로그 적분 함수

수학에서 로그 적분 함수 또는 적분 적분 li(x)는 특수한 함수다. 그것은 물리학의 문제와 관련이 있고 수 이론적 의의를 가지고 있다. 특히, 시겔-왈피즈 정리에 따르면, 주어진 값 $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle x$보다 작거나 같은 프라임 숫자로 정의되는 프라임 카운팅 함수에 대한 매우 좋은 근사치다.

적분표현

로그 적분에는 모든 양의 실수 x ≠ 1에 대해 정의된 적분 표식이 있다.

${\displaystyle \li}=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

여기서 ln은 자연 로그인을 나타낸다. 함수 1/(ln t)는 t = 1에서 특이점을 가지며, x > 1에 대한 적분은 Cauchy 기본값으로 해석된다.

${\displaystyle \li}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\왼쪽(\int_{0}^{1-\varepsilon }{dt}{\ln t}}\{1+\varepsilon }^{x}{dt}{dt}{{dln t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{dln t\ln t\ln t\rig}$

오프셋 로그 적분

오프셋 로그 적분 또는 오일러 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Li}=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}=\operatorname {li}(x)-\operatorname {li}(2)}$

이와 같이 적분표현은 통합 영역의 특이점을 피할 수 있는 장점이 있다.

특수값

함수 li(x)는 단일 양의 0을 가지며, x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930에서 발생한다. OEIS: A070769; 이 숫자는 Ramanujan-Soldner 상수로 알려져 있다.

-Li(0) = li(2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 6136 522615 578151... OEIS: A069284

이것은 -${\displaystyle }$(${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle$- $(\Gamma$ $\left$$(0,-\$$ln$ $2\right)+i\\pi )}$이며$,$ 여기서 $(, x$)은$불완전한 감마함수다.$ 함수의 Cauchy 기본값으로 이해해야 한다.

시리즈 표현

함수 li(x)는 방정식을 통해 지수 적분 Ei(x)와 관련된다.

${\displaystyle {\hbox{li}(x)={\hbox{Ei}(\ln x),\,\!}$

x > 0에 유효하다. 이 ID는 li(x)를 다음과 같이 직렬로 표현한다.

${\displaystyle \operatorname {li}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)}=\gamma +\ln u +\sum _{n=1}^{n}{u^{n}\cdot n!}}\cHB {\text{{}u\neq 0\;,}$

여기서 ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS: A001620은 오일러-마스케로니 상수다. 라마누잔의 보다 빠른 융합 시리즈는

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

점근팽창

x → ∞에 대한 점근거동은

${\displaystyle \vmsname {li}(x)=O\왼쪽({\frac {x}{\ln x}}\오른쪽).}$

여기서 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$은(는) 큰 O 표기법이다. 전체 무증상 팽창은

${\displaystyle \fracname {li}(x)\sim {x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\frac {k!}}{{(\ln x)^{k}}}}}}$

또는

${\displaystyle {\frac 이름 {li}(x)}{x/\ln x}}\심각 1+{1}{\frac {1}{\ln x}}+{2}{{{{{n x)^{2}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}+\cdots.}}}}$

이것은 다음과 같은 보다 정확한 점증적 행동을 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {li}(x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{\ln ^{2}x}\오른쪽)}$

점근법적 팽창으로서 이 시리즈는 수렴성이 아니다. 한정된 수의 항에서 시리즈를 잘라서 x의 큰 값만 사용하는 경우에만 합당한 근사치가 된다. 이 팽창은 지수 적분에서의 점근성 팽창에서 직접 나타난다.

이는 li를 다음과 같이 분류할 수 있음을 의미한다.

${\displaystyle 1+{\lnx}{\lnname {li}(x){\frac {\ln x}{x}}{1+{\ln x}}{3}{(\ln x)^{2}}:}$

모든 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle \ln x\geq 11}$에 대해$.$

수 이론적 유의성

대수적 적분은 주어진 값보다 작은 소수 추정치에 나타나며 숫자 이론에서 중요하다. 예를 들어, 소수 정리는 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle \pi(x)\sim \sim 이름 {li}(x)}$

여기서 ${\displaystyle \pi }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (x)}$은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 작거나 같은 소수 수를 나타낸다$.$

리만 가설을 가정할 때, 우리는 훨씬 더 강한 것을 얻는다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {li}(x)-\pi(x)=O({\sqrt {x}\log x)}$

작은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\},$ ) >) ${\displaystyle \operatorname {li}(x)>\pi(x)}$의 경우, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이(가) 증가함에 따라 차이가 무한하게 변화하며, 처음 발생하는 횟수는 10과¹⁹ 1.4×10³¹⁶ 사이입니다.

참고 항목

• 요르겐 페데르센 그람
• 스큐스 수
• 로그 함수의 통합 목록

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 5". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248