랴푸노프 치수

역동적인 시스템의 수학에서 랴푸노프 차원의 개념은 카플란과 요르케가^[1] 유인기의 하우스도르프 치수를 추정하기 위해 제안했다.또한 그 개념이 개발되어 다수의 논문에서 엄격하게 정당화되었으며, 오늘날에는 랴푸노프 차원의 정의에 대한 다양한 접근법이 사용되고 있다.비인정자 하우스도르프 차원을 가진 유치를 이상한 유인자라고 부르는 말.^[2]유인기의 하우스도르프 치수에 대한 직접 수치 계산은 종종 높은 수치 복잡성의 문제가 되기 때문에, 랴푸노프 치수를 통한 추정은 널리 퍼지게 되었다.랴푸노프 차원은 러시아 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따서 랴푸노프 지수들과 밀접한 관계가 있기 때문에 붙여진^[3] 이름이다.

정의들

Consider a dynamical system ${\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\ \cdot \ ){\big )}}$, where ${\displaystyle \varphi ^{t}}$ is the shift operator along the solutions: ${\displayst$$yle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}$, of ODE ${\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}$, ${\displaystyle t\leq 0}$, or difference equation ${\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}$, ${\displaystyle t=0,1,...}$, with continuously differentiable vector-functi$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$${\displaystyle \}}$에$.$ 그러면 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\phi }^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle u}$) ${\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}}}}$은 선형화된 시스템의 해결책의 기본 행렬이며$$ ${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}t,{}^{}u}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \text{σ}}$ i${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{1...}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t(u)),\i=1...n$$$$\},$ 대수적 다수와 관련된 단수 값이며 $u{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ $u$$}$ 및 $t{\displaystyle }$ {\displaystytytytytytytytytyt $t$

유한 시간 랴푸노프 치수를 통한 정의

N. 쿠즈넷소프의 작품에서 개발된 유한 시간 랴푸노프 차원의 개념과 관련 정의는 유한 시간만 관측할 수 있는 수치 실험에 편리하다.^[4][5]Kaplan-의 유사성을 고려하라.유한 시간 Lyapunov 지수를 위한 요크 공식:

${\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{ {\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u) }},}$

${\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LEM}_{LEM}}{{{LEM}}(t,u)\geq 0\}}}$

with respect to the ordered set of finite-time Lyapunov exponents ${\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}$ at the point ${\displaystyle u}$.불변 집합 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 동적 시스템의 유한 시간 Lyapunov 치수는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \dim _{\rm {L}(t,K)=\supp \limits _{u}{{\rm {LEM}{LEM}}{{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}.}$

이 접근법에서 카플란-의 아날로그 사용요르케 공식은 두아디에 의해 엄격하게 정당화된다.–Oessterlé 정리 - t> 0 ${\displaystyle t>0}$에 대해 닫힌 경계 불변량 세트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 대한 유한 시간 랴푸노프 치수가 Hausdorff 치수의 상한 추정치임을$$ 입증한다.^[6]

${\displaystyle \dim_{\rm {H}K\leq \dim_{\rm {L}(t,K)}$

Looking for best such estimation ${\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}$, the Lyapunov dimension is defined as follows:^[4][5]

$\\dim _{\rm {L}K=\liminf _{t\to +\infit }\suppy \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}(t,u).}$

예를 들어, 시간 제한과 집합에 대한 우월성의 순서를 변경할 수 있는 가능성이 논의된다.^[7][8]

위에서 정의한 랴푸노프 치수는 립스키츠 차이점형상으로는 불변한다는 점에 유의한다.^[4][9]

정확한 랴푸노프 치수

Let the Jacobian matrix ${\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}$ at one of the equilibria have simple real eigenvalues: ${\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}}$$)\},$ 그러면

${\displaystyle \dim _{\rm {L}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}(\\lambda _{\lambda _{eq})\}_{i=1}^{n}).}$

만약 모든 평형성을 포함하는 지구 유치기에 대한 지역 랴푸노프 치수의 우월성이 평형점에서 달성된다면, 이를 통해 지구 유치자의 정확한 랴푸노프 치수에 대한 분석 공식을 얻을 수 있다(해당 에덴의 추측 참조).

통계 물리학 접근법과 인간성을 통한 정의

Following the statistical physics approach and assuming the ergodicity the Lyapunov dimension of attractor is estimated^[1] by limit value of the local Lyapunov dimension ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}$ of a typical trajectory, which belongs to the attractor.In this case ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}$ and ${\displaystyle {\dim }_{\mathrm{L}}{u}_0=d_{\mathrm{K}\mathrm{Y}}(\{{\mathrm{L}\mathrm{E}}_i(u_0){\}}_{i=1}^n)=j(u_0)+}$${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{ {\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0}) }}}$. From a practical p연고, 에르고딕 오셀레덱 정리의 엄격한 사용, 고려된 궤적 $u{\displaystyle (t}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle u(t,u_{0})$가 전형적인 궤적이라는 검증, 그리고 해당 카플란–의 사용요크 공식은 도전적인 작업이다(예: 의 토론^[10] 참조).finite-time 랴푸 노프 멱지수의 정확한 한계 값 주면 모든 너 0∈ U{\displaystyle u_{0}\in U}, 나의 절대 ones[3]{lim지 →+∞ LE나는(t, u0)}){나는 E나는(u0)}1n≡{나는 E나는}1n{)\displaystyle{\lim \limits 즉라고 불린다{t\t에 대해 동일하다 존재한다.o$+\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}$ and used in the Kaplan–요크식.랴푸노프 지수 및 치수의 연산을 위한 에고다이얼 이론의 엄격한 사용 예는 에서 찾을 수 있다.^[11][12][13]

참조