국소 유한군
Locally finite group수학에서, 집단이론의 분야에서, 국소적으로 유한한 집단은 유한집단과 유사한 방법으로 연구될 수 있는 집단의 한 유형이다.실로우 부분군, 카터 부분군, 그리고 국소적으로 유한한 집단의 아벨리아 부분군이 연구되었다.이 개념은 1930년대에 러시아의 수학자 세르게이 체르니코프에 의해 작동된 것으로 인정받고 있다.[1]
정의와 첫 번째 결과
국부적으로 유한한 집단은 미세하게 생성된 모든 부분군이 유한한 집단을 말한다.
국소적으로 유한한 집단의 주기적 하위 집단은 미세하게 생성되어 유한하므로 모든 원소는 유한한 질서를 가지며, 따라서 집단은 주기적이다.
예시 및 비예시
예:
- 모든 유한 집단은 국소적으로 유한하다.
- 유한 집단의 모든 무한 직접 합은 국소적으로 유한하다(Robinson 1996, 페이지 443). (직접 생산물은 그렇지 않을 수 있지만)
- 오메가 카테고리 그룹
- 프뤼퍼 집단은 국소적으로 유한한 아벨 집단이다.
- 모든 해밀턴 집단은 지역적으로 유한하다.
- 모든 주기적인 해결 가능한 그룹은 국소적으로 유한하다(Dixon 1994, Prop.1.5).
- 국소적으로 유한한 집단의 모든 부분군은 국소적으로 유한하다. (증거).G는 국소적으로 유한하고 S는 부분군으로 한다.S의 모든 미세 생성 부분군은 G의 (완성 생성) 부분군이다.
- 홀의 유니버설 그룹은 카운트할 수 있는 국소 유한 집단을 서브그룹으로 포함하는 국소 유한집합이다.
- 모든 그룹에는 지역적으로 유한한 고유한 최대 정규 하위 그룹이 있다(Robinson 1996, 페이지 436).
- 복잡한 숫자에 걸쳐 일반 선형 그룹의 모든 주기적인 부분군은 국소적으로 유한하다.국소적으로 유한한 모든 그룹은 주기적이기 때문에, 이는 선형 그룹과 주기 그룹의 경우 조건이 동일함을 의미한다.[2]
비예시:
- 무한 질서의 요소를 가진 그룹이 국소적으로 유한한 그룹이 없음
- 국소적으로 유한한 비경쟁적 자유 그룹이 없음
- 타르스키 괴물 집단은 주기적이지만 국소적으로 유한하지는 않다.
특성.
국소적으로 유한한 그룹의 등급은 부분군, 인용구 및 확장에 따라 폐쇄된다(Robinson 1996, 페이지 429).
국소적으로 유한한 집단은 더 약한 형태의 실로우의 이론들을 만족시킨다.국소적으로 유한한 그룹이 다른 p-subgroup에 포함된 유한 p-subgroup을 가지고 있지 않다면, 모든 최대 p-subgroup은 유한하고 결합된다.접합자가 매우 많으면 접합자의 수는 1 modulo p로 일치한다.실제로, 국소적으로 유한한 그룹의 모든 계산 가능한 하위 그룹이 카운트할 수 있는 최대 p-부분군만 있다면, 그룹의 모든 최대 p-부분군은 결합이다(Robinson 1996, 페이지 429).
국소적으로 유한한 집단의 등급은 유한집단의 등급과 다소 유사하게 작용한다.1960년대 형성 및 피팅계급 이론은 물론, 오래된 19세기 및 1930년대 부분군 이론의 상당부분이 국소 유한집단 이론에서 아날로그를 가지고 있다(Dixon 1994, 페이지 v.).
번사이드 문제와 유사하게, 수학자들은 모든 무한 집단이 무한 아벨의 하위 집단을 포함하는지에 대해 궁금해 했다.일반적으로 이것이 사실일 필요는 없지만, 필립 홀 등의 결과는 지역적으로 무한히 유한한 모든 집단이 무한한 아벨리아 집단을 포함하고 있다는 것이다.무한 집단 이론에서 이 사실의 증거는 Feit-에 의존한다.톰슨은 홀수 질서의 유한집단의 용해성에 관한 정리(Robinson 1996, 페이지 432).
참조
- ^ Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). "S. N. Chernikov and the development of infinite group theory". Algebra and Discrete Mathematics. 13 (2): 169–208.
- ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons, pp. 256–262
- Dixon, Martyn R. (1994), Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups, Series in Algebra, vol. 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499
- Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
외부 링크
- A.L. Shmel'kin (2001) [1994], "Locally finite group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- 오토 H. 케겔과 버트람 A.F. Wehrfritz(1973), 지역 유한 그룹, 엘스비에
