수학적 우연

수학적 우연은 직접적인 관계가 없는 두 표현이 명백한 이론적 설명이 없는 거의 동일성을 보일 때 발생한다고 한다.

예를 들어, 2의 권력과 10의 권력 사이에는 라운드 번호 1000에 가까운 등가성이 있다.

${\displaystyle 2^{10}=1024\ 약 1000=10^{3}.}$

어떤 수학적인 우연들은 어떤 표현이 다른 표현에 대한 근사치로 받아들여질 때 공학에서 사용된다.

소개

수학적인 우연은 종종 정수를 포함하는데, 놀라운 특징은 어떤 맥락에서 발생하는 실제 숫자가 작은 정수나 10의 배수나 힘에 대한 "가까운" 근사치로, 또는 보다 일반적으로 작은 분모를 가진 합리적인 숫자에 대한 "가까운" 근사치로 간주된다는 사실이다.여러 개의 관련 없어 보이는 기준을 동시에 만족하는 정수나 측정 단위와 관련된 우연과 같은 다른 종류의 수학적인 우연도 고려될 수 있다.순전히 수학적인 종류인 그러한 우연의 수업에서, 어떤 우연의 수업은 때때로 매우 깊은 수학적인 사실에서 비롯되는 반면, 다른 우연의 수업은 '깜짝'으로 나타난다.

한정된 수의 기호를 사용하여 수학 식을 형성하는 방법의 수가 헤아릴 수 없을 정도로 무한하다는 점을 감안할 때, 사용되는 기호의 수와 대략적인 평등의 정밀도가 수학적인 우연을 평가하는 가장 확실한 방법일 수 있지만, 표준은 없으며, 소수의 강한 법칙은 호소해야 할 종류의 것이다.공식적으로는 반대되는 수학 지침 없이.^{[citation needed]}이를 넘어서서 어떤 수학 미학이 발동되어 수학적인 우연의 가치를 판단하게 될 수도 있고, 사실 진정한 수학적인 의의를 지닌 예외적인 사례들이 있다(몇 년 전 과학적인 만우절 장난으로^[1] 그것을 인쇄로 만든 아래 라마누잔의 상수 참조).그러나 대체로 그들은 호기심의 가치로 고려되거나 아마도 기초적인 수준에서 새로운 수학 학습자들을 격려하기 위해 고려되어야 한다.

몇 가지 예

합리적 근사치

때로는 단순한 합리적 근사치가 흥미롭고 비합리적인 가치에 예외적으로 가깝다.이러한 것들은 비합리적인 가치의 지속적인 부분적 표현에서 큰 용어로 설명될 수 있지만, 왜 그렇게 일어날 가능성이 없는 큰 용어가 발생하는지에 대한 더 깊은 통찰력은 종종 이용할 수 없다.

합리적인 근사치(연속 분수의 개념)와 다른 숫자의 로그 비율도 종종 호출되며, 이러한 숫자의 힘 사이에 우연이 있다.^[2]

다른 많은 우연의 일치들은 그러한 이성적인 근사치가 긴밀한 관계를 제공하는 형태로 그것들을 집어넣는 숫자의 조합이다.

π에 관하여

• π의 두 번째 수렴인 [3; 7] = 22/7 = 3.1428...은 아르키메데스에게 알려져 있으며,^[3] 약 0.04%로 정확하다.주총지가 발견한 conver의 네 번째 수렴인 [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929...^[4]는 소수점 6자리까지 정확하다.^[3] 이러한 높은 정확도는 π의 지속적 분수 표현에서 다음 항이 비정상적으로 크기 때문에 발생한다: π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].^[5]
• π과 황금비율 φ과 관련된 우연은 ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 4}$ /${\displaystyle \mathrm{=}}$ = 3.${\displaystyle 1446}$…$${\$displaystyle \pi$\pi \$4/{\sqrt{\\varphi }}}}}$에 의해 주어진다$.$ $이것$은 케플러 삼각형과 관련이 있다.어떤 사람들은 이러한 우연의 하나 혹은 다른 하나가 기자의 피라미드에서 발견될 것이라고 믿지만, 이것이 고의였을 가능성은 매우 낮다.^[6]
• pi의 소수점 표시의 762번째 소수점에서 시작하는 pi에 6개의 nine의 순서가 있다.무작위로 선택한 정규 숫자의 경우, 선택한 숫자 시퀀스 6자리(숫자 중 6자리, 658 020 등 포함)가 소수점 표시 초기에 발생할 확률은 0.08%에 불과하다.파이는 추측되지만 알려져 있지 않은 정상수다.
• 첫번째 파이겐바움 상수 약 10(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pa과 같습니다.1,500%는 에러와 함께 Rser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/π − 1컵,.

베이스 2에 대하여

• The coincidence ${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}$, correct to 2.4%, relates to the rational approximation ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}}$, or ${\displaystyle$$2\$약$10^{3/10}~$0$$.3% 이내이 관계는 예를 들어 3dB(실제로는 3.0103dB – 절반-전력점 참조)의 전력 2인자의 근사치 또는 키비바이트와 킬로바이트를 연결하는 데 사용된다. 2진수 접두사 참조.^[7][8]
• This coincidence can also be expressed as ${\displaystyle 128=2^{7}\approx 5^{3}=125}$ (eliminating common factor of ${\displaystyle 2^{3}}$, so also correct to 2.4%), which corresponds to the rational approximation ${\displaystyle \textstyle {\frac$${\log 5}{\log2}}:$ 약 $2.3219\$약${\frac {7}{3$ 또는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$≈ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$/ 7 ${\$약$5^{3/7}($또한 0.3% 이내)이것은 예를 들어 카메라의 셔터 속도 설정에서, 125, 250, 500 등의 속도 순서에서 2의 파워(128, 256, 512)에 대한 근사치로,^[2] 그리고 원래의 Who Wants to Be a Millioner?에서 호출된다....문제의 가치에 있어서의 게임쇼.£16,000, £32,000, £64,000, £125,000, £250,000,...

음악 간격에 관하여

• The coincidence ${\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}$, from ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.5849\dots \approx {\frac {19}{12}}}$ leads to the observation commonly used in music to relate the tuning of 7 semitones of equal temperament to a perfect fifth단지 억양의${\displaystyle {:}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 7}$ / ${\displaystyle {12}^{}}$; 3$$/${\displaystyle 2\mathrm{};}$ {\$displaystyle$2^{$7/12}\$ 약 3$/2;},$ 약 0.1%로 수정$.$5번째는 피타고라스의 조율과 가장 잘 알려진 음악 시스템이다.결과적 근사치$({\displaystyle 3^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {12}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\$ 약 2$^{7}}}$에서 5번째 원은 원점보다 7옥타브를 더 높게 끝내는 것으로 이어진다$$.^[2]
• 우연의${\displaystyle {\mathrm{일치}}^{}}$(${\displaystyle 3{}^{}}$/${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$) 4 =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 81}$/ 16 )${$ ${\displaystyle 5}$ (\$displaystyle {(3/2)}^{4}=(81/16)\$ 약 $5}$는 $역사적$으로 ${\displaystyle 3\mathrm{}}$/ 2$${\$displaystyle$ 3$/2$} 완전한$$ 5번째와 $5{\displaystyle \mathrm{}}$/$$ {\$displaystyle 5/4$} 소령$$ 3이 약간 성질이 있는, 즉 평균 기질의 발달로 이어지는 유명한 우연이다$$.$4개$의 3${\displaystyle /2\mathrm{}}$ ${\displaystyle 3/2$에서 는 $대략{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 5\mathrm{}/}$1$${\$displaystyle 5/$1}${\displaystyle }또는{\displaystyle \mathrm{}}$ $/$4 {\$displaystyle$5/$4}$과$($와) 같으며, 두 옥타브 위로 3번째가 된다.이 우연은 또한 ${\displaystyle 80}$≈ ${\displaystyle 81}$ $(\displaystyle 80\$약$81}$또는 ${\displaystyle 81}$/ ${\displaystyle 80}$ ${\displaystyle \approx }$ 1 $(\displaystyle 81/80\$약 1$}$라고 쓰여질 수 있으며$,$ 여기서 ${\displaystyle 81}$/ ${\displaystyle 80}$ ${\displaystyle 81/80}$은 이 튜닝에서 "성질성질성질성질성질"인 유명한 싱코마이다.
• 우연 2 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}\text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$= 1${\displaystyle .33319}$…${\displaystyle }$≈ ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ 3 ${\$는 요한 키른베르거가 지적한 바와 같이 12-TET의 합리적인 버전으로 이어진다.^{[citation needed]}
• $우연$의 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}\text{exception 25:}\text{exception 25:}}$ 8${\displaystyle \text{exception 25:}35\mathrm{}}$3 = 4.${\displaystyle 00000559}$… ${\displaystyle \approx }$ 4$${\$displaystyle${\$sqrt[{$8}]{$5}{\sqrt[{3$}}}}}}}}}{$35}}=$ 4.$00000559\ldots \comes$ 약 $4}$은 하나의 이성적인 기질을 의미했다.^{[citation needed]}
• $우연$ 0${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 4${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$= ${\displaystyle 0.9999999754}$ … ${\displaystyle \dots 1}$ ${\displaystyle {\sqrt[{9}]{0$$.$6$}}{\sqrt[{28}]{4.$$9}=0.9999999754\ldots \약 1}$은(는) 매우 작은 $간격$인 2 9 ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {28}^{}}$ 5 ${\displaystyle {37}^{}{}^{}{}^{}{\mathrm{}}^{}}$ - ${\$^{$9}3^{-28}5^{37}7^{-18}}}($약 1밀리센트 폭)으로 이어지며, 이는 103169-T에서 처음으로 완화되는 7 한계 간격이다.^{[clarification needed][citation needed]}
• 위의 2의 힘의 우연의 일치로, 3 소의 3분의 3이 옥타브,${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {5\mathrm{}/}^{}}$ 4 ) ${\displaystyle 3\mathrm{}{}^{}/}$ 2 / ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\$4)}^{$3}\$약 {$2/1}$에 연결되는 근사치가 된다$.$이와 비슷한 음악적 근사를 다이즈라고 부른다.

숫자식

π의 권력에 관하여

• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10;}$ ${\displaystyle \pi ^{2}\약 10;}$^[9]이(가) 약 1.3%로 수정됨$$이것은 제타 함수 ζ(2)의 공식)π 2/6.{\displaystyle \zeta(2)=\pi ^{2}/6 이해할 수 있다.때문에 더 이상 우리}이건 우연이" 접"비늘π{\displaystyle \pi}에 10보다 접는다 활주 법칙,{\displaystyle{\sqrt{10}}의 설계에 사용되}[10].숫자도 많고, 비늘을 거의 같은 곳에 접는 효과가 있다.^{[citation needed]}
• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 227}$/ ${\displaystyle 23,}$ ${\displaystyle \pi ^{2}\$약$227/23,}$이(가) 0.0004%^[9]로 수정됨$$.
• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 31,}$ ${\displaystyle \pi ^{3}\약 31,}$이(가) 0.02%^[11]로 수정됨$$.
• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2143}$/ ${\displaystyle 22}$; ${\displaystyle \pi ^4}\$약$2143/22;}$ 또는$$${\displaystyle }\pi {\displaystyle {}^{}}$($9$2 + ${\displaystyle {\frac{{19}^{}}{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {\frac{22}{}}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 4${\displaystyle {}^{}}$,$${\$displaystyle$ \$pi$\ 약 $\left(9^{2}+{19^{22}}}}}}}}}\rig)^{1/4}}}}}}}}$정확정확정확정확률 {1$$/4}, 라마누잔:분기별 수학 저널, XLV, 1914, 페이지 350–372).^[12]Ramanujan은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}에 대한 이 "귀중한 근사"는 "경험적으로 관찰된 것"이며$$ 논문의 나머지 부분에서 개발된 이론과 아무런 관련이 없다고 말한다.
• 어떤 그럴듯한 관계는 높은 정확도를 유지하지만 그럼에도 불구하고 우연의 일치다.한 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\inflt }\cos(2x)\prod _{n=1}^{{n=1}^{n}\cos \leftp\frac{n}\right)\matrm {d}x\x\cany {\frac {\pi {}{}{}}}}}}.}$

이 표현은 42번째 소수점 이후에만 양면이 다르다.^[13]

• ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{{}^{}}{}}${$$V {\$displaystyle$ {\$frac {}{1$+\$pi$$$^{2}}:}\$pi{\displaystyle }$^{2$}}\가까$ Varga의 상수인$$약$$7자리까지.
• $displaystyle$$\}\}\},$ 소수점 이하 7자리.

π과 e를 모두 포함

• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ 6 ${\$ 소수점 이하 약 7자리까지.^[12]
• ${\displaystyle (\pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$- ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{42}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{}$e {\$displaystyle \leftfr\frac \}{2}}-\ln$ \ln $\left({\frac$ ^[14]$\}{3\pi$ \$right) 42\pi \가$ 약 소수점 9자리까지$.$
• ${\displaystyle \sqrt{\frac{e}{}}}$ (${\displaystyle \sqrt{\frac{\pi }{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{\frac{e{}^{}}{}}}$) ${\displaystyle \sqrt{\frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}}$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {e}{{(\pi -e)^{3/$2}}\ $약 \pi$ $\}\}\},$ 소수점 $이하$ 약 6자리까지.^[15]
• ${\$$}}}\$ 약${5$ 소수점 5자리까지.(Joseph Clarke, 2015)
• ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ -$$ ${\displaystyle 20}${\$displaystyle e^{\pi }-\pi$\$$약 20$\},$ 소수점 이하 약 $4자리$까지.(${\displaystyle \mathrm{Conway}}$, Sloane, Plouffe, 1988); ${\displaystyle {이것}^{}}$은 (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 20{}^{}}$) i${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 0.9999999999999992}$ …${\displaystyle }$- i${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 0.000039}$ …${\displaystyle \approx }$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (\pi +20)^^{i}=-0.999999999992\ldots 0.0039\cdots -1}$
• ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {3{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$/ ${\displaystyle e{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{3\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \pi^{3^{2}}/e^{2^{3}}\$ 약 $10$ 소수점 이하 약 5자리까지.^[12]즉, ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle )}$ )${\displaystyle \frac{l}{}}$ ln${\displaystyle \frac{(}{}}$ (${\displaystyle \frac{10}{}}$) + ${\displaystyle \frac{8}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}${\$displaystyle \ln(\pi )\ 약${\$ln(10)+8 \}},$ 0.0002% 이내$.$
• ${\displaystyle {\frac$$}}}\약$ 3$\},$ 소수점 이하 5자리.
• $e^{}-{\frac{\mathrm{\pi }}{}}^{}9{}^{}+\; e{}^{}-4^{}{\frac{\mathrm{\pi }}{}}^{}9{}^{}+{}^{}{}^{}-9^{}{\frac{\mathrm{\pi }}{}}^{}9{}^{}+{}^{}{}^{}-{16}^{}{\pi \frac{}{}}^{}{\frac{9}{}}^{}+{}^{}-{25}^{}{\pi \frac{}{}}^{}9{}^{}+\; e{}^{}-{36}^{}\pi {\frac{9}{}}^{}+{}^{}-\; 36{\pi \frac{}{}}^{}{\frac{9}{}}^{}+\; e{}^{}-{49}^{}{\pi \frac{}{}}^{}{\frac{9}{}}^{}+{}^{}-{64}^{}{\frac{\mathrm{\pi }}{}}^{}9{}^{}=\mathrm{1.0000000105...}$${\textstyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105...$$\approx 1}$. In fact, this generalizes to the approximate identity:${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{e^{-{\frac {k^{2}\pi }{n}}}}\approx {\frac {-1+{\sqrt {n}}}{2}}}$ which can be explained by the Jacobian theta functional identity.^[16][17][18]
• Ramanujan's constant: ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768744=(2^{6}\cdot 10005)^{3}+744}$, within ${\displaystyle 2.9\cdot 10^{-28}\%}$, discovered in 1859 by Charles Hermite.^[19]이 매우 가까운 근사치는 수학적인 설명이 알려져 있지 않거나 존재할 것으로 예상되지 않는 전형적인 우연적인 수학적 우연의 종류가 아니다(여기 있는 다른 대부분의 경우처럼).163이 희그너 수라는 사실에 따른 결과다.
• There are several integers k such as 2198, 422151, 614552, 2508952, 6635624, 199148648, ... (OEIS: A019297) such that ${\displaystyle \pi \approx {\frac {\ln(k)}{\sqrt {n}}}}$ for some integer n, or equivalently ${\displaystyle k\approx \exp \left(\pi {\sqrt {n}}\right)}$ for the same n. 예: $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{199148648}{}}$) ${\displaystyle \frac{\sqrt{37}}{}}$ ${\$\pi $\pi \cln$ ($199148648)}{\sqrt{37}}}}}$ 14 또는$$ 15자리 소수점 이하.이것들은 모두 라마누잔의 상수와 희그너 숫자와 관련이 있기 때문에 엄밀히 말하면 우연의 일치가 아니다.

포함 𝛾

• ${\displaystyle \gamma \frac{}{}}$ tan${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \frac{\tan }{}(}$ ( ${\displaystyle 6}$ (${\displaystyle }$1 -${\displaystyle \gamma \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{3000}{}}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \gamma$ \gamma$\$approx \$approx \frac \\pi$}{$6}}(1-{{\frac {}}}}})},$ 소수$$6자리까지.

기타 수치적 호기심

• ${\displaystyle 10!$$=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7$^[20]
• ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle \,2^{3}=8},$ $3$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 9 ${\displaystyle 3^{2}=9}$은(는) 유일하게 연속적인 양의 정수(최소한 제곱)의 힘이 아니다(카탈란의 추측).
• ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ = $4$ {\$displaystyle \,4^{2}=2$^{4$}}$는 b = a${\displaystyle }$${\$$displaystyle a^{$$b}=b^{$$a}}}$의 유일한 양의 정수 솔루션(공식 솔루션 $방법은$램버트의 W 함수 참조)$$$$^[21]
• F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L에서₁₄₈₀₉₁ F₁₄₈₀₉₁(30949자리)와 Lucas₁₄₈₀₉₁(30950자리)가 동시에 발생할 가능성이 있기 때문에 F = F × L이기 때문에 피보나치 숫자 F는₂₉₆₁₈₂ 반시프라임(가능하다)이다.^[22]
• 생일 문제에 대한 토론에서 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ $365$${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{23}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{253}{}}$ ${\displaystyle \frac{365}{}}$ ${\$ $\$$선택$ 2$}={\frac {253}{365}}}}}}}$이 $발생하는데$, 이는 $($ ( ${\displaystyle 2}$)에서$$ 4자리 숫자에 해당하는 "$놀랍게$"이다$.$^[23]
• ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle 5{}^{}}$- 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 31}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 127}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 127}$⋅ $127 cd$ 5\$cdot$ 10$^{5}-$1=^[24]$31\cdot 127$\cdot $127},$ 메르센 프라임의 산물$.$
• ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( 1${\displaystyle .6}$ ) ${\displaystyle \approx 0.47000362920}$0.${\displaystyle 47}$ ${\displaystyle \ln($1.$6)\약$0.$4700036292\ 약$0.$47$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle {10}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$6$${\$displaystyle 4\capt 10^{-6$
• ${\displaystyle \sqrt{}\approx }$(${\displaystyle \pi \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 소수점 2자리까지 정확하다$.$
• $15$$1$$^{k^{k}}}},$ 소수점 12자리까지$.$
• 처음 6개의 자연수의 기하학적 평균인 ⁶√6!은 약 2.99, 즉 6${\displaystyle !}$ $6{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 6$!\약$ 3$^{6}}}$이다$.$

십진 우연의 일치

• ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 3435}$ ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435$ 3435는 베이스 10에서 유일하게 뮌하우젠 숫자가 아니다(0과 1 제외).${\displaystyle {그러나\mathrm{}}^{}}$ $0{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0^{0}=0$이라는 규약을 채택한다면 438579088은 또 다른 뮌하우젠 숫자다.^[25]
• ${\displaystyle \,1!+4!+5!$$=caps}$과 ${\displaystyle 4}$! + ${\displaystyle 0!}$+ ${\displaystyle 5!}$+ ${\displaystyle 5!}$= ${\displaystyle 40585}$ ${\displaystyle \,4!+0!+5!$$+8!+5!=40585}$은(는) 베이스 10(1과 2 제외)의 유일한 비파생 요인이다.^[26]
• ${\$$\\\not 6}{\$not $64}={\not$ 64}}={\$frac$ {$1}{4$ 26 ${\displaystyle \frac{65}{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$⧸ ${\displaystyle \frac{6\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{65}{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\$ {$26}}}}}={\frac$ {$2\!$$\\\not 6}{\\not 65}={\\frac$ {2$}{5$ 19 ${\displaystyle \frac{95}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$⧸ ${\displaystyle \frac{9\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{95}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\$$\\\not 9}{\\not 95}}={\frac {1}{5$ ${\displaystyle \frac{4998}{}}$= ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}9\mathrm{}}{}}$ 9${\displaystyle \frac{98}{}}$98 = ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{8}{}}$ ${\$98$}}}={\frac$ {4$\!\!\!$$\\not 9}{\not 98}={\frac$ {$4}{8$ 이 네 가지 변칙적인 취소의^[27] 최종 결과를 곱하면 그들의 제품은 정확히 100분의 1로 줄어든다.
• ${\displaystyle \,$$3$$^{3}=4913$${\displaystyle }$(${\displaystyle 5}$+ 8${\displaystyle }$+ 3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 5832}$ ${\displaystyle \,$ ($5+8+3+$$2$)$^{3}=5832}$, 및${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 9}$+ ${\displaystyle 6}$+ 8${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle {}^{}}$3 =${\displaystyle {}^{}19683}$ ${\displaystyle \,(1+9+6+8+$$3$)$^{3}=19683}$^[28]. (유사맥과 함께, ${\displaystyle (3}$+ ${\displaystyle 4{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 343}$ ${\디스플레이스타일 \,$ ($3+4)^{3}=343}$ .)$$^[29]
• ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 127}$ ${\displaystyle \,-1+2^{7}=127$ 127}, 127}, 가장 작은 프리드먼 번호를 만든다.비슷한 예로 2 ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {9\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 2592}$ ${\디스플레이스타일 2^{5}\cdot$ 9$^{2}=2592}$가 있다$.$^[30]
• ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 153}$ ${\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=3},$ 3 +$$7${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 370}$ ${\displaystyle \,3^{3^}+7^{3}+$0^{3}}}}{3}+$0^{3$]$\}\}=\{\}\},$ ${\displaystyle 3{\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$3 = ${\displaystyle 371}$ ${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=$${\displaystyle 371{\mathrm{}}^{}}$$\},$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 407}$ ${\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7$^{3}}+7$^{$3}{3}}{3}}}}{3}}}}}{3^{3^{3}{3}}}}}{3}}{3}}}}{$3$}}$}}=407}$은 모두 자아도취적인 숫자다.^[31]
• ${\displaystyle {588}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {2353}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 5882353}$ ${\displaystyle \588^{2}+2353^{2}=5882353},$ 프라임 번호$.$^[32]1/17 분수는 8자리로 반올림할 때 0.05882353을 생성하기도 한다.
• ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$+ 6 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ + 7${\displaystyle {}^{}}$+ 9 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {8\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle 2646798}$ ${\displaystyle$\,$2^{1$}+6$^{$2}+6$^{$2}+4$^{3}+6^{5}+7}+$9^{$6}+8^{7}=2646798$ .The largest number with this pattern is ${\displaystyle \,1^{1}+2^{2}+1^{3}+5^{4}+7^{5}+6^{6}+9^{7}+2^{8}+6^{9}$$+2^{10}+2^{11}+0^{12}+3^{13}+9^{14}+6^{15}+2^{16}+3^{17}+5^{18}+3^{19}+9^{20}=12157692622039623539}$.^[33]
• ${\displaystyle \sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2}$ (where ${\displaystyle \varphi }$ is the golden ratio), and ${\displaystyle \,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6}$ (where ${\displaystyle \phi }$ is Euler's totient function.^[34]
• ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 10077696}$ ${\displaystyle$ 6$^{9}=10077696$ ${\displaystyle {10}^{}}$ 7${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 10000000}$ ${\displaystyle 10^{7}=10000000}$에 가까운 $.$또한, ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$9 - ${\displaystyle 10}$( ${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}}$) = ${\displaystyle 999936}${\$displaystyle$6^{$9}-10 (6^{5$})=$999936$ ${\displaystyle {10}^{}}$= ${\displaystyle 10000000}$ ${\displaystyle 10^{7}=10000000$에 훨씬 가까운 .
• ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 117649}$ ${\displaystyle 7^{6}=16649$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 85}$= ${\displaystyle 117647.0588235}$ ${\displaystyle 10^{7}/85=117647.058235}$에 매우 가깝다$.$${\displaystyle 85}$ ${\displaystyle 85}$에 $7{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 7}$을 반복해서$$ 곱하면 결국 ${\displaystyle 10000165}$ ${\displaystyle 10000165}$에 이르게 되는 이유다$.$
• ${\displaystyle 6^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 7 ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1000188}$ ${\displaystyle$ 6$^{2}*7^{3}*9^{2}=1000188$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1000000}$ ${\displaystyle 10^{6}=10000}$에 매우 가깝다$.$

물리적 세계에서의 수적 우연의 일치

빛의 속도

빛의 속도는 정확하게 (정의상) 299,792,458 m/s로 3.0 × 10⁸ m/s(3억 m,000,000 m/s)에 매우 가깝다.이것은 순수한 우연의 일치인데, 원래 미터기는 해수면에서 표면을 따라 지구의 극과 적도 사이의 거리의 1/10,000,000으로 정의되었고, 지구의 둘레는 단지 광초의 2/15 정도밖에 되지 않는다.^[35]또한 대략 나노초당 1피트(실제 숫자는 0.9836ft/ns)와 같다.

태양과 달의 각도 지름

지구에서 보듯이 태양의 각도 지름은 31 3127″에서 32′32″ 사이인 반면, 달의 각도 지름은 292020 and에서 3466″ 사이인 것이다.간격이 겹친다는 사실(이전의 간격이 후자에 포함되어 있다)은 우연이며, 지구에서 관측할 수 있는 일식의 종류에 시사하는 바가 있다.

중력 가속도

위도와 고도에 따라 일정하지는 않지만, 지표면의 지구 중력에 의한 가속도의 수치값은 9.74~9.87m/s로², 10에 상당히 가깝다.이것은 뉴턴의 두 번째 법칙의 결과로 지구 표면의 질량 1킬로그램의 무게가 물체에 가해지는 힘의 대략 10뉴턴에 해당한다는 것을 의미한다.^[36]

이는 앞서 말한 파이의 사각형이 10에 가깝다는 우연의 일치와 관련이 있다.계량기의 초기 정의 중 하나는 반바퀴가 1초와 같은 주기를 갖는 진자의 길이였다.진자의 풀스윙 기간은 아래 방정식으로 근사하므로 대수학에서는 이 정의를 유지한다면 초 당 미터로 측정한 중력 가속도가 to과² 정확히 같을 것이라는 것을 보여준다.^[37]

${\displaystyle T\약 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

지구 표면의 중력 상한(9.87m/s²)은 ∆ m²/s에서² 4개의 유의미한 수치와 같다.표준 중력(9.80665m/s²)보다 약 0.6% 더 크다.

지구의 둘레가 이 값의 4,000,000,000배에 매우 가깝다는 것이 발견되었을 때, 이를 반영하기 위해 미터기를 재정립하였다. 이는 보다 객관적인 표준(중력 가속도가 지구 표면에서 다르기 때문이다)이기 때문이다.이는 당시 실험 오차 범위 이내였던 미터의 길이를 1% 미만으로 늘리는 효과가 있었다.^{[citation needed]}

중력 가속도 g와 관련된 또 다른 우연의 일치는 약 9.8m/s의² 값이 1.03광년/연과² 같아 숫자값은 1.에 가깝다.(그러므로 단순하게 말하면 1년간 가속도 g와 함께 몸이 떨어져도 빛의 속도에 도달한다.)이는 위에서 언급한 SI 단위(m/s²)에서 g가 10에 가깝다는 사실과 연간 초의 수가 c/10의 수치 값에 가깝다는 사실과 m/s 단위의 빛 속도를 c/s로 하는 것과 관련된다.사실, c/g = 354일, 근사, 365/354 = 1.03으로 SI와는 아무런 관계가 없다.

뤼드베르크 상수

라이드버그 상수는 빛의 속도에 곱하여 주파수로 표현했을 때 when ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {15}^{}}$ ${\displaystyle Hz{}^{}}$ ${\$에 가깝다$.$^[35]

${\displaystyle {\underline{3.2898}41960364(17)\time 10^{15}\\\text{Hz}}=R_{\infline }c}$^[38]

${\displaystyle {\underline{3.2898}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}}{3}}}}$

변환을 미터링하는 미국 관습

랜달 먼로가 발견한 바와 같이 1입방마일은 4 ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle {\frac{4}{3}\pi }$입방$$ 킬로미터(0.5%)에 가깝다.이것은 반지름이 nkm인 구가 면 길이가 n마일인 큐브와 거의 정확히 같은 부피를 가지고 있다는 것을 의미한다.^[39][40]

1마일 대 1킬로미터의 비율은 대략 황금 비율이다.결과적으로, 피보나치 수 마일 수는 대략 다음 피보나치 수 킬로미터가 된다.

1마일 대 1킬로미터의 비율도 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$) ${\displaystyle \ln(5)}($0.006%)에 매우 가깝다.즉, ${\displaystyle {5m}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ e ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 5$^{m}\근접 e^{k}}.$ 여기서$$ m은 마일 수, k는 킬로미터 수, e는 오일러의 수이다.

엄격히 미터법 변환 우연은 아니지만, 미국 편지지의 가로 세로 비율은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ $4{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$2%)에 가깝고, A4의 세로 ${\displaystyle \mathrm{비율}}$은 cos cos (${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 4 )${\displaysty \cos({\frac${\$pi }}{4}}}}})$이다$.$^[41]

입방 피트당 1 온스의 밀도는 입방미터당 1 킬로그램에 매우 가깝다: 1 oz/ft³ = 1 × 0.028349523125 kg/oz / (1 ft × 0.3048 m/ft)³ ≈ 1.0012 kg/m³.

미세구조 상수

미세구조 상수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) 1 ${\displaystyle \frac{137}{}}$ ${\$과(와) 근접하며, 한때 정확히 같을 것으로 추측되었다$.$^[42]

${\displaystyle \cHB ={\frac {1}{137.035999074\pair }}$

이 우연의 일치성은 이 절의 일부에 비해 강하지는 않지만, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}이$$(가) 차원 없는 물리적 상수이므로 이 우연은 사용 중인 단위 시스템의 인공물이 아니라는 점이 눈에 띈다.

플래닛 어스

정지궤도 반지름인 4만2164km(26만199mi)는 한 달 동안 달 거리 변동의 0.02% 이내(이름의 어포게이와 근위와의 차이), 4만2171km(2만6204mi), 적도 길이의 5% 오차(4만4075km(2만4901mi)이다.마찬가지로, 지구의 탈출 속도는 40,270 km/h(25,020 mph)이다.

인체온도

인체 온도의 정상 값(37°C(98.6°F)^[43]은 10°F² 또는 10°K와³ 거의 같으며, 둘 다 0.18°C(0.18°F)로 정확하다.또한 π⁴ °F에 매우 가깝다(0.7 °C(1.3 °F로 수정).

참고 항목

• 거의 정수
• 인류 원리
• 생일 문제
• 예외적 이형성
• 나르시시즘 수
• 소수의 강한 법칙
• 실험수학
• 케플러 삼각형#수학적 우연
• 코이데 공식

참조

외부 링크

• (in Russian) В. Левшин. – Магистр рассеянных наук. – Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
• Davis, Philip J. - 수학에 우연성이 있는가 - American Matheical Monthly, 제84권 제5호, 1981.
• 하디, G. H. – 수학자의 사과.– 뉴욕: 케임브리지 대학 출판부, 1993, (ISBN 0-521-42706-1)
• Weisstein, Eric W. "Almost Integer". MathWorld.
• futilitycloset.com의 "과학과 수학" 섹션에 있는 다양한 수학 우연의 일치
• 인쇄, W. H., 겉으로 보기엔 놀라운 수학적 우연성은 만들기 쉽다.