미분 동형

수학에서, 미분동형사상은 매끄러운 다양체의 동형사상입니다.이것은 함수와 그 역수를 모두 미분할 수 있도록 하나의 미분 가능한 다양체를 다른 다양체에 매핑하는 반전 함수입니다.

정사각형의 직사각형 격자를 정사각형의 미동형에서 그 자체로 나타낸 이미지입니다.

정의.

두 개의 $매니폴드$ M {\ $displaystyle$ M $}$ 과 $M$ N {\ $displaystyle$ N $N$ 이 주어졌을 때 $f\colon M\rightarrow N$ 미분 $f\colon M\rightarrow N$ 한 맵 $:$ M $f\colon M\rightarrow N$ N {\ $displaystyle f\rightarrow$ N $}$ 은 $f\colon M\rightarrow N$ 바이젝션이고 역 $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ - $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ : $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ {\ $displaystyle$ f $^{-1}\rightarrow N}$ 은 $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ 미분 가능하므로 미분형상이라고 한다. $이러한$ 함수가연속적으로 $r$ 미분 가능한 $경우$ f $\displaystyle$ f는 $f$ $\$ C $^{r}$ -dififeomorphism이라고 $C^{r}$ 합니다.

$2개$ 의 $매니폴드$ M({ $displaystyle$ $f$ $M$ M})과 N({ $displaystyle$ N $})$ 은 $N$ M $({displaystyle$ M})에서N $({$ $displaystyle$ N $N$ 으로 $($ 일반적으로 $M\simeq N$ ({ $displaystyle$ M $\simeq$ N $M\simeq N$ 으로 $M\simeq N$ )됩니다.이들 사이에 연속적으로 미분할수 $있는$ r $\displaystyle$ r의 $r$ $역치인$ r $\displaystyle$ r의 $r$ 역치인 bijectionive map이 있는 경우 C $\$ C $^{r}$ -differentiform이 $C^{r}$ $C^{r}$ .

다지관 부분 집합의 미분 동형

매니폴드 M의 서브셋 X와 매니폴드 N의 서브셋 Y가 주어졌을 때, 함수 f : X → Y는 모든 p에 대해 U $µ$ M의 근방이 있고, $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ 함수 g : U $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ N이 있어 $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ 이 일치할 경우, 매끄러운 $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ f : X $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ $Y$ 는 평활하다고 한다 $.$ 함수 f는 비사사적이고 매끄럽고 그 역이 매끄럽다면 미분형이라고 한다.

로컬 설명

아다마르-카치오폴리^[1] 정리

만약 U, V가 단순히 V가 연결되도록 R의ⁿ 열린 부분 집합이라면, 미분 가능한_x 지도 f: U → V는 그것이 적절하고, 미분 Dfⁿ : Rⁿ → R이 U의 각 점 x에서 비사적(따라서 선형 동형)이라면 미분 동형이다.

첫마디

함수 f가 전역적으로 반전하기 위해서는 V가 단순히 연결되어 있어야 한다(각 점에서 미분도가 생물적 맵이라는 유일한 조건 하에서).예를 들어, 복소수 제곱 함수의 "실현"을 고려합니다.

$\displaystyle {\begin{case}f:\mathbf {R} ^{(2)\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\(x,y)\mapsto(x^{2}-y)\mapsty.\end {case}}$

그러면 f는 주관적이고 다음을 만족시킨다.

$\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

따라서_x Df는 각 점에서 비분사적이지만, f는 주입에 실패하기 때문에 반전할 수 없다(예: f(1, 0) = (1, 0) = f11, 0).

두 번째 발언

(미분 가능한 함수의 경우) 한 점에서 미분이기 때문에

$Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V$

선형 맵이며, Df가 바이젝션인 경우에만_x 명확하게 정의된 역방향 맵을 가집니다.Df의 행렬_x 표현은 1차 편도함수의 n × n 행렬로, i번째 행과 j번째 열에 $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ f $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ / $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ j \ $displaystyle$ \ $partial f_{i}/\partial x_{j$ 입니다.야코비안 행렬이라고 불리는 이 행렬은 종종 명시적인 계산에 사용됩니다.

세 번째 비고

미분동형은 반드시 같은 차원의 다양체 사이에 존재한다.f가 n차원에서 k차원으로 가는 것을 상상해 보세요.n < k일_x 경우 Df는 절대 투영할 수 없고 n > k일 경우_x Df는 주입할 수 없습니다.따라서 두 경우 모두 Df는_x 분사가 되지 않습니다.

네 번째 비고

만약_x Df가 x에서의 분사라면 f는 국소 미분동형이라고 할 수 있다(연속성에 의해_y Df는 x에 충분히 가까운 모든 y에 대해서도 분사적이 되기 때문이다).

다섯 번째 발언

치수 n에서 치수 k까지의 평탄한 맵이 주어졌을 때, Df(또는 국소적으로_x Df)가 돌출적이라면 f는 잠수(또는 국소적으로 "국소적으로")라고 하며, Df(또는 국소적으로_x, Df)가 주입적이라면 f는 침지(또는 국소적으로 "국소적으로" 침지적")라고 한다.

여섯 번째 비고

미분 가능한 분사는 반드시 미분 동형이 아니다. 예를 들어, f(x) = x는 그³ 도함수가 0에서 사라지기 때문에 R에서 그 자체로 미분 동형이 아니다(따라서 그 역수는 0에서 미분할 수 없다).이것은 미분동형이 아닌 동종동형의 예이다.

일곱 번째 비고

f가 미분 가능한 다양체 사이의 지도일 때, 미분형 f는 동형 f보다 더 강한 조건이다.미분 동형의 경우 f와 그 역이 미분 가능해야 하고, 동형 동형의 경우 f와 그 역이 연속적이기만 하면 된다.모든 미분형은 동형사상이지만, 모든 동형사상이 미분형사상은 아니다.

f : M → N 이 좌표 차트에서 위의 정의를 만족하면 미분동형사상이라고 한다.보다 정확하게: 호환 좌표 차트로 M의 커버를 선택하고, N에 대해서도 동일하게 합니다.각각 and과 be은 M과 ,에 U와 V를 각각 and과 ψ의 이미지로 차트화 합니다.f⁻¹(((U⁻¹⁻¹) ⊆(V) ⊆(V)일 때 맵 f(f) : U → V는 위의 정의와 같이 미분 동형이다.

예

모든 매니폴드는 국지적으로 매개변수가 될 수 있기 때문에 R에서 R로의²² 명시적 맵을 고려할 수 있다.

허락하다

(\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\오른쪽).}

야코비안 행렬을 계산할 수 있습니다.

({displaystyle J_{f}=begin{pmatrix}2x&3y^{2}\end{pmatrix}).}

Jacobian 행렬에는 xy = 0인 경우에만 0 행렬식이 있습니다.f는 x축과 y축에서 떨어진 미분동형일 수 있다는 것을 알 수 있습니다.그러나 f(x, y) = fµx, y이므로 f는 비사사체적이어서 미분동형이 될 수 없다.

허락하다

g(x,y)=\left(a_{0}+a_{0,1}y+\cdots,\b_{0}+b_{1,0}x_{0,1}y+\cdots\right

a_{i,j}

서 a

a_{i,j}

({

b_{i,j}

b_{i,j}

({

는

b_{i,j}

임의의 실수이며 생략된 용어는 x와 y의 2도 이상입니다.Jacobian 행렬은 0으로 계산할 수 있습니다.

({displaystyle J_{g}(0,0)=begin{pmatrix}a_{1,0}\b_{1,0}\b_{0,1}\end{pmatrix}).}

우리는 g가 0에서 국소 미분 동형이라는 것을 알 수 있다.

a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,

즉, g 성분의 선형 항은 다항식으로 선형 독립적이다.

허락하다

(\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}

야코비안 행렬을 계산할 수 있습니다.

\displaystyle J_{h}=begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\sin(x^{2}+y^{2}&2y\pm{2}}.}

자코비안 행렬은 모든 곳에 0 행렬식을 가지고 있다!실제로 h의 이미지가 단위원임을 알 수 있습니다.

표면 변형

역학에서 응력에 의한 변환은 변형이라고 불리며 미분 동형사상에 의해 설명될 수 있다.두 표면 U와 V의 미분동형 f : U → V는 가역행렬인 야코비 행렬 Df를 가진다.실제로 U의 p의 경우 Jacobian Df가 싱글이 아닌 p의 근방이 있어야 합니다.표면 차트에서 f $f(x,y)=(u,v).$ ( $f(x,y)=(u,v).$ , $f(x,y)=(u,v).$ ) $=$ ( $f(x,y)=(u,v).$ , $f(x,y)=(u,v).$ ) . $f(x,y)=(u,v).$ { $displaystyle$ f $(x,y$ )=( $u,v)$ 라고 가정합니다. $}$

u의 총 차분은

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

u

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

u

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

x d

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

x +

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

u

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

y

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

y

du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy

=

displaystyle du

= display

frac

{ \

frac

u

}

{ \

frac u

} { \

frac

y }

dy

similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly similarly for for for for for for for for d d d d d d d d d d d d d d d

다음으로 이미지 $(du,dv)=(dx,dy)Df$ $(du,dv)=(dx,dy)Df$ u , $(du,dv)=(dx,dy)Df$ ) $=$ ( $(du,dv)=(dx,dy)Df$ x , $(du,dv)=(dx,dy)Df$ y ) $(du,dv)=(dx,dy)Df$ f { $displaystyle ( du$ , $dv$ )= ( $dx$ , $dy$ ) $(du,dv)=(dx,dy)Df$ Df }는 $(du,dv)=(dx,dy)Df$ 원점을 고정하는 선형 변환이며 특정 유형의 복소수 동작으로 표현될 수 있습니다.(dx, dy)가 복소수 유형으로도 해석될 경우, 적절한 복소수 평면에서 복소수 곱셈의 작용이 이루어집니다.이와 같이, 그러한 곱셈에서 보존되는 각도(유클리드, 쌍곡선 또는 기울기)의 종류가 있다.Df는 가역적이기 때문에 복소수 유형은 표면에서 균일합니다.따라서 표면의 표면 변형 또는 미분형은 (적절한 종류의) 각도를 유지하는 등각 특성을 가진다.

미분동형군

M을 두 번째로 셀 수 있고 하우스도르프인 미분 가능한 다양체로 하자.M의 미분동형군은 M의 모든 C^r 미분동형군이며, R이 이해되면 Diff(M) 또는 Diff(M)로^r 나타난다.이는 M이 0차원이 아닌 한 국소적으로 콤팩트하지 않다는 점에서 "대형" 그룹이다.

토폴로지

미분형성 그룹은 두 가지 자연 토폴로지를 가지고 있다: 약한 것과 강한 것(Hirsch 1997).매니폴드가 컴팩트하면 이 두 토폴로지가 일치합니다.취약한 토폴로지는 항상 측정 가능합니다.매니폴드가 콤팩트하지 않은 경우 강력한 위상은 "무한에서" 함수의 동작을 캡처하며 계측할 수 없습니다.하지만 여전히 Baire입니다.

M에서 리만 메트릭을 고정하는 약한 토폴로지는 메트릭 패밀리에 의해 유도되는 토폴로지입니다.

\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \sup \in K}d(f(x),g(x)+\sum \sum \sum \sum \sum p\leq r}\sup \sup \sup \simits _ {x\in K}\left\D^{pf}(x)\p^{g}

K는 M의 콤팩트 서브셋에 걸쳐 변화하기 때문이다.실제로 M은 γ-콤팩트이므로 결합이 M인 콤팩트 서브셋_n K의 배열이 존재한다.그 후, 다음과 같이 입력합니다.

{\displaystyle d(f,g)=\sum \sum \sum imits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}(f,g)}}}}}.

약한 위상을 갖춘 미분동형군은 C 벡터장의 공간과 국소적으로 동형이다(Leslie^r 1967).이는 M의 콤팩트 서브셋에 걸쳐 M에 리만 메트릭을 고정하고 해당 메트릭에 대한 지수 맵을 사용함으로써 이루어진다.만약 r이 유한하고 다양체가 콤팩트하다면, 벡터장의 공간은 바나흐 공간이다.게다가 이 지도책의 한 도표에서 다른 도표로의 이행 지도는 매끄럽기 때문에 미분형성군은 매끄러운 오른쪽 번역의 바나흐 다양체로 되어 있다.좌변환과 반전은 연속적인 것일 뿐이다.r = ,이면 벡터장 공간은 프레셰 공간이다.또한 전이 맵은 매끄럽기 때문에 미분형성 그룹을 Fréchet 다지관, 심지어 일반 Fréchet Lie 그룹으로 만들 수 있습니다.다지관이 γ-콤팩트하고 콤팩트하지 않은 경우 완전 미분동형군은 두 위상 중 어느 하나에 대해서도 국소적으로 수축할 수 없다.다양체인 미분동형군을 얻기 위해서는 무한대에 가까운 항등식으로부터의 편차를 제어하여 그룹을 제한해야 한다. (Michor & Mumford 2013)을 참조한다.

리 대수

M의 미분동형군의 Lie 대수는 벡터장의 Lie 괄호를 갖춘 M 위의 모든 벡터장으로 구성된다.다소 형식적으로, 이는 공간의각 지점에서 $좌표$ x(\ $displaystyle$ x)를 $x$ 약간 변경하는 것으로 볼 수 있습니다.

x^{\mu}\mapsto x^{\mu}+\varepsilon h^{\mu}(x)

따라서 극소 생성기는 벡터장이며

L_{h}=h^{\mu }(x){\frac}{\frac x^{\mu }}}.

예

M = G가 Lie 군일 때, 좌변환을 통해 자체 미분동형군에 G가 자연스럽게 포함된다.Diff(G)가 G의 미분동형군을 나타내면, 분할 Diff(G) g G × Diff(G, e)가 존재하며, 여기서 Diff(G, e)는 그룹의 동일 요소를 고정하는 Diff(G)의 부분군이다.
유클리드 공간ⁿ R의 미분형태군은 방향 보존과 방향 반전 미분형태로 구성된 두 가지 요소로 구성된다.사실 일반 선형군은 f(x) ( f(tx) / t, t ( (0,1) 맵에서 원점을 고정하는 미분동형상의 부분군 Diff(Rⁿ, 0)의 변형 후퇴이다.특히 일반 선형군은 완전 미분동형군의 변형 후퇴이기도 하다.
유한한 점 집합의 경우, 미분동형군은 단순히 대칭군이다.마찬가지로, M이 어떤 다양체라면, 군 확장₀ 0 → Diff(M) → Diff(M) → δ(M₀)가 있다.여기서₀ Diff(M)는 M의 모든 성분을 보존하는 Diff(M)의 부분군이며, δ(M₀)는 집합 δ₀₀(M)의 치환군이다. 또한 Diff(M) → δ₀(M)의 이미지는 사출의 비사체이다.

이동성

접속 매니폴드 M에 대해 미분동형군은 M에 대해 횡방향으로 작용한다.보다 일반적으로는, 미분형군(differentomorphism)은 구성 공간_k CM 상에서 횡방향으로 작용한다.M이 적어도 2차원일 경우, 미분동형군은 구성공간_k FM 상에서 횡방향으로 작용하고, M에 대한 작용은 승방향으로 작용한다(Banyaga 1997, 페이지 29).

미분 동형의 확장

1926년, 티보르 라도는 단위 원반에 대한 단위 원의 동형성 또는 미분 동형의 조화적 확장이 열린 디스크에서 미분 동형성을 산출하는지 물었다.곧이어 Hellmuth Kneser에 의해 우아한 증거가 제공되었다.1945년, 구스타브 초케는 이 결과를 모르는 듯 완전히 다른 증거를 제시했습니다.

원의 (방향 보존) 미분 형상 그룹은 경로별로 연결됩니다.이것은 그러한 미분동형이 [f(x + 1) = f(x) + 1]를 만족하는 실수의 미분동형 f로 상승할 수 있다는 점에 주목함으로써 볼 수 있다. 이 공간은 볼록하고 따라서 경로 연결된다.매끄럽고 최종적으로 일정한 항등 경로를 통해 원에서 열린 단위 디스크로 미분 동형을 확장하는 두 번째 기본적인 방법을 제공합니다(알렉산더 트릭의 특수한 경우).또한 원의 미분동형군은 직교군 O(2)의 호모토피형을 가진다.

고차원 구ⁿ⁻¹ S의 미분 형상에 대한 해당 확장 문제는 1950년대와 1960년대에 르네 톰, 존 밀너, 스티븐 스메일의 주목할 만한 공헌과 함께 많이 연구되었다.이러한ⁿ 확장에 대한 장애물은 볼 B의 미분형상으로 확장되는 클래스의 서브그룹에 의해 미분형성군의 아벨 성분군의 몫으로 정의되는 유한 아벨군 δ에_n 의해 주어진다.

접속성

다양체의 경우, 미분형성 그룹은 일반적으로 연결되지 않습니다.해당 구성 요소 그룹을 매핑 클래스 그룹이라고 합니다.차원 2(즉, 표면)에서 매핑 클래스 그룹은 덴 트위스트(Dehn, Rickorish, Hatcher)^{[citation needed]}에 의해 생성된 최종 제시된 그룹이다.맥스 덴과 야콥 닐슨은 이것이 표면의 기본 그룹의 외부 자기동형성 그룹과 동일시 될 수 있다는 것을 보여주었다.

William Thurston은 매핑 클래스 그룹의 요소들을 세 가지 유형으로 분류함으로써 이 분석을 다듬었다. 즉, 주기적 미분동형에 해당하는 요소들, 단순한 닫힌 곡선 불변성을 남기는 미분동형에 해당하는 요소들, 그리고 의사-아노소프 미분동형에 해당하는 요소들이다.토러스¹ S × S¹ = R²/Z의² 경우, 매핑 클래스 그룹은 단순히 모듈러 그룹 SL(2, Z)이며, 타원 행렬, 포물선 행렬 및 쌍곡선 행렬의 관점에서 분류가 고전적이 된다.Thurston은 매핑 클래스 그룹이 Teichmüler 공간의 콤팩트화에 자연스럽게 작용한다는 것을 관찰함으로써 그의 분류를 성취했다; 이 확장된 공간이 닫힌 공과 동질적이기 때문에, Brower 고정점 정리가 적용되게 되었다.스마일(Smale)은 M이 지향성 매끄러운 닫힌 다양체라면 방향 보존 미분형성 그룹의 동일성분은 단순하다고 추측했다.이것은 Michel Herman에 의해 원의 산물로 처음 증명되었다; Thurston에 의해 완전한 일반성으로 증명되었다.

호모토피 타입

S의² 미분동형군에는 부분군 O(3)의 호모토피형이 있다.이것은 Steve Smale에 ^[2]의해 증명되었다.
토러스의 미분동형군은 S × S¹ × GL(2, Z)의¹ 선형 자기동형의 호모토피형을 가진다.
g > 1속 방향성 표면의 미분형성 그룹은 매핑 클래스 그룹의 호모토피 타입을 가진다(즉, 구성요소는 수축 가능).
3-매니폴드의 미분형성 그룹의 호모토피 유형은 소수의 미해결 사례(주로 유한한 기본 그룹을 가진 3-매니폴드)가 있지만 이바노프, 해처, 가바이 및 루빈스타인의 연구를 통해 상당히 잘 이해된다.
n > 3에 대한 n-매니폴드의 동형성 그룹의 호모토피형은 잘 이해되지 않는다.예를 들어 Diff(S⁴)에 컴포넌트가 3개 이상 있는지 여부는 해결되지 않은 문제입니다.그러나 밀노르, 칸 및 안토넬리를 통해 n> 6이면 Diff(Sⁿ)는 유한 CW복합체의 호모토피 타입을 가지지 않는 것으로 알려져 있다.

동형성과 미분형성

비차동형 동형사상과 달리, 차동형이 아닌 동형 다양체의 쌍을 찾는 것은 상대적으로 어렵다.치수 1, 2, 3에서 동형 평활 다지관 한 쌍은 미분형이다.차원 4 이상에서는 동형이지만 미분형이 아닌 쌍의 예가 발견되었다.이러한 첫 번째 예는 John Milnor에 의해 7차원으로 구성되었습니다.그는 매끄러운 7차원 다양체(현재의 밀너의 구라고 함)를 표준 7-구와 동형이지만 그것과 미분동형이 아닌 구성했다.실제로 7-구와 동질적인 다양체에는 28개의 지향성 미분형 클래스가 있습니다(각각은 3-구를 섬유로 하는 4-구상의 섬유 다발의 총 공간입니다).

4-매니폴드에는 더 특이한 현상이 발생합니다.1980년대 초, 결과의 사이먼 도널드슨과 마이클 프리드먼으로 인해 조합한 이국적인 R4s의 발견이 있는데, R의 셀 수 없이 많은 쌍별non-diffeomorphic 열린 하위 집합하는 각각의 R, 또한 셀 수 없이 많은 쌍별non-diffeomorphic 구별할 수 있는 manifolds R 하는에homeomorphic 있homeomorphic 있고 있다. 것은 아니다.R에⁴ 매끄럽게 삽입하다

「」를 참조해 주세요.

아놀드의 고양이 지도와 같은 아노소프 미분형 사상
양자역학에서의 유형 이상인 중력 이상이라고도 알려진 차이 이상
차분학, 세트에 대한 매끄러운 파라미터화, 차분학 공간 만들기
컴퓨터 해부학에서 형태와 형태에 대한 미분형상학, 미터법 연구
에테일의 형태론
대미분 동형
국소 미분 동형
초차동형

메모들

^ Steven G. Krantz; Harold R. Parks (2013). The implicit function theorem: history, theory, and applications. p. Theorem 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
^ Smale (1959). "Diffeomorphisms of the 2-sphere". Proc. Amer. Math. Soc. 10 (4): 621–626. doi:10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8.

레퍼런스

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Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). "Path-integral formulation of closed strings" (PDF). Physical Review D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode:1987PhRvD..36.1148C. doi:10.1103/physrevd.36.1148. ISSN 0556-2821. PMID 9958280.
Banyaga, Augustin (1997), The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, vol. 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
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"Diffeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Hirsch, Morris (1997), Differential Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0
Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 53, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3
Leslie, J. A. (1967), "On a differential structure for the group of diffeomorphisms", Topology, 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN 0040-9383, MR 0210147
Michor, Peter W.; Mumford, David (2013), "A zoo of diffeomorphism groups on Rⁿ.", Annals of Global Analysis and Geometry, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, doi:10.1007/s10455-013-9380-2, S2CID 118624866
Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4230-0
Omori, Hideki (1997), Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, vol. 158, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4575-6
Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (in German), 35 (2): 123

[1] Steven G. Krantz; Harold R. Parks (2013). The implicit function theorem: history, theory, and applications. p. Theorem 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.

[2] Smale (1959). "Diffeomorphisms of the 2-sphere". Proc. Amer. Math. Soc. 10 (4): 621–626. doi:10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8.

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