번사이드 문제

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대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
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번사이드 문제는 모든 원소의 질서가 유한한 정밀하게 생성된 그룹이 반드시 유한한 그룹이어야 하는지를 묻는다.1902년 윌리엄 번사이드(William Burnside)에 의해 제기되어 집단 이론에서 가장 오래된 질문 중 하나가 되었으며 결합 집단 이론의 전개에 영향을 미쳤다.1964년 에브게니 골로드와 이고르 샤파레비치가 반례를 제시하면서 전반적으로 부정적인 답변을 하는 것으로 알려져 있다.문제는 그룹 요소의 순서에 따라 부과되는 추가 조건이 다른 많은 개선사항과 변형(아래 제한 및 제한 참조)이 있으며, 그 중 일부는 여전히 공개 질문이다.

간략한 역사

초기 작업은 긍정적인 대답을 지향했다.예를 들어 그룹 G가 미세하게 생성되고 G의 각 원소의 순서가 4의 구분자라면 G는 유한하다.더구나 A. I. Kostrikin은 1958년에 주어진 발전기 수와 주어진 주요 지수를 가진 유한한 집단들 중에서 가장 큰 것이 존재한다는 것을 증명할 수 있었다.이것은 주요 지수의 경우에 제한된 번사이드 문제에 대한 해결책을 제공한다. (Later, 1989년에 Efim Zelmanov는 임의 지수의 제한된 번사이드 문제를 해결할 수 있었다.)Issai Schur는 1911년에 변환 가능한 n × n 복합 행렬 그룹의 하위 그룹인 미세하게 생성된 주기 집단은 유한하다는 것을 보여주었다; 그는 요르단-슈르 정리를 증명하기 위해 이 정리를 사용했다.^[1]

그럼에도 번사이드 문제에 대한 일반적인 대답은 부정적으로 드러났다.1964년 골로드와 샤파레비치는 모든 원소가 균일하게 경계된 질서를 가지고 있다고 가정하지 않고 번사이드 타입의 무한 집단을 구축했다.1968년 표트르 노비코프와 세르게이 아디안은 4381보다 큰 모든 홀수 지수에 대한 경계 지수 문제에 대한 부정적 해결책을 제공했다.1982년 A. Yu. Ol'shanskii는 충분히 큰 홀수 지수 (10보다¹⁰ 큰)에 대해 주목할 만한 몇 가지 백배수를 발견했고 기하학적 사상에 근거한 상당히 간단한 증거를 제공했다.

고른 지수의 경우는 훨씬 해결하기가 어려운 것으로 나타났다.1992년 S. V. 이바노프는 2의 큰 힘으로 분할할 수 있는 충분히 큰 고른 지수에 대한 부정적 해결책을 발표했다(세부 증명은 1994년에 출판되어 약 300페이지를 차지했다).이후 올샨스키와 이바노프의 공동 연구는 지수가 충분히 크다는 전제하에 쌍곡선 그룹에 대한 번사이드 문제의 아날로그에 대한 부정적 해결책을 확립했다.이와는 대조적으로 지수가 작고 2, 3, 4, 6과 다를 때는 거의 알려져 있지 않다.

일반 번사이드 문제

그룹 G는 모든 원소가 유한한 질서를 가지고 있다면 주기적이라고 불린다. 즉, G의 각 G에 대해ⁿ g = 1. 분명히 모든 유한 집단은 주기적이다.p-group과^∞ 같이 정의하기 쉬운 그룹이 존재하지만, p-group은 무한 주기 그룹이다. 그러나 후자 그룹은 정확히 생성될 수 없다.

번사이드 장군 문제.만약 G가 미세하게 생성되고 주기적인 그룹이라면, G는 반드시 유한한 것인가?

이 문제는 1964년 에브게니 골로드와 이고르 샤파레비치에 의해 부정적으로 대답되었는데, 에브게니 골로드와 이고리 샤파레비치는 미세하게 생성되는 무한 p-그룹의 예를 제시하였다(골로드-샤파레비치 정리 참조).그러나 이 집단의 원소들의 순서는 하나의 상수에 의한 선행은 아니다.

경계 번사이드 문제

일반적인 번사이드 문제의 어려움의 일부는 정밀하게 생성되고 주기적인 요건이 그룹의 가능한 구조에 대한 정보를 거의 제공하지 않는다는 것이다.따라서 G에 대해 더 많은 요구사항을 제기한다. G의 모든 G에 대해ⁿ, g = 1. 이 속성을 가진 그룹은 한정된 지수 n으로 주기적 또는 단지 지수 n으로 주기적이라고 하는 최소 정수 n이 존재하는 추가 속성을 가진 정기 그룹 G를 고려한다.경계 지수를 가진 그룹에 대한 번사이드 문제:

번사이드 문제 I.G가 지수 n을 가진 정밀하게 생성된 그룹이라면 G는 반드시 유한한 것인가?

이 문제는 특정 가족에 속한 집단의 순결성에 대한 질문으로 다시 풀릴 수 있는 것으로 나타났다.순위 m과 지수 n의 자유 번사이드 그룹은 B(m, n)로 표시되며, m 고유 생성기 x₁, ..., x가_m 모든 요소 x에 대해 ID xⁿ = 1을 보유하며, 이 요구 사항을 충족하는 "가장 큰" 그룹이다.보다 정확히 말하면, B(m, n)의 특징적인 특성은 m 발생기₁ g, ..., g_m 및 지수 n을 가진 그룹 G를 고려할 때, B(m, n)의 ith 발생기 x를_i G의 ith_i 발생기 g로 매핑하는 B(m, n)부터 G까지의 고유한 동형성이 있다는 것이다.그룹 프리젠테이션 언어에서, 자유 번사이드 그룹 B(m, n)는 m 생성기₁ x, ..., x를_m 가지고 있으며, x₁, ..., x의_m 각 단어에 대한 관계 xⁿ = 1을 가지고 있으며, 지수 n의 m 생성기를 가진 그룹 G는 추가 관계를 부과하여 그로부터 얻는다.자유로운 번사이드 집단의 존재와 이소모르피즘에 이르는 그것의 독특함은 집단 이론의 표준 기법에 의해 확립된다.따라서 G가 정밀하게 생성된 지수 n의 그룹이라면 G는 B(m, n)의 동형상 이미지인데 여기서 m은 G. 번사이드 문제의 발생기 수입니다. 이제 다음과 같이 재작성할 수 있다.

번사이드 문제 II.어떤 양의 정수 m, n은 자유 번사이드 그룹 B(m, n)가 유한한가?

이 형태의 번사이드 문제에 대한 완전한 해결책은 알려져 있지 않다.번사이드 씨는 본고문에서 몇 가지 쉬운 사례를 고려했다.

• B(1, n)는 n 순서의 주기적 그룹이다.
• B(m, 2)는 순서 2의 주기적 그룹에 대한 m 복사본의 직접적인 산물이다. 따라서 유한하다.^{[note 1]}

다음과 같은 추가 결과가 알려져 있다(번사이드, 사노프, M. 홀).

• B(m, 3), B(m, 4), B(m, 6)는 모든 m에 대해 유한하다.

B(2, 5)의 특별한 경우는 개방되어 있다. 2020년^[update] 현재 이 집단이 유한한지 여부는 알려져 있지 않다.

번사이드 문제 해결의 돌파구는 1968년 표트르 노비코프와 세르게이 아디안이 달성한 것이다.복잡한 조합 논거를 사용하여, 그들은 n > 4381을 가진 모든 홀수 n에 대해 무한하고 정밀하게 생성된 n 지수 그룹이 존재함을 증명했다.아디안은 나중에 홀수 지수의 한계를 665로 개선했다.^[2]홀수 지수에 대한 경계 지수에 대한 최근의 개선은 아디안이 2015년에 직접 얻은 101이다.고른 지수의 경우는 상당히 더 어려운 것으로 나타났다.1994년에야 세르게이 바실리예비치 이바노프가 노비코프-아디안 정리의 아날로그를 증명할 수 있었다: 어떤 m > 1과 짝수 n ≥ 2⁴⁸, n으로⁹ 나누어질 수 있는 그룹 B(m, n)는 무한하다. 노비코프-아디안 정리와 함께, 이것은 모든 m > 1과 n ≥ 2에⁴⁸ 대한 부정성을 암시한다.이것은 I. G. Lysernok에 의해 1996년에 m > 1과 n ≥ 8000으로 개선되었다.노비코프-아디안, 이바노프, 리세르녹은 자유 번사이드 그룹의 구조에 대해 상당히 정밀한 결과를 확립했다.홀수 지수의 경우, 자유 번사이드 그룹의 모든 유한 부분군은 순환 집단으로 나타났다.짝수 지수의 경우, 각 유한 부분군은 두 개의 이음 부위의 곱에 포함되며, 비주기적 유한 부분군이 존재한다.더욱이 단어와 결합 문제는 홀수 및 짝수 지수 n의 경우 모두 B(m, n)에서 효과적으로 해결할 수 있는 것으로 나타났다.

번사이드 문제에 대한 유명한 계급의 백열은 모든 비주기의 적절한 하위집단이 유한한 순환집단인 소위 타르스키 몬스터인 비주기의 무한집단에 의해 형성된다.그러한 집단의 첫 번째 예는 A에 의해 구성되었다. 1979년 기하학적 방법을 사용한 올샨스키의 O.는 긍정적으로 풀었다.슈미트의 문제지1982년 Ol'shanskii는 자신의 결과를 강화하여 존재를 확립할 수 있었다, 모든 비경쟁적인 적절한 하위 그룹이 주기적인 순서 p 그룹인 미세하게 생성된 무한 그룹의 소수 p (1명은 p⁷⁵ > 10)에 대해 충분히 큰 소수 p (1명은 p > 10)를 만들었다.1996년에 발표된 논문에서 이바노프와 올샨스키이는 충분히 큰 지수를 위한 임의의 쌍곡선 그룹에서 번사이드 문제의 아날로그를 풀었다.

제한된 번사이드 문제

1930년대에 공식화한 이 책은 또 다른 관련 질문을 던진다.

제한된 번사이드 문제.m 발생기와 지수 n을 가진 그룹 G가 유한하다는 것이 알려져 있다면, G의 순서는 m과 n에만 의존하는 어떤 상수에 의해 경계된다고 결론 내릴 수 있는가?동등하게, 지수 n의 m 생성자를 가진 유한한 그룹이 이형성까지 있는 것인가?

번사이드 문제의 이 변형은 m 생성기와 지수 n을 가진 특정 범용 그룹의 관점에서도 명시될 수 있다.집단 이론의 기본적인 결과에 따르면, 어떤 집단에서든 유한 지수의 두 부분군의 교차점은 그 자체가 유한 지수의 부분군이다.M을 유한 지수를 갖는 자유 번사이드 그룹 B(m, n)의 모든 부분군의 교차점이라고 하자, 그러면 M은 B(m, n)의 정상 부분군이다(그렇지 않으면 M에 없는 원소를 포함하는 유한 지수를 갖는 부분군 gMg가⁻¹ 존재한다).따라서 그룹 B₀(m, n)를 요인 그룹 B(m, n)/M으로 정의할 수 있다.m 생성기가 있는 모든 유한 지수 n 그룹은 B₀(m, n)의 동형상이다.그러면 제한된 번사이드 문제는 B₀(m, n)가 유한집단인지 묻는다.

주요 지수 p의 경우, 이 문제는 A에 의해 광범위하게 연구되었다. I. 코스트리킨은 1950년대, 일반적인 번사이드 문제의 부정적인 해결 이전에.B₀(m, p)의 미세성을 확립한 그의 해법은 유한한 성격의 리 알헤브라의 정체성에 대한 깊은 의문과 관계를 이용했다.독단적인 지수의 경우는 1994년 그의 업적으로 필즈 메달을 받은 에핌 젤마노프에 의해 찬성으로 완전히 해결되었다.

메모들

참조

참고 문헌 목록

• S. I. Adian (1979) 번사이드의 문제와 집단에서의 정체성.존 레녹스와 제임스 위골드가 러시아어로 번역했다.Ergebnisse der Mathalik under Ihrer Grenzgebiete [수학과 관련 영역의 결과], 95. Springer-Verlag, 베를린-뉴욕.ISBN 3-540-08728-1.
• S. 나 Adian(2015년)."무한한 번 그룹의 대표급 선수 중 새로운 평가는".트루디가 Matematicheskogo Instituta Imeni VA.Steklova(러시아어로).289:41–82. doi:10.1134/S0371968515020041.Adian, S. 나(2015년)에서 번역은."무한한 번 그룹의 대표급 선수 중 새로운 평가는".그 Steklov 연구소 수학의 논문집.289(1):33–71. doi:10.1134/S0081543815040045.
• S. V. Ivanov (1994). "The Free Burnside Groups of Sufficiently Large Exponents". International Journal of Algebra and Computation. 04: 1–308. doi:10.1142/S0218196794000026.
• S. V. Ivanov; A. Yu. Ol'Shanskii (1996). "Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents". Transactions of the American Mathematical Society. 348 (6): 2091–2138. doi:10.1090/S0002-9947-96-01510-3.
• A. I. 코스트리킨(1990) 번사이드 주변.러시아어에서 번역되었고 제임스 위골드의 서문과 함께 번역되었다.에르헤비니스 데르 메틸리크(Ergebnisse der Mathalik)와 이헤르 그렌즈게비엣(3) [수학과 관련 영역의 결과 (3)], 20. 베를린 스프링거-베를라크.ISBN 3-540-50602-0.
• 나 G. Lysënok(1996년)."심지어 지수의 무한 번 그룹"(러시아어로).60(3):3–224. doi:10.4213/im77.{{ 들고 일기}}:Cite저널 Lysënok, 나. G.(1996년)에서journal=( 도와 주)번역이 필요하다."심지어 지수의 무한 번 그룹".이즈베스티야:수학이야. 60(3):453–654.Bibcode:1996IzMat..60..453L. doi:10.1070/IM1996v060n03ABEH000077.
• A. Yu. Ol'shanskii(1989) 집단으로 관계를 정의하는 기하학.1989년 유. A. Bakhturin(1991) 수학과 그 응용 (소비에트 시리즈), 70. Dordrecht: Kluwer 학술 출판사 그룹.ISBN 0-7923-1394-1.
• E. 젤마노프(1990년)."제한된 번 사이드 문제의 불가사의한 지수의 그룹을 위해 여러 방책".이즈베스티야 Rossiiskoi Akademii Nauk.Seriya Matematicheskaya(러시아어로)54세(1):42–59, 221.Zel'manov, E나는(1991년)에서 번역은."그 제한된 번 사이드의 문제 이상해 Exponent의 단체에 붕괴".그 USSR-Izvestiya 수학은. 36세(1):41–60.Bibcode:1991IzMat..36...41Z.doi:10.1070/IM1991v036n01ABEH001946.S2CID 39623037.
• E. 젤마노프(1991년)."제한된 번 사이드 문제의 2-groups에 붕괴".Matematicheskii Sbornik(러시아어로).182(4):568–592.Zel'manov, E나는(1992년)에서 번역은."그 제한된 번 사이드의 문제 2-groups에 대한 해결책".그 USSR-Sbornik 수학은. 72(2):543–565.Bibcode:1992SbMat..72..543Z. doi:10.1070/SM1992v072n02ABEH001272.

외부 링크

• MacTutor 수학 기록 보관소의 번사이드 문제 역사