 없다.

직합과 반직접 곱

2개의 Li ${\mathfrak {g^{}}}$ g ${\mathfrak {g^{}}}$ ${mathfrak$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$ { $g$ $^{}}}$ ${\mathfrak {g'}}$ g ${\$ { $displaystyle$ { $g$ $`}$ 의 경우, 이들의 직합은 모든 쌍 ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ 으로 구성된 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$ 벡터 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$ g ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$ g g g g {\ $displaystyle$ { $g}\oplus$ {\ $mathfrak$ { $g},$ x ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ 입니다 ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ $ystyle$ {{ $mathfrak {}}(x,x'),x\in$ {g $},x'\in$ { $mathfrak$ { $g$ 연산 포함

{\displaystyle [(x,x',),(y,y'),=([x,y],[x',y'),

${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$ ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$ { $display$ \ style \ $mathfrak$ { $g$ } , $[(x,0),(0,x')]=0.$ { \ $mathfrak$ { g ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$ } } 의 ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$ 복사본이 서로 이동하도록 합니다 $[(x,0),(0,x')]=0.$ [ $[(x,0),(0,x')]=0.$ ( $[(x,0),(0,x')]=0.$ , 0 $[(x,0),(0,x')]=0.$ ) , $[(x,0),(0,x')]=0.$ ( 0 , $[(x,0),(0,x')]=0.$ ) ] $[(x,0),(0,x')]=0.$ 0 . \ $displaystyle [$ ( x , 0 , 0 , ( 0 , x ' ) ) ] > $=$ . $}$

g $(\$ 를 ${\mathfrak {g}}$ Lie 대수, ${\mathfrak {i}}$ (\ $displaystyle\mathfrak {g$ 를 ${\mathfrak {i}}$ g $(\$ displaystyle $\displaystyle$ $\$ mathfrak ${g})$ 의 이상이라고 ${\mathfrak {g}}$ 합니다. ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ 맵 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ $/$ i(\ $displaystyle$ \displaystyle $\mathfrak$ {g $}$ 에서 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ tyle\mathfrak ${$ g}/{g}/{\ $mathfrak$ {g})로 분할하면 분할됩니다. $splaystyle {mathfrak {g}}$ 은 ${\mathfrak {g}}$ (는) i $\$ $displaystyle$ { $mathfrak {i$ $}$ 및 ${\mathfrak {i}}$ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ $displaystyle {mathfrak {g}/{\mathfrak {i}$ 의 반다이렉트 제품이라고 합니다 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$ 대수학

리바이스의 정리는 유한 차원 리 대수는 그것의 근소수와 보완 하위 대수의 반직접적 산물이라고 말한다.

파생상품

라이 ${\mathfrak {g}}$ g $(또는$ 비연관 대수) ${\mathfrak {g}}$ 에 대한 파생은 라이프니츠의 법칙을 따르는 선형 지도 $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ : $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ $→$ g $\display$ \ $display \carrow \mathfrak {g}\$ rightarrow \ $mathfrak {g}$ 이다 $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ .

\displaystyle \displays ([x,y])=[\param(x),y]+[x,\param(y)]}

모든 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ $x,y\in {\mathfrak {g}}$ $,$ $style$ x $,y$ in,\ $mathfrak$ {g $}$ 에 대해 지정합니다.임의의 ${\$ $x\in {\mathfrak {g}}$ (\ $displaystyle x\in\mathfrak$ {g $})$ 와 $x\in {\mathfrak {g}}$ 관련된 내부 파생은 $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ $)$ $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ [ $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ $](\displaystyle \mathrm {ad} _{x$ $})$ 로 $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ 된 $\mathrm {ad} _{x}$ x x { $displaystyle \m$ {ad} $_{$ x}를 $\mathrm {ad} _{x}$ $\mathrm {ad} _{x}$ 인접 관계입니다. $=[x,$ y $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ (이것은 야코비 항등식의 결과로서 도출된 것입니다.외부 유도체는 리 대수의 인접 표현에서 나오지 않는 유도체이다. $(\$ 가 ${\mathfrak {g}}$ 반단순이면 모든 파생은 내부입니다.

파생된 벡터 $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ D $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ( $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ g $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ) \ $displaystyle \mathrm {Der}({\$ $mathfrak$ ${g$ 을 형성합니다.이것은 $(\displaystyle {g$ 의 Lie 서브대칭입니다.괄호는 정류자입니다.내부 파생은 D $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ( g $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ) $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ { $displaystyle \mathrm {Der}({\mathfrak$ {g $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ 의 Lie 하위 대수를 형성합니다.

예

예를 들어, Li ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ i $(\$ 에서 g $(\$ { $g$ $})$ 의 ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $(\$ 는 i $(\$ 에서 ${\mathfrak {i}}$ ${\mathfrak {i}}$ ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$ 로서 작용합니다. $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ , $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ ] $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ $x\in {\mathfrak {g}}$ i $x\in {\mathfrak {g}}$ ( \ $display style$ [ $x$ , $i$ ] \ $subset$ \ $display style$ x \ in \ $mathfrak$ { $g }$ ) ${\mathfrak {gl}}(n)$ $i\in {\mathfrak {i}}$ （ \ $displaystyle i$ \ $in$ \ $mathfrak$ { $i$ $}$ ${\mathfrak {b}}_{n}$ ）。 ${\mathfrak {gl}}(n)$ 의 리 ${\mathfrak {gl}}(n)$ 대수 b ${\mathfrak {b}}_{n}$ ( ${\mathfrak {gl}}(n)$ \ $displaystystyle$ { $mathfrak$ { $b ）$ ））。( $n$ 이는 정확히 상위 삼각행렬의 ${\mathfrak {n}}_{n}$ $(\$ 을 가진다(여기서 0이 아닌 원소만이 행렬의 대각선 위에 있음). ${\mathfrak {b}}_{3}$ 를 들어 b 3 $({$ 및 ${\mathfrak {n}}_{3}$ 3 $({$ 의 ${\mathfrak {n}}_{3}$ 원소의 정류자는 다음을 나타낸다.

${\displaystyle{\begin{정렬}[{\begin{bmatrix}a&, b&, c\\0&, 기운, e\\0&, 0&, f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&, x&, y\\0&, 0&, z\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}\right]&, ={\begin{bmatrix}0&, ax&, ay+bz\\0&, 0&, dz\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&, dx&, ex+yf\\0&, 0&, fz\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}\\&, ={\begin{bmatrix}0&,(a-d)x&,(a-f)y-ex+bz\\0&, 0&,(d-f)z\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}\end{정렬}}}$

는 ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ der ( ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ ) ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ \ $displaystyle$ { n } \ text { Der } （ { \ $mathfrak$ { $n }$ _ {3} ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ ）의 b ${\mathfrak {b}}_{3}$ { $display$ style { b } $_$ } $3$ ${\mathfrak {b}}_{3}$ deriv deriv deriv deriv deriv deriv deriv deriv deriv deriv deriv $deriv$ deriv deriv deriv derivations shows shows $showsationsations$ shows shows shows shows shows shows shows shows shows shows

분할 리 대수

V를 필드 F 위의 유한 차원 벡터 공간, ${\mathfrak {gl}}(V)$ ( V ${\mathfrak {gl}}(V)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathfrak {gl}$ ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ ） ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ g $l$ ( V ) \ $displaystyle$ \ $mathfrak {gl}$ \ subseteq \ $mathfrak {gl}$ （ $V$ ） lie ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ lie al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al al ${\mathfrak {g}}$ 의 ${\mathfrak {g}}$ 선형 변환 특성 $다항식$ 의 ${\mathfrak {g}}$ 근이 기저장 ^[6] $F$ 에 있으면 $g$ 는 분할된다고 ${\mathfrak {g}}$ 한다 $.$ 보다 일반적으로, 유한 차원 ${\mathfrak {g}}$ 대수 ${\mathfrak {g}}$ g $(\displaystyle\mathfrak$ { $g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ 인접 $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ad: $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ( $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ g $)\displaystyle$ \ $operatorname$ {ad} : {\ $mathfrak$ {gl} { $g}$ ~ {\ $mathfrak}$ {g}인 카르탄 서브대수가 있는 경우 분할된다고 한다.복소수 반단순 리 대수의 분할 실수 형식(cf).#실제 형태와 복잡화)는 분할 실수 리 대수의 한 예이다.자세한 내용은 분할 리 대수를 참조하십시오.

벡터 공간 기준

실제 계산을 위해서는 종종 대수에 대한 명시적 벡터 공간 기초를 선택하는 것이 편리하다.이를 위한 공통구조를 물품구조상수로 스케치한다.

범주 이론 표기법을 사용한 정의

위의 정의는 리 대수에 대한 일반적인 이해에 충분하지만, 일단 이것을 이해하면, 추가적인 통찰력은 범주 이론에 공통적인 표기법, 즉 선형 지도의 관점에서 리 대수를 정의함으로써, 즉 벡터 공간의 범주의 형태론을 개별 요소를 고려하지 않고 얻을 수 있다.(이 절에서 대수가 정의되는 장은 두 개의 특성과는 다른 것으로 간주됩니다.)

리 대수의 범주 이론 정의에는 두 개의 편조 동형이 필요하다.A가 벡터 공간일 $경우$ , $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ : A $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ A $→$ A $display$ A \ $displaystyle \$ display : $A\otimes$ A $\to$ A $\otimes$ A는 $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ $다음$ 과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \displaystyle (x\otimes y)=y\otimes x .

$\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ : $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ 、 $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ \ $displaystyle \$ : : $A\otimes A\otimes$ A\ $to$ A $\otimes$ A\otimes A $\otimes$ A는 $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $다음$ 과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \mathrm {id} \otimes \displays (\displaystyle \mathrm {id} ),

$\mathrm {id}$ 서 i d $\$ 는 $\mathrm{id}$ 아이덴티티 모르피즘입니다. $\sigma$ 로 $§(\displaystyle \sigma)$ 는 $\sigma$ 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \displaystyle (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.

이 표기법으로 리 대수는 형태론과 함께 벡터 공간의 범주에서 $객체$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 로 $A$ 정의할 수 있다.

(\displaystyle [\cdot,\cdot]):A\otimes A\오른쪽 화살표 A}

두 형태소 등가성을 만족시키는 것

\displaystyle [\cdot,\cdot]\displays (\mathrm {id} +\displays )= 0,}

그리고.

[\cdot,\cdot]\times \mathrm {id}\times (\mathrm {id} +\time +\time ^{2})= 0 .

예

벡터 공간

동일한 0의 Lie 괄호를 가진 벡터 $공간$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 는 $V$ Lie 대수가 됩니다.이러한 리 대수는 아래 cf.에서 아벨리안이라고 불린다.필드 위의 모든 1차원 Lie 대수는 Lie 괄호의 교대로 아벨리안이다.

정류자 괄호와의 연관 대수

$(x,y)\mapsto xy$ $(x,y)\mapsto xy$ x $y$ ( $, y$ )\ $mapsto$ xy $(x,y)\mapsto xy$ 의 필드F(\ $displaystyle$ F $)$ 위의 $F$ 연관 $대수$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 에서 $A$ Lie 괄호는 정류자 $[x,y]=xy-yx$ [ $[x,y]=xy-yx$ ] $=$ $[x,y]=xy-yx$ - $(\displaystyle [x,$ y]= $y-xyxy$ 로 정의할 수 $.$ 연관대수 A는 리 $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$ 대수의 포락대수( $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$ [, $]],$ \ $displaystyle (A,[,\cdot,,\cdot$ 라고 불린다. 모든 리 대수는 이와 같이 연관대수에서 발생하는 대수에 포함될 수 있다.
위의 Lie 괄호와 F 벡터 $공간$ V $(\displaystyle$ V $)$ 의 $V$ 내형상 관련 대수는 g $)$ 로 ${\mathfrak {gl}}(V)$ 됩니다.\ $displaystyle {gl$
유한한차원 벡터 공간 동안 n×n매트릭스의 V=Fn{\displaystyle V=F^{n}}, 앞선 예는 정확하게 리 대수denoted g나는(n, F){\displaystyle{\mathfrak{gl}}(n,F)}또는 입수l n(F){\displaystyle{\mathfrak{gl}}_ᆱ(F)},[8]고 브래킷[X, Y])XY− YX{\displa.yst $yle [X,Y]=XY-YX}($ 인접은 $[X,Y]=XY-YX$ 행렬 곱셈을 나타냅니다).이것은 가역 행렬로 구성된 일반 선형 그룹의 Lie 대수입니다.

특수 매트릭스

${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ l ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ ( ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ ) { $displaystyle$ { $mathfrak {gl} _ {n}(F)}$ 의 ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ 두 가지 중요한 서브 대수는 다음과 같습니다.

트레이스 0의 행렬은 특수 선형 리 ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$ l n $)$ { $displaystyle {mathfrak {sl}_{n}(F$ 특수 선형 군 $\mathrm {SL} _{n}(F)$ L $\mathrm {SL} _{n}(F)$ n ( $)$ { $displaystyle \mathrm {SL} _{n}(F$ ^[9]의 라이 대수를 형성한다.
스큐-은하트 행렬은 유니터리 리 ${\mathfrak {u}}(n)$ u ( ${\mathfrak {u}}(n)$ $){displaystyle {mathfrak {u}(n$ 유니터리 군 U(n)의 라이 대수를 형성한다.

매트릭스 리 대수

복소행렬군은 행렬 $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$ group $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$ n ( $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$ ) \ $displaystyle$ G $\subset$ M_ ${n}(\mathbb {C$ 로 이루어진 Lie 군이며, 여기서 G의 곱은 행렬 곱셈이다.대응하는 Lie ${\mathfrak {g}}$ g(\ $style {mathfrak {g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 선형 $M_{n}(\mathbb {C} )$ M $)$ 내의 G에 대한 탄젠트 벡터인 행렬의 공간입니다.\ $style$ M_ ${n}(\mathbb {C$ 은 다음과 같은 항등식에서 G의 매끄러운 곡선의 도함수로 구성됩니다.

${g}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C})\mid\{text{smooth}}c:\mathbb {R}\to G,\c(0)=I\$

g ${\mathfrak {g}}$ {\ $displaystyle {g}}$ 의 ${\mathfrak {g}}$ Lie 괄호는 행렬의 정류자 $[X,Y]=XY-YX$ [ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ X ${\displaystyle [X,Y$ ] $=XY-YX$ 에 의해 주어지며, Lie 대수가 주어질 경우 행렬 $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ expotential $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ 의 이미지로 복구할 수 $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ . $M_{n}(\mathbb {C})\to$ M_ ${n}(\mathbb {C})$ 은 $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ exp $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ ( $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ ) $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ + $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ + $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ 2 ! $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ 2 + $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ ( \ $displaystyle$ \exp ( $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ X ) $=$ 로 정의됩니다. $I+X+{\tfrac {1}{2!$ }} $X^{$ 2}+\ $cdots$ }. 모든 행렬 $X$ {\ $displaystyle$ X $X$ : 즉 $G=\exp({\mathfrak {g}})$ $G=\exp({\mathfrak {g}})$ $exp$ ( $G=\exp({\mathfrak {g}})$ g $G=\exp({\mathfrak {g}})$ ) {\ $displaystyle$ G = \exp ( {\ $mathfrak {$ g $G=\exp({\mathfrak {g}})$ $。$

다음은 행렬 Lie 그룹의 ^[10]Lie 대수의 예입니다.

특수 ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ ( ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ C ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ )(\ $displaystyle {SL}_{n}(\mathbb {C$ 은 행렬식 1을 갖는 $모든$ n × $n$ 행렬로 구성됩니다.그 ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ s ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ( ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ C ) ( \ $displaystyle$ \ $mathfrak$ { $sl}$ _ { $n$ } ( \ $mathbb$ { C ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ } )은 ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ $복소$ $엔트리$ 와 트레이스 0을 가진 모든 n × n 행렬로 구성됩니다.마찬가지로 대응하는 실제 Lie ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ n ( ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ ) ( \ $displaystyle \ rm$ { $SL$ } ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ _ { n $}$ ) ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ s ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ l n ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ R ) ( \ displaystyle \ $mathfrak$ { $sl} _$ { $n$ } ( \ $mathbb$ { R $}$ )을 ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ 정의할 수 있습니다.
$U(n)$ U $)$ { $displaystyle$ U $(n)}$ 는 $U(n)$ $U^{*}=U^{-1}$ × n개의 단위행렬로 구성된다(U ∗ $=$ - $U^{*}=U^{-1}$ { $displaystyle$ U^{*}= U $^{-1}).$ Lie ${\mathfrak {u}}(n)$ ( ${\mathfrak {u}}(n)$ n $)({$ style $\mathfrak$ {u $}}(n))$ 는 ${\mathfrak {u}}(n)$ 스큐 자기 점 행렬( $X^{*}=-X$ $X^{*}=-X$ $=$ - $X^{*}=-X$ { $displaystyle$ X^{*}=- $X})$ 로 구성됩니다.
특수 직교군 $\mathrm {SO} (n)$ O ( $\mathrm {SO} (n)$ ) $\mathrm {SO} (n)$ \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $SO$ } ( n ) $\mathrm {SO} (n)$ 실제 결정식 1 직교 행렬 ( $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ - $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ \ $displaystyle$ A^ { \ $mathrm$ { $T$ } = $A^$ { - 1 $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ } ) = $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ A^ { - { - $1$ } 。Lie ${\mathfrak {so}}(n)$ ${\mathfrak {so}}(n)$ ( $n )({$ style { $mathfrak$ {so $}}(n))$ 는 실제 ${\mathfrak {so}}(n)$ 스큐 행렬( $X^{\rm {T}}=-X$ T $=$ - $X^{\rm {T}}=-X$ \ $style X^{\rm$ {T}}=-X $)$ 로 구성됩니다.완전 $\mathrm {O} (n)$ O ( $\mathrm {O} (n)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $O$ $\mathrm {SO} (n)$ （ $n$ $\mathrm {SO} (n)$ ） \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $\mathrm {SO} (n)$ O （ n $）$ $\mathrm {SO} (n)$ see see see see접속 성분으로 $\mathrm {SO} (n)$ 되어 있으므로 S $\mathrm {SO} (n)$ ( $n$ ) $\mathrm {SO} (n)$ \ $displaystyle$ \ $mathrm { SO$ （ n ） $\mathrm {SO} (n)$ n $\mathrm {SO} (n)$ ）。대칭 행렬마찬가지로, 단순히 복잡한 행렬 엔트리를 허용함으로써 이 그룹과 대수의 복잡한 버전을 정의할 수 있다.

2차원

모든 $필드$ F(\ $displaystyle$ F $)$ 에는 $F$ 동형사상까지 단일 2차원 노벨리안 라이 대수가 있습니다.생성기 x, y에서 $\left[x,y\right]=y$ 는 [ $\left[x,y\right]=y$ x , $\left[x,y\right]=y$ ] $=$ { $displaystyle \left [x,y\right$ ]= $y$ 로 정의되며, 1차원으로 아핀 그룹을 생성합니다.

이는 다음 행렬을 통해 실현될 수 있습니다.

(\displaystyle x=\leftwarray{array}1&0\\0&end{array}\right),\qquad y=\leftwarray\twarray}{cc}0&1\0&0\end{array}\right).}

부터

\leftwarray\c\0&0\end{array}\right}^{n+1}=\leftwarray\c\0&0\end{array}\right

임의의 $자연수$ n(\ $displaystyle$ n $)$ 및 c(\ $displaystyle$ c $c$ 에 대해 결과 Li 그룹 요소는 단위 대각선이 낮은 상위 삼각형의 2×2 행렬임을 알 수 있습니다.

\exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y}=\left {array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}}{a}}&{\tfrac {array}\right}=1+{\tfrac {a}{a}{cdot}{a}{cdot}{a}{a}}}{cd}}}{cdot}}}{cd left}}}

3차원

하이젠베르크 ${\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )$ $)$ ({ $displaystyle {H}}_{3}(mathbb {R}))$ 은 ${\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )$ 리 대괄호로 묶은 x, $y$ , $z$ $요소$ 에 의해 생성되는 3차원 리 대수입니다.

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

,

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

]

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

, [

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

,

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

]

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

, [

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

,

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

]

=

\

displaystyle [ x

,

y

]=

z

, \ displaystyle [

x

, z ]=

0

, \ displaystyle [ x , y , z ]= 0 , \ display [ y , z ]= 0

[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0

}

보통 3×3 엄밀하게 상삼각행렬의 공간으로 정의되며, 정류자 Lie 브래킷과 기초가 있다.

x=\left&0\display{array}{ccc}{ccc}\right},\display y=\leftstyle\display{array}{ccc}0&0&1\0&0&0\display}{cccccright},\display y={array}{array}\light}\syslogs

하이젠베르크 그룹의 모든 요소는 그룹 생성기의 산물로서 표현된다. 즉, 이러한 리 대수 생성기의 행렬 지수,

\leftcarray\ccc\\0&1&b\0&1\end{array}\right}=e^{by}e^{cz}e^{ax}~

군 SO(3)의 ${\mathfrak {so}}(3)$ 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$ ( $3)$ {style { $mathfrak$ {so $}}(3)$ 는 ${\mathfrak {so}}(3)$ 3개의^[11] 행렬에 의해 확장된다.

\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}{ccc}0&0&0&1\end{array}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&1\0&0&0&0}\end{1&0&0&0&0&0&0&0}\right})\syslogs }

이들 발전기간의 정류관계는 다음과 같다.

\displaystyle [F_{1}, F_{2}]=F_{3}}

{\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},

[F_{3},F_{1}]=F_{2}.

벡터의 교차곱에 의해 주어지는 Lie 괄호를 가진 3차원 유클리드

\mathbb {R} ^{3}

R3

(\displaystyle \

mathbb

{

R

} ^{

3

\mathbb {R} ^{3}

})은 위와 같은 변환 관계를 가진다

{\mathfrak {so}}(3)

따라서 s

{\mathfrak {so}}(3)

( 3)

{\mathfrak {so}}(3)

\

displaystyle

{so

}}(3

와 동형이다. 이 Lie 대수는 일반적인 스핀(각학)과 동일하다.양자역학에서 스핀-1 입자에 대한 척골-유도 성분 연산자.

무한 차원

무한 차원 실재 리 대수의 중요한 클래스는 미분 위상에서 발생한다.미분 가능한 다양체 M 위의 매끄러운 벡터장 공간은 리 대수를 형성하며, 여기서 리 괄호는 벡터장의 정류자로 정의된다.Li 브래킷을 표현하는 한 가지 방법은 Li 도함수의 형식주의를 통해 L(f)을 X 방향으로 함수 f의 방향도함수로 함으로써_X 매끄러운 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자_X L을 갖는 벡터장 X를 동정한다.두 벡터 필드의 Lie 괄호 [X,Y]는 다음 공식에 따라 함수에 대한 동작을 통해 정의된 벡터 필드입니다.

L_{X,Y}}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f)\,

Kac-Moody 대수는 위의 유한 차원 경우와 구조가 매우 유사한 무한 차원 리 대수의 큰 클래스이다.
모얄 대수는 모든 고전 리 대수를 하위 대수로 포함하는 무한 차원 리 대수이다.
비라소로 대수는 끈 이론에서 가장 중요하다.

표현

정의들

${\mathfrak {gl}}(V)$ 공간 V가 주어졌을 때, g ${\mathfrak {gl}}(V)$ ( ${\mathfrak {gl}}(V)$ ) ( { $displaystyle$ \ $mathfrak {gl}}$ ( $V)$ )는 ${\mathfrak {gl}}(V)$ V의 모든 선형 내형상으로 이루어진 라이 대수를 나타내며 $[X,Y]=XY-YX$ [ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]=XY-YX$ - $[X,Y]=XY-YX$ X \ $displaystyle [X,Y]$ 로 괄호가 주어지는 라이 ${\mathfrak {g}}$ 를 나타낸다 $.$

\displaystyle \pi : {\mathfrak {g}}에서 \mathfrak {gl}(V)로 이동합니다.}

커널이 0일 경우 표현은 충실하다고 합니다.아도의 정리는^[12] 모든 유한 차원 리 대수는 유한 차원 벡터 공간에 충실한 표현을 가지고 있다고 말한다.

인접 표현

$모든$ ${\mathfrak {g}}$ 대수 $g$ 에 대해 $표현$ 을 정의할 수 있습니다 ${\mathfrak {g}}$

({displaystyle\operatorname{ad}\displaystyle\mathfrak {g}\to\mathfrak {g}})

ad $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ( $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ) ( $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ) $=$ [ $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ , $]$ { $displaystyle \operatorname {ad$ } ( $x)(y)=[x,y$ ; $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ 은 ${\mathfrak {g}}$ 인접 표현이라고 불리는 벡터 ${\mathfrak {g}}$ g \ $displaystyle \mathfrak {g}$ 위의 표현이다.

대표이론의 목적

리 대수의 연구의 중요한 한 측면은 그들의 표현에 대한 연구이다. (실제로, 참고 문헌 섹션에 나열된 대부분의 책들은 그들의 페이지의 상당 부분을 표현 이론에 할애한다.)Ado의 정리가 중요한 결과이긴 하지만, 표현 이론의 주된 목표는 주어진 ${\mathfrak {g}}$ 대수 ${\mathfrak {g}}$ g의 $충실$ 한 표현을 찾는 것이 $아니다$ . 실제로, 반단순의 경우, 인접 표현은 이미 충실하다 ${\mathfrak {g}}$ 그보다는 동등한 $개념$ 까지 g의 가능한 모든 $표현$ 을 이해하는 것이 목표입니다 ${\mathfrak {g}}$ 특성 0의 장에 대한 반단순 사례에서, 바일의 정리는^[13] 모든 유한 차원 표현은 환원할 수 없는 표현의 직접적인 합이라고 말한다.다시, 축소할 수 없는 표현은 가장 높은 무게의 정리에 의해 분류된다.

물리학에서의 표현 이론

리 대수의 표현 이론은 이론 물리학의 다양한 부분에서 중요한 역할을 한다.여기서는 특정 자연 정류 관계를 만족시키는 상태의 공간에 대한 연산자를 고려한다.이러한 정류 관계는 일반적으로 문제의 대칭성에서 비롯된다. 구체적으로는 관련 대칭 그룹의 Lie 대수의 관계이다.예를 들어, 각 운동량 연산자는 회전 그룹 SO(3)의 라이 ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ o( $)$ { $displaystyle {mathfrak {so}}(3)$ 의 ${\mathfrak {so}}(3)$ 변환 관계이다.일반적으로 상태 공간은 관련 연산자 하에서는 축소할 수 없지만 축소할 수 없는 조각으로 분해할 수 있습니다.그렇게 함으로써 주어진 리 대수의 축소 불가능한 표현을 알 필요가 있다.예를 들어 양자 수소 원자에 대한 연구에서 양자역학 교과서는 (그것을 그렇게 부르지 않고) 리 ${\mathfrak {so}}(3)$ s ${\mathfrak {so}}(3)$ (3 $)$ 의 환원 불가능한 표현에 대한 분류를 제공한다.\ displaystyle { $mathfrak {so}}(3$

구조 이론 및 분류

리 대수는 어느 정도 분류될 수 있다.특히, 이것은 Lie 그룹의 분류에 적용된다.

아벨리안, 무가수, 해결 가능

파생된 부분군의 관점에서 정의되는 아벨리안, 영가역, 그리고 해결 가능한 그룹과 유사하게, 아벨리안, 영가역, 그리고 해결 가능한 리 대수를 정의할 수 있다.

리 ${\mathfrak {g}}$ g(\ $displaystyle\$ mathfrak ${g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ g(\ $display\$ style $\$ $mathfrak {$ $g$ ${\mathfrak {g}}$ 의 모든 x 및 y에 대해 Lie 괄호가 사라지면 아벨리안 리 대수 g(\display $\$ kbb $})$ 가 됩니다. 아벨리안 리 대수 g는 벡터 $\mathbb {K} ^{n}$ k(\ $display\kbb)$ 와 같은 가 연결된 가환된 리 그룹에 대응합니다. $\mathbb {T} ^{n}$ n \ $displaystyle \mathbb {T}$ ^{ $n$ { are 、 \ display \ $mathfrak$ { $k$ } ^{n ${\mathfrak {k}}^{n},$ } of of 。이는 모두 $,$ \ $style \mathfrak$ {k}^{ $n}$ 으로, 단순한 Lie 괄호로 둘러싸인 n차원 벡터 공간을 의미합니다.

리 대수의 보다 일반적인 클래스는 주어진 길이의 모든 정류자가 사라짐으로써 정의된다.A Lie ${\mathfrak {g}}$ g(\ $displaystyle\mathfrak {g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 중앙 하단의 급수가 0일 경우 무효입니다.

{mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}}, {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}}>[[[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}}, {\mathfrak {g}}>\cdots

결국 0이 됩니다.엥겔의 정리에 따르면 $,$ 리 대수는 $g$ 의 ${\mathfrak {g}}$ u에 ${\mathfrak {g}}$ 대하여 부연 내형사상이 존재한다면, 그리고 그 $경우$ 에만 0이 $된다.$

\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}에서 {\mathfrak {g},\cisco \operatorname {ad}(u)v=[u,v]}까지

무효입니다.

보다 일반적으로, Lie ${\mathfrak {g}}$ g(\ $style\mathfrak {g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 파생 급수가 다음과 같은 경우 풀 수 있다고 한다.

{mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}}, {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}, [{\mathfrak {g}, {\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}}, [{\mathfrak {g}}}}, [{\mathfrak {g}}}}, {\mathfrak {g}}}}}]\cdots

결국 0이 됩니다.

모든 유한 차원 리 대수는 그것의 급진이라고 불리는 독특한 최대 해결 가능한 이상을 가지고 있다.Lie 대응에서 nilpotent(각각 해결 가능) 연결된 Lie 그룹은 nilpotent(각각 해결 가능) Lie 대수에 대응한다.

심플하고 반심플

리 대수는 사소하지 않은 이상이 없고 아벨이 아니라면 "단순"하다.(이는 1차원(필연적으로 아벨리안) 라이 대수는 정의상 단순하지 않다는 것을 암시한다.)리 ${\mathfrak {g}}$ g(\ $displaystyle\mathfrak {g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 단순 대수의 직합과 동형이면 반심플이라고 한다.0이 아닌 해결 가능한 이상이 없는 것과 같은 반단순 대수의 몇 가지 동등한 특성이 있다.

리 대수에 대한 반단순성의 개념은 표현의 완전한 환원성(반단순성)과 밀접하게 관련되어 있다.지면장 F가 특성 0을 가질 때, 반단순 리 대수의 유한 차원 표현은 반단순이다(즉, 환원 불가능한 표현의 직합).일반적으로 리 대수는 인접 표현이 반단순일 경우 환원이라고 불립니다.그러므로, 반단순 리 대수는 환원적이다.

카르탕 기준

카르탄의 기준은 리 대수가 영가능, 해결 가능 또는 반단순이 될 수 있는 조건을 제공한다.이는 다음 공식에 의해 정의된 g $\$ 위의 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ 쌍선형 형태인 Killing 형태의 개념을 기반으로 합니다.

{\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr}(\operatorname {ad}(u)\operatorname {ad}(v)},

여기서 tr은 선형 연산자의 트레이스를 나타냅니다.Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ (\ $displaystyle\mathfrak {g})$ 는 ${\mathfrak {g}}$ Killing 형식이 퇴보하지 않은 경우에만 반단순입니다. ${\mathfrak {g}}$ 대수 ${\mathfrak {g}}$ g는 K ${\mathfrak {g}}$ ( g , [ g , g $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$ ) $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$ $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$ . $displaystyle$ K ( { \ $mathfrak {g }$ , [ { \ $mathfrak$ {g} , { \ $mathfrak {$ g} } $=$ 인 $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$ 에만 풀 수 있다. $}$

분류

리바이스 분해는 임의의 리 대수를 거의 표준적인 방법으로 해결 가능한 래디컬과 반단순 리 대수의 반직접 합으로 표현한다. (그런 분해는 특성 0의 장에 걸친 유한 차원 리 대수에 존재한다.)^[14]또한, 대수적으로 닫힌 장에 대한 반단순 리 대수는 루트 시스템을 통해 완전히 분류되었다.

거짓말 그룹과의 관계

점

x(\

displaystyle

x

x

의 구면 접선 공간

.

x(\

displaystyle

x)가

x

아이덴티티

x

인 경우 접선 공간도 리 대수입니다.

비록 리 대수는 종종 그들 자신의 권리로 연구되지만, 역사적으로 그들은 리 군을 연구하기 위한 수단으로 생겨났다.

이제 리 그룹과 리 대수의 관계를 간략하게 설명하겠습니다.모든 Lie 그룹은 규범적으로 결정된 Lie 대수(구체적으로는 항등식의 접선 공간)를 발생시킨다.반대로 유한 차원 Lie ${\mathfrak {g}}$ g $(\$ $mathfrak$ ${g$ 에 대해 Lie ${\mathfrak {g}}$ g(\ $style\$ displaystyle\mathfrak ${g$ 와 대응하는 연결된 $Lie$ 군 G(\ $displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 존재합니다.이것은 리의 세 번째 정리이다; 베이커-캠벨-하우스도르프 공식을 참조하라.이 Lie 그룹은 고유하게 결정되지 않지만, 같은 Lie 대수를 가진 모든 두 개의 Lie 그룹은 국소적으로 동형이며, 특히 동일한 보편적 피복을 가진다.예를 들어 특수직교군 SO(3)와 특수유니터리군 SU(2)는 $\mathbb {R} ^{3}$ 3})와 $\mathbb {R} ^{3}$ 같은 Li 대수를 생성하지만 SU(2)는 단순히 연결된 SO(3)의 2중 커버이다.

그러나 단순히 연결된 Lie 그룹을 고려한다면 다음과 같은 일대일 대응 관계가 있습니다.각 (유한차원 실수) 리 ${\mathfrak {g}}$ g(\ $displaystyle\$ $mathfrak$ ${$ g ${\mathfrak {g}}$ 에 대해 리 ${\mathfrak {g}}$ g $(\displaystyle\$ displaystyle $G)$ 와 $G$ 단순하게 연결된 고유한 리 $군$ G(\ $displaystyle$ G)가 있습니다.

리 대수와 리 군 사이의 대응은 리 군의 분류와 리 군의 표현 이론의 관련 문제를 포함하여 여러 가지 방법으로 사용된다.리 대수의 모든 표현은 대응하는 연결된 단순 연결된 리 군의 표현으로 고유하게 상승하고, 반대로 임의의 리 군의 모든 표현은 그룹의 리 대수의 표현을 유도한다; 그 표현들은 일대일 대응에 있다.그러므로, 리 대수의 표현을 아는 것은 그룹의 표현에 대한 문제를 해결한다.

분류에 관해서는, 소정의 Li 대수를 가지는 임의의 접속 Li군이, 이산 중앙 부분군인 유니버설 커버 모드와 동형인 것을 알 수 있다.따라서 리 그룹을 분류하는 것은 리 대수의 분류가 알려지면(반단순 케이스의 카르탄 외 연구진에 의해 해결됨) 중앙의 이산적인 하위 그룹을 세는 문제가 된다.

만약 리 대수가 무한 차원이라면, 문제는 더 미묘하다.많은 경우에 지수 맵은 국소적으로도 동형사상이 아니다(예를 들어 Diff¹(S)에서는 exp의 이미지에 없는 아이덴티티에 임의로 가까운 미분동형을 찾을 수 있다).게다가, 일부 무한 차원 리 대수는 어떤 그룹의 리 대수가 아니다.

실제 형태와 복잡성

복소수 Li ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$ g { $style$ { $mathfrak$ ${g$ $}}$ { ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ $}$ { $display$ } { ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ ${$ $g$ $}}$ {displaystyle $}$ ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ {displaystyle {mathfrak ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ { $g$ }} {displaystyle} { $mathfrak$ { $g}}}$ { $g}}$ { $mathbbb}$ {rames} {d} {dis} { ${\mathfrak {g}}$ }}} {dis $}$ {displaystyes} {disc} {disc} {displaystyle} { ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ } {Hbb{C}\simeq{\mathfrak{g}}}}{\displaystyle{\mathfrak{g}입수해}독특할 필요가 없는 진짜의 형태 .[15]다;예를 들어, 나는 2Cs{\displaystyle{\mathfrak{sl}}_{2}\mathbb{C}}두개의 실제적인 형태 열심인 나는 2R{\displaystyle{\mathfrak{sl}}_{2}\mathbb{R}}과 친구의 u2{\displays 동형이다.tyle ${{mathfrak {su}}_{2$ ^[15]

반단순 유한 차원 복소수 Lie ${\mathfrak {g}}$ g(\ $displaystyle\mathfrak {g$ 가 주어졌을 때, 분할 형식은 분할되는 실수 형식이다. 즉, 실제 고유값을 가진 인접 표현을 통해 작용하는 카르탄 하위 대수가 있다.분할 형식이 존재하며 고유합니다(이형사상까지).^[15]콤팩트 형태는 콤팩트 리 군의 리 대수인 실수 형태이다.콤팩트한 양식이 존재하며 ^[15]고유하기도 합니다.

추가 구조가 있는 리 대수

Lie 대수는 브래킷과 호환되는 것으로 가정되는 몇 가지 추가 구조를 장착할 수 있습니다.예를 들어, 등급화된 리 대수는 등급화된 벡터 공간 구조를 가진 리 대수이다.만약 그것이 또한 미분과 함께 온다면(그래서 기본 등급 벡터 공간이 연쇄 복소수이다), 그것은 미분 등급 리 대수라고 불린다.

단순 리 대수는 리 대수의 범주에 있는 단순 객체이다. 즉, 기본 집합을 단순 집합으로 대체함으로써 얻을 수 있다(따라서 리 대수의 일족으로 더 잘 생각할 수 있다).

리 링

리 고리는 리 대수의 일반화 또는 하위 중앙 계열 그룹의 연구를 통해 발생한다.Lie 링은 반치환적이며 Jacobi ID를 만족시키는 곱셈을 가진 비관련 링으로 정의됩니다.구체적으로는 Lie $링$ L $(\displaystyle$ L $)$ 을 $L$ 다음 속성을 가진 연산 [ $]](\displaystyle [\cdot,\cdot$ ])을 $[\cdot ,\cdot ]$ 가진 아벨 그룹으로 정의할 수 있습니다.

이중선:

[x+y,z]=[x,z]+[y,z],\display [z,x+y]=[z,x]+[z,y]

모든 x, y, z l L에 대해.

자코비 아이덴티티:

\displaystyle [x,[y,z]+[y,[z,x]+[z,[x,y]=0\context }

모든 x, y, z in L에 대해.

모든 x in L:

[x,x]=0\displays

Lie 링은 추가되는 Lie 그룹일 필요는 없습니다.임의의 Lie 대수는 Lie 링의 예입니다.어떤 연관환도 괄호 $[x,y]=xy-yx$ 연산자 [ $[x,y]=xy-yx$ $[x,y]=xy-yx$ $[x,y]=xy-yx$ ] $=$ $[x,y]=xy-yx$ - $[x,y]=xy-yx$ x { $displaystyle [x,y$ ]= $xy-yx$ 를 정의함으로써 Lie 링으로 만들 수 있습니다. 반대로 어떤 Lie 대수에도 유니버설 포락 대수로 불리는 대응 링이 있습니다.

라이 링은 라자드 대응을 통한 유한 p-그룹 연구에 사용된다.p-group의 하위 중심 인자는 유한 아벨 p-groups이므로 Z/pZ 이상의 모듈입니다.하부 중심 인자의 직접 합계는 브래킷을 2개의 코제트 대표자의 정류자로 정의함으로써 Lie 링 구조를 제공합니다.리 링 구조는 p번째 전원 맵이라는 또 다른 모듈 동형성을 통해 강화되어 관련된 리 링은 소위 제한된 리 링으로 간주됩니다.

리 고리는 또한 p-adic 정수와 같은 정수의 고리에 대한 리 대수를 연구함으로써 p-adic 분석 그룹과 그 내형성의 정의에 유용하다.체발리에 의한 리 유형의 유한 그룹의 정의는 복소수 위의 리 대수에서 정수의 리 대수까지 제한한 다음, 유한 필드 위의 리 대수를 얻기 위해 모듈로 p를 줄이는 것을 포함한다.

예

필드가 아닌 일반 링 위의 모든 Lie 대수는 Lie 링의 예입니다.리 링은 이름에도 불구하고 추가되는 리 그룹이 아닙니다.
임의의 어소시에이트 링은 브래킷 연산자를 정의함으로써 Lie 링으로 만들 수 있습니다.

({displaystyle [x,y]=xy-yx})

그룹의 연구에서 발생하는 Lie 링의 예로서 G $(\displaystyle$ G $)$ 를 $G$ [ $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ - $(\displaystyle [x,y$ ] = $x^{-1}y^{-1}$ xy $})$ 정류자 연산을 갖는 $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ 군으로 $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ G $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ 0 $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ 1 $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ ⊇ 2 ⊇ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ ⊇ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ ⊇ 。 $\supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ 는 $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ G $\$ $display$ $style$ G의 $중앙$ 시리즈입니다.이것은 변환자 $[G_{i},G_{j}]$ [ $Gi$ $,$ $]([G_i,$ $G_$ ${$ $j$ $G_{i+j}$ })의 $i-style$ 에 $G_{i+j}$ 되어 $있습니다$ .그리고나서

L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1

는 그룹 연산(각 동종 부품에서 아벨리안)에 의해 추가되는 Lie 링이며, 다음과 같은 브래킷 연산에 의해 제공됩니다.

[xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j}\

선형으로 연장됩니다.시리즈의 중심성은 정류자

[x,y]

,

]

{

displaystyle [x,y]}

이

[x,y]

(가) 브래킷 작동에 적절한 Lie 이론적 특성을 부여합니다.

「」를 참조해 주세요.

언급

^ 대괄호 $[,]$ 는 쌍선형 연산 "×"를 나타내며, 종종 동일한 벡터 공간상의 연관곱에 대해 [ $x, y]$ = $x$ y - $y$ $x$ 가 정류자이다 $.$ 하지만 꼭 그렇지는 않아요!
^ Bourbaki(1989년, 섹션 2.)에서는 일반적으로 교환 링 상의 모듈을 사용할 수 있습니다.이 기사에서는 이것을 Lie 링이라고 부릅니다.

레퍼런스

^ 오코너 & 로버트슨 2000
^ O'Connor & Robertson 2005
^ 험프리스 1978, 페이지 1
^ 정류자의 반상환성 때문에, 리 대수의 왼쪽 이상과 오른쪽 이상에 대한 개념이 일치한다.
^ 제이콥슨 1962, 페이지 28
^ 제이콥슨 1962, 페이지 42
^ 부르바키 1989, § 1.2 예 1.
^ 부르바키 1989, § 1.2 예 2
^ 험프리스 1978, 페이지 2
^ 2015년 홀, 33.4
^ 2015년 홀, 예 3.27
^ 제이콥슨 1962년 6장
^ 2015년 홀 정리 10.9
^ 제이콥슨 1962장 3장 9절
^ ^a ^b ^c ^d Fulton & Harris 1991, 26.1파운드.

원천

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외부 링크

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[1] 대괄호 $[,]$ 는 쌍선형 연산 "×"를 나타내며, 종종 동일한 벡터 공간상의 연관곱에 대해 [ $x, y]$ = $x$ y - $y$ $x$ 가 정류자이다 $.$ 하지만 꼭 그렇지는 않아요!

[4] Bourbaki(1989년, 섹션 2.)에서는 일반적으로 교환 링 상의 모듈을 사용할 수 있습니다.이 기사에서는 이것을 Lie 링이라고 부릅니다.

[2] 오코너 & 로버트슨 2000

[3] O'Connor & Robertson 2005

[5] 험프리스 1978, 페이지 1

[6] 정류자의 반상환성 때문에, 리 대수의 왼쪽 이상과 오른쪽 이상에 대한 개념이 일치한다.

[7] 제이콥슨 1962, 페이지 28

[8] 제이콥슨 1962, 페이지 42

[9] 부르바키 1989, § 1.2 예 1.

[10] 부르바키 1989, § 1.2 예 2

[11] 험프리스 1978, 페이지 2

[12] 2015년 홀, 33.4

[13] 2015년 홀, 예 3.27

[14] 제이콥슨 1962년 6장

[15] 2015년 홀 정리 10.9

[16] 제이콥슨 1962장 3장 9절

[Fulton_26-17] Fulton & Harris 1991, 26.1파운드.

[a]

[1]

[2]

[b]

[3]

[4]

[6]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

권한 관리
국립도서관	스페인 프랑스. (데이터) 독일. 이스라엘 미국 일본. 체코 공화국
다른.	대상 용어의 적용 면 SUDOC(프랑스) 1

대수 구조 → 고리 이론 링 이론

기본 개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 비율 링 • 소수점 이상 • 분수의 총 고리 • 링 제품 • 연상 대수의 자유곱 • 대수의 텐서 곱 링 동형사상 • 커널 • 내부 자기동형성 • 프로베니우스 내형성 대수 구조 • 모듈 • 연관 대수 • 등급 링 • 인볼루티브 링 • 링의 카테고리 • 초기 $\mathbb {Z}$ Z ${\displaystyle \mathbb$ { $Z}$ • 단자 $0=\mathbb {Z} _{1}$ 0 $=$ $0=\mathbb {Z} _{1}$ 1 {\ $displaystyle$ 0=\ $mathbb {Z} _{1}}$ 관련 구조 • 필드 • 유한 필드 • 비연관 링 • 리 링 • 조던 링 • 세미닝 • 세미필드
가환 대수 교환환 • 통합 도메인 • 통합 폐쇄 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 인수 분해 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 도메인 • 필드 • 유한 필드 • 컴포지션 링 • 다항식 링 • 정식 파워 시리즈 링 대수적 수론 • 대수적 수 필드 • 정수의 고리 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/역 한계 • $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb {Z} _{1}$ 1 $(\$ • 정수 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ 로 Zⁿ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ n $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ { $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ Z ( ${\$ ) ( \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { Z } ( $p^$ { \ infty $}$ ) } • Base-p 원 $\mathbb {T}$ T ${\display\mathbb$ {T $}$ } • Base-p $\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathbb {Z} }$ • $\mathbb {Z} [1/p]$ 은 $\mathbb {Z} [1/p]$ Z [ $\mathbb {Z} [1/p]$ $\mathbb {Z} [1/p]$ $]{ displaystyle \mathbb {Z} [1/$ p]} • Base-p 실수 $\mathbb {R}$ {\style $\mathbb {R} 표시}$ • p-adic $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ p \ $style \mathbb {Z} _{p}$ • p-adic $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${$ style $\mathbb {Q}_{p}$ 표시 • p-adic $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {T} _{p}$ p \ $style \mathbb {T}$ _ ${p}$ 대수기하학 • 아핀 품종
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