한계안정성

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동적계통 및 제어이론에서 선형 시간변동계통은 점증적으로 안정적이지 않거나 불안정하지 않으면 약간 안정적이다. 대략적으로 말하면, 시스템은 항상 특정한 상태(안정 상태라고 하는 상태)로 되돌아와 가까이 머문다면 안정적이며, 어떤 상태로부터도 점점 더 멀어지고, 경계되지 않고 불안정한 상태에 있다. 때로는 중립적인 안정성을 가지고 있다고 일컬어지는 한계 시스템은 이 두 가지 유형 사이에 있다.^[1] 즉, 탈주했을 때, 그것은 거의 공통된 안정 상태로 돌아가지 않으며, 그것이 시작한 곳에서 제한 없이 사라지지 않는다.

불안정과 마찬가지로 한계 안정성은 통제이론이 피하고자 하는 특성이다. 우리는 어떤 외부 힘에 의해 동요되었을 때 시스템이 원하는 상태로 돌아가기를 바란다. 따라서 적절히 설계된 제어 알고리즘을 사용해야 한다.

계량학에서 관측된 시계열에서 단위 루트의 존재는 시스템을 안정적인 시스템으로 변환하는 데 적절한 기법을 사용하지 않는 한, 독립 변수가 종속 변수에 미치는 영향에 관한 잘못된 회귀 결과를 초래할 수 있다.

연속시간

균일한 연속 선형 시간변동계통은 시스템의 전달함수에 있는 모든 극(유전자값)의 실제 부분이 양성이 아닌 경우에만 약간 안정적이며, 하나 이상의 극이 0개의 실제 부분과 0이 아닌 가상 부분을 가지고 있고, 0의 실제 부분을 가진 모든 극이 단순한 뿌리(즉, 상상의 축에 있는 극은 모두 원위)이다.서로 속이다 이와는 대조적으로, 모든 극이 완전히 음의 실제 부분을 가지고 있다면, 그 시스템은 그 대신 증상 없이 안정적이다. 하나 이상의 극이 양의 실제 부품을 가지고 있으면 시스템이 불안정하다.

시스템이 상태 공간 표현에 있는 경우, 요르단 정규 형태를 도출하여 한계 안정성을 분석할 수 있다.^[2] 즉, 실제 부품이 0인 극에 해당하는 블록이 스칼라일 경우에만 시스템이 약간 안정적이다.

이산 시간

균일한 이산 시간 선형 시간 변이 시스템은 전달 함수의 극(유전자 값) 중 어느 하나의 최대 크기가 1이고 크기가 1인 극이 모두 구별되는 경우에만 약간 안정적이다. 즉, 전달함수의 스펙트럼 반경은 1이다. 스펙트럼 반경이 1 미만일 경우, 시스템은 그 대신 점증적으로 안정적이다.

간단한 예에는 단일 1차 선형 차이 방정식이 포함된다. 상태 변수 x가 다음과 같이 진화한다고 가정합시다.

${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}$

파라미터로 a>0.만약 시스템은 값에 냉정을 잃다=0{\displaystyle x_{0},}값 그에 동반되는 시퀀스 x0,2x0,3x0,….{\displaystyle ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots.}만약<>1, 이 숫자들을 가깝게 더 가깝게 보이0관계 없이 시작 값입니다.${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle x_{0},$ 반면$$ a > 1이면 경계 없이 숫자가 점점 커진다. 그러나 a = 1이면 숫자는 다음 중 어느 것도 아니다. 대신 x의 모든 미래 값은 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle x_{0}$과 같다. 따라서 사례 a = 1은 한계 안정성을 보인다.

시스템 응답

약간 안정된 시스템은, 입력으로서 유한한 규모의 임펄스가 주어지면, "폭발"하지 않고 무한의 출력을 주지는 않지만, 출력도 0으로 되돌아가지 않는 시스템이다. 출력에서 경계 오프셋 또는 진동은 무한정 지속되며, 따라서 일반적으로 최종 정상 상태 출력은 없을 것이다. 연속 시스템이 0실제 부품으로 극의 주파수와 동일한 주파수로 입력되면 시스템의 출력이 무한히 증가한다(이를 순수 공명이라고^[3] 한다). 따라서 시스템이 비보(BIBO) 안정적이 되려면 극의 실제 부분이 엄격하게 음극이어야 하는 이유가 설명된다(비양극성만이 아니라).

상상의 극을 가진 연속적인 시스템, 즉 극에 실제 부분이 0이면 출력에 지속적인 진동이 발생할 것이다. 예를 들어, 댐퍼가 제거되고 스프링이 이상적인 자동차의 서스펜션 시스템(질량 스프링-댐퍼 시스템)과 같은 미장착 2차 시스템은 일단 교란되면 이론상으로는 영원히 진동한다. 또 다른 예는 마찰이 없는 진자 입니다. 원점에 극이 있는 시스템도 약간 안정적이지만 이 경우 상상의 부분도 0이므로 반응에 진동이 없을 것이다(jw = 0은 w = 0 rad/sec를 의미한다). 그러한 체계의 예는 마찰이 있는 표면의 질량이다. 측면충동이 가해지면 질량이 움직이며 영으로 돌아오지 않는다. 그러나 마찰로 인해 질량이 정지하고, 측면의 움직임은 계속 제한될 것이다.

한계 극의 위치는 시스템이 미미하게 안정되려면 가상 축이나 단위 원(연속 시간 및 이산 시간 시스템의 경우 각각)에 정확히 위치해야 하기 때문에 한계 안정성이 시스템의 고유한 이론적 특성이 아닌 한 실제로 이러한 상황은 발생하지 않을 것이다.

확률론적 역학

한계 안정성은 확률론적 역학이라는 맥락에서 중요한 개념이기도 하다. 예를 들어, 일부 프로세스는 다음과 같이 이산 시간으로 주어지는 무작위 워크를 따를 수 있다.

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 e ${\$는 오차항이다. 이 방정식은 단위근(특성 방정식의 고유값에 대한 값 1)을 가지며, 따라서 한계 안정성을 나타내므로 그러한 방정식을 포함하는 시스템을 경험적으로 모델링하는 데 특별한 시계열 기법을 사용해야 한다.

참고 항목

• 랴푸노프 안정성
• 지수안정성

참조