매핑 콘(동양대수학)

호몰로지 대수학에서 지도 원뿔은 위상에서의 유사한 구조에서 영감을 받은 체인 복합체의 지도상의 구조물이다.삼각형 범주의 이론에서 그것은 일종의 결합형 커널과 코커넬이다: 체인 콤플렉스가 아벨형의 범주에서 그들의 용어를 취해서 우리가 코호몰리학을 이야기할 수 있다면, 지도 f의 원뿔은 지도가 준 이형성임을 의미한다; 우리가 콤플렉스의 파생된 범주로 넘어가면, 이것은 f가 이형성임을 의미한다.그곳에서 집단 지도, 링 위의 모듈, 또는 임의 아벨리아 범주의 요소 중 알맹이와 코커넬이 모두 사라진다면 지도는 이소모르피즘이라는 익숙한 속성을 떠올리게 된다.만약 우리가 t-카테고리 안에서 일하고 있다면, 실제로 원뿔은 그 핵심의 물체들 사이에 지도들의 커널과 코커넬을 제공한다.

정의

원뿔은 어떤 첨가물 범주(즉, 형태론이 아벨리아 그룹을 형성하고 우리가 어떤 두 물체의 직접적인 합을 구성할 수 있는 범주)에 걸쳐 코체인 복합체 범주에 정의될 수 있다.$A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B}$을(를) 차등 ${\displaystyle d_{}}$, ${\displaystyle d_{}}$B$;$ {\$displaystyle d_{A},$d_${B$};}을$$(를) 두 개의 복합체로$$ 한다.

${\displaystyle A=\dots \to A^{n-1}{\x오른쪽 화살표 {d_{A}^{n-1}}A^{n}{\x오른쪽 화살표 {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\\cdots }$

$B{\displaystyle .}$ ${\displaystyle B$도 마찬가지 입니다$.$$}$

$복합체{\displaystyle }$ 지도 :${\displaystyle A}$→ B${\displaystyle }$, ${\디스플레이$ 스타일 $f:$$A\to B,}$ 우리는$$ ${\displaystyle \mathrm{종종}}$ 콘 ${\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Cone}(f)$ 또는$$ $C{\displaystyle (f}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C(f)}$로 표시되는 콘을 다음과 같은 복합체로$$ 정의한다.

${\displaystyle C(f)=$$A[1]\oplus B=\dots \to$ A$^{n}\oplus$ B$^{n-1}\to$ A$^{n+1}\oplus B^{n+2}\oplus$ B^{$n+$1}\toplus B^{n+1$}\$toplus $\tots }$에 조건부로$$,

차등적으로

)=( [ [ d ) ${\$]&0\f$[1]&d_{B}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}($열 벡터에 있는 것처럼 작용한다.

$여기$서 A${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[1]}$은(는) $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}{n}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ + 1 ${\$ $D$ [ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {]}_{}^{}{}_{}^{}}$= - ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$1$${\$displaystystyle d_{A[1]^{n=-d_{$n_{{n}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$A}^{n+1$$C{\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle C(f)}$의 차등화가 ${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \oplus }$ B ${\displaystyle A[1]\oplus B$의 자연 차등과 다르고$$ 일부 저자는 다른 부호 규칙을 사용한다는 점에 유의하십시오.

따라서 예를 들어 우리의 콤플렉스가 아벨 그룹이라면 미분류는 다음과 같은 작용을 할 것이다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\b^{n}\end{pmatrix}\&=\begin{pmatrix}-d_{{\begin{pmatrix}-d_{p}}A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}}$

특성.

지금 우리가 아벨의 범주에 대해 연구하고 있다고 가정해 보자. 그래서 콤플렉스의 호몰로지(homology)가 정의된다.원뿔의 주된 용도는 준 이형성을 식별하는 것이다: 원뿔이 반복되면 지도는 준 이형성이다.이것을 보기 위해 우리는 삼각형의 존재를 이용한다.

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}B\to C(f)\to A[1]}$

여기서 지도 $B{\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B\to C(f),$ C$(f)\to A[1]}$가 직접 합계로부터 주어진다$$(사슬 복합체의 호모토피 범주 참조).이것은 삼각형이기 때문에 호몰로지 그룹에서는 다음과 같은 긴 정확한 순서를 낳는다.

${\displaystyle \dots \to H_{i-1}(C(f)\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f)\to \cdots }$

그리고 C${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle C(f)}$이(가) 반복되면 정의상 위의 외부 용어는 0이다.순서가 정확하기 때문에, $이$는 f ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f$^{*}}}$가 모든 호몰로지 집단에 이형성을 유도하고$$, 따라서 (정의상으로는) 준 이형성임을 의미한다.

이 사실은 알맹이와 코커넬이 모두 사라진 지도처럼 아벨의 범주에 있는 이소모르파들의 일반적인 대체 특성화를 상기시킨다.원뿔이 커널과 코커넬을 결합한 형태로 나타나는 것은 우연이 아니다. 사실 어떤 상황에서는 원뿔이 문자 그대로 두 가지를 모두 구현한다.예를 들어, 우리가 아벨의 범주에 대해 연구 중이며 ${\displaystyle A,}$ B ${\displaystyle A,B}$에 0이 아닌 항이 단 한 개만 있다고$$ 가정해 보십시오.

${\displaystyle A=\dots \to 0\to A_{0}\to \cdots,}$

${\displaystyle B=\dots \to 0\to B_{0}\to \cdots,}$

따라서 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$은(는) $단지{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$→ B ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ A_{0}\}\to $B_{0}}}}}}}}}$에 불과하다.$$그러면 원뿔은 그냥

${\displaystyle C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}{\x오른쪽 화살표 {f_{0}}{\underset {[0]}{B_{0}}\to 0\cdots .}$

(언더셋 텍스트는 각 용어의 정도를 나타낸다.)이 단지의 호몰로지(homology)는 그때에 있다.

${\displaystyle H_{-1}(C(f)=\operatorname {ker}(f_{0}),}$

${\displaystyle H_{0}(C(f)=\operatorname {coker}(f_{0}),}$

${\displaystyle H_{i}(C(f)=0{{\text{ for }i\neq -1,0.\}$

이것은 사고가 아니며 사실 모든 t 카테고리에서 발생한다.

매핑 실린더

관련 개념은 매핑 실린더: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f\colon A\to B}$이(${\displaystyle 가}$) 체인 복합체의 형태론이며$$, $g{\displaystyle }$: 더 나아가서 : ${\displaystyle 콘}$ ${\displaystyle }$( f${\displaystyle )[}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystysty g\colon \operatorname {Cone}[-1]\to}$이(A})이)이)이(가 자연 지도가 되도록$$ 한다.f의 매핑 실린더는 정의상 g의 매핑 원뿔이다.

위상영감

This complex is called the cone in analogy to the mapping cone (topology) of a continuous map of topological spaces ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$: the complex of singular chains of the topological cone ${\displaystyle cone(\phi )}$ is homotopy equivalent to the cone (in the chain-complex-sense) of the inX에서 Y까지의 단수 체인 지도복합지도의 매핑 실린더는 연속지도의 매핑 실린더와 유사하게 관련이 있다.

참조

• Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
• Joeseph J. Rotman, 대수 위상 소개 (1988) 스프링거-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (9장 참조)