수 이론 에서 희그너 수 (콘웨이 와 가이라고 함)는 상상의 2차장 Q d ] {\ d디스플레이 \mathb Q} \좌[\sqrt {-d}\오른쪽] 1등급 이 되도록사각형 이 없는 양 의 정수 다. 동등하게, 그것의 정수 링은 독특한 요소화 를 가지고 있다.[1]
그러한 숫자의 결정은 학급 번호 문제 의 특별한 경우로서, 그들은 숫자 이론에서 몇 가지 두드러진 결과를 기초로 한다.
(베이커–)스타크-히그너 정리 에 따르면 정확히 9개의 희그너 숫자가 있다.
이 결과는 가우스 에 의해 추측되었고 1952년 커트 히그너 에 의해 사소한 결점까지 증명되었다. 앨런 베이커 와 해롤드 스타크 는 1966년 독자적으로 그 결과를 증명했고, 스타크는 더 나아가 히그너의 증거의 차이가 경미하다는 점을 시사했다.[2]
오일러 원생 다항식 오일러 원생 다항식
n 2 + n + 41 , {\displaystyle n^{2}+n+41,} n = 0, ..., 39에 대한 (간결한) 소수점은 희그너 번호 163 = 4/41 - 1과 관련이 있다.
라비노위츠 는[3]
n 2 + n + p {\displaystyle n^{2}+n+p} 이 판별 1 - 4p [\displaystyle n=0,\dots,p-2 (
(p 1 {\displaystyle p-1 ( displaystyle ^{2 따라서 displaystyle p-2}
1, 2, 3은 요구되는 형식이 아니므로 작용하는 희그너 번호는 7, 11, 19, 43, 67, 163이며 2, 3, 5, 11, 17, 41 에 오일러 형태의 원시 생성 기능을 산출한다. 이 후자의 숫자는 F 에 의해 오일러 행운 . 르 라이온나이스 .[4]
거의 정수와 라마누잔의 상수 라마누잔의 상수 초월수 [5] eπ 163 {\ displaystyle e^{\pi{\sqrt{163 거의 정수 에 가깝다는 점에서 거의 정수에 가깝다.[6]
e π 163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 … ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle e^{\\pi{\sqrt}}=262\,537\,412\,768\,743.999\,999\,299\,25\ldots \ 약 640\,320^{3}+744. }
이 숫자는 수학자 찰스 헤르미트 에 의해 1859년에 발견되었다.[7] 1975년 사이언티픽 아메리칸 만우절 기사에서, [8] 마틴 가드너 는 그 숫자가 사실 정수였으며, 인도의 수학 천재 스리니바사 라마누잔 이 그것을 예언했다고 거짓 주장을 했다.
이 우연은 복잡한 곱셈 과 j-invariant 의 q-확장 에 의해 설명된다.
디테일 간략히 j(1 d 2 displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt{-d}}{-d }}\오른쪽) d Heegner 번호의 정수이며,
e π d ≈ − j ( 1 + − d 2 ) + 744 {\displaystyle e^{\pi{\sqrt{d}}\reason -j\left\frac {1+{\sqrt{-d}}{-d}}\오른쪽)+744} q-ray를 통해
If τ {\displaystyle \tau } j -invariant is an algebraic integer of degree C l ( Q ( τ ) ) {\displaystyle \left \mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right } class number of Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} 그것이 만족하는 Olynomial을 'Hilbert class 다항식'이라고 부른다. 따라서 가상의 2차 확장자 τ {\displaystyle \mathbf {Q}(\tau )} d 는 Heegner 번호)이 있는
q e 2 π i τ {\ displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} Laurent 시리즈 로 쓰인 j의 q-확장 은 다음과 같이 시작 된다.
j ( τ ) = 1 q + 744 + 196 884 q + ⋯ . {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}+744+114\,884q+\cdots .}
계수 c {\ displaystyle c_{n}}}
ln ( c n ) ∼ 4 π n + O ( ln ( n ) ) , {\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt{n}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )}} 저순도 계수는 200 000n {\ displaystyle 200\000^{n}} q ≪ 200 {\ displaystyle q\ll {\frac{1}{200\000 j 는 처음 두 항으로 매우 근사하다. 설정 τ 163 {\ displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt{-163}}{2}}:} q = − e − π 163 ∴ 1 q = − e π 163 . {\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt}\reason \frac {1}{1}{q}=-e^{\sqrt {\sqrt}}. } 지금 j ( 1 + − 163 2 ) = ( − 640 320 ) 3 , {\displaystyle j\left\frac {1+{\sqrt{-light}{2}}\\오른쪽)=\좌측값\,320\right)^{3}} 그렇게 ( − 640 320 ) 3 = − e π 163 + 744 + O ( e − π 163 ) . {\displaystyle \left(-\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt}}+744+ O\왼쪽(e^{-\pi {\sqrt {163}}\오른쪽). } 아니면 e π 163 = 640 320 3 + 744 + O ( e − π 163 ) {\displaystyle e^{\pi {\sqrt}}=display\,320^{3}+744+ O\왼쪽(e^{-\pi {\sqrt {163}}\오른쪽)} 오차의 선형 항이 있는 경우, − 196 884 e π 163 ≈ − 196 884 640 320 3 + 744 ≈ − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\frac {-frac {-fac\,884}{e^{\e^{\e-pi {\sqrt{sqrt}}}}}}}\cH00\000\000\,75}}\cH00\{\\\\\\cH00000000000000\,3204} eπ 163 {\ displaystyle ^{\pi {\sqrt{ {}}}}}}
파이 공식 추드노브스키 형제 는 1987년에 이 사실을 발견했다.
1 π = 12 640 320 3 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3 344 418 k + 13 591 409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640 320 ) 3 k , {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},} 라는 사실을 이용한 증거 j ( 1 + − 163 2 ) = − 640 320 3 . {\displaystyle j\left\frac {1+{\sqrt}{-2}}\오른쪽)=-display\,320^{3} } 유사한 공식은 Ramanujan-Sato 시리즈 를 참조하십시오.
기타 희그너 수 네 개의 가장 큰 희그너 숫자에 대해, 한 사람이 얻는[9]
e π 19 ≈ 000 0 96 3 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 000 960 3 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 00 5 280 3 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 640 320 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}
또는,[10]
e π 19 ≈ 12 3 ( 3 2 − 1 ) 3 00 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 12 3 ( 9 2 − 1 ) 3 00 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 12 3 ( 21 2 − 1 ) 3 0 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 12 3 ( 231 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle{\begin{정렬}e^{\pi{\sqrt{19}}}&\approx 12^ᆭ\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color{흰색}00}+744-0.22\\e^{\pi{\sqrt{43}}}&\approx 12^ᆱ\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color{흰색}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi{\sqrt{67}}}&\approx 12^ᆵ\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color{흰색}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi{\sqrt{163}}}&\appr.소 12^{3}\left(2 31^{2}-1\오른쪽)^{3}+744-0.000\000\000\000\75\,75\end}}} 광장의 이유는 아이젠슈타인 시리즈 에 있다. 희그너 수 d 19 {\displaystyle d<19} , 19 {\displaystyle d=19} [11] 정수 j-invariant는 매우 인수 가능성이 높으며, 이는 형식에서 나타난다.
12 3 ( n 2 − 1 ) 3 = ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n + 1 ) ) 3 , {\displaystyle 12^{3}\왼쪽(n^{2}-1\오른쪽)^{3}=\왼쪽(2^{2}\cdot 3\cdot(n-1)\cdot(n+1)\cdot(오른쪽)^{3}}} 그리고 다음과 같은 요소를 고려하십시오.
j ( 1 + − 19 2 ) = 000 0 96 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ) 3 j ( 1 + − 43 2 ) = 000 960 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ) 3 j ( 1 + − 67 2 ) = 00 5 280 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ) 3 j ( 1 + − 163 2 ) = 640 320 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ 29 ) 3 . {\displaystyle {\pregated}j\left\frac {1+{\sqrt{-19}{2}}\오른쪽) &={{\color}000\,0}96^{3}=\왼쪽(2^{5}\cdot 3\오른쪽)^{3}\j\j\frac{1+{\sqrt{-43}}{2}}\오른쪽) &={\color {white}000\,}960^{3}=\좌측(2^{6}\cdot 3\cdot 5\우측)^{3}\\\j\좌측\frac{1+{\sqrt{-67}}}{2}}\우측) &={\color {white}00}5\,280^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=640\,320^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}. \end{정렬}}}
이러한 초월적 숫자 는 정수(단순히 1도 대수적 숫자 )에 의해 근사하게 추정될 뿐만 아니라 3도 대수적 숫자에 의해 근사하게 추정될 수 있다.[12]
e π 19 ≈ x 24 − 24.000 31 ; x 3 − 2 x − 2 = 0 e π 43 ≈ x 24 − 24.000 000 31 ; x 3 − 2 x 2 − 2 = 0 e π 67 ≈ x 24 − 24.000 000 0019 ; x 3 − 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 e π 163 ≈ x 24 − 24.000 000 000 000 0011 ; x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}e^{\pi{\sqrt{19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31,&x^{3}-2x-2&, =0\\e^{\pi{\sqrt{43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31,&x^{3}-2x^{2}-2&, =0\\e^{\pi{\sqrt{67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019,&x^{3}-2x^{2}-2x-2&, =0\\e^{\pi{\sqrt{163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011, &a.융점,\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&, =0\end{정렬}}}
큐빅의 뿌리는 정확히 24번째 루트를 포함하는 모듈형 함수인 데데킨드 eta 함수 ((τ )의 인수로 주어질 수 있으며, 근사치로 24를 설명한다. 그들은 또한 4도의 대수적 숫자로 가깝게 추정될 수 있다.[13]
e π 19 ≈ 3 5 ( 3 − 2 ( 1 − 96 24 + 1 3 ⋅ 19 ) ) − 2 − 12.000 06 … e π 43 ≈ 3 5 ( 9 − 2 ( 1 − 960 24 + 7 3 ⋅ 43 ) ) − 2 − 12.000 000 061 … e π 67 ≈ 3 5 ( 21 − 2 ( 1 − 5 280 24 + 31 3 ⋅ 67 ) ) − 2 − 12.000 000 000 36 … e π 163 ≈ 3 5 ( 231 − 2 ( 1 − 640 320 24 + 2 413 3 ⋅ 163 ) ) − 2 − 12.000 000 000 000 000 21 … {\displaystyle{\begin{정렬}e^{\pi{\sqrt{19}}}&\approx 3^ᆬ\left(3{\sqrt{2\left(1-{\tfrac{96}{24}}+1{\sqrt{3\cdot 19}}\right)}}\right)\\e^{\pi{\sqrt{43}}}및 ^{-2}-12.000\,06\dots, \approx 3^ᆯ\left(의{\sqrt{2\left(1-{\tfrac{960}{24}}+7{\sqrt{3\cdot 43}}\right)}}\right)\\e^{\pi{\sqrt{67}}}및 ^{-2}-12.000\,000\,061\dots, \appr.소 3^{5}\lef t(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}
x {\displaystyle x} ) 안 의 식을 나타내는 경우(예: x 3 2 1 96 24 19 displaysty 3-{\sqrt {2\frt{96){ }+1{\sqrt}{3\ cdot 19}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
x 4 − 00 4 ⋅ 3 x 3 + 000 0 2 3 ( 96 + 3 ) x 2 − 000 000 2 3 ⋅ 3 ( 96 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 00 4 ⋅ 9 x 3 + 000 2 3 ( 960 + 3 ) x 2 − 000 00 2 3 ⋅ 9 ( 960 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 0 4 ⋅ 21 x 3 + 00 2 3 ( 5 280 + 3 ) x 2 − 000 2 3 ⋅ 21 ( 5 280 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 231 x 3 + 2 3 ( 640 320 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 231 ( 640 320 − 6 ) x − 3 = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}x^{4}-{\color{흰색}00}4\cdot 3x^{3}+{\color{흰색}000\,0}{{2\tfrac}{3}}(96+3)x^{2}-{\color{흰색}000\,000}{{2\tfrac}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&, =0\\x^{4}-{\color{흰색}00}4\cdot 9x^{3}+{\color{흰색}000\,}{{2\tfrac}{3}}(960+3)x^{2}-{\color{흰색}000\,00}{{2\tfrac}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&, =0\\x^{4}-{\color{wh.ite}0}일 경우 4\ cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}
정수 3 9 , 21 , 231 displaystyle n=3,9, ,231}
2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 96 24 ) 2 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 19 ) = 96 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 960 24 ) 2 + 7 2 ⋅ 3 ⋅ 43 ) = 960 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 5 280 24 ) 2 + 31 2 ⋅ 3 ⋅ 67 ) = 5 280 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 640 320 24 ) 2 + 2413 2 ⋅ 3 ⋅ 163 ) = 640 320 2 3\left(-\left(1-{\tfrac{96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&, =96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac{960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac{5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left{\displaystyle{\begin{정렬}2^{6}\cdot.(-\left(1-{) tfrac {frac\,320}{24}}}{2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&==nfrac\,320^{2}\end{aigned}}}}}}} 적절한 분율의 힘을 가진, 정확히 j-변량제다.
유사하게 6도의 대수학 숫자에 대해서도,
e π 19 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 010 … e π 43 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 010 … e π 67 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 061 … e π 163 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle{\begin{정렬}e^{\pi{\sqrt{19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi{\sqrt{43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi{\sqrt{67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi{\sqrt{163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots cm이다.end{정렬}}}
여기서 xs 는 각각 sextic 방정식의 적절한 루트에 의해 주어진다.
5 x 6 − 000 0 96 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 000 960 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 00 5 280 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 640 320 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}
j-diariants가 다시 등장하면서 이러한 Q {\ displaystyle \mathb {Q}{\sqrt{5}} 4분위 로 추가)에 걸쳐서 두 칸 으로 인화되므로 급진적으로 해결 할 수 있다 . 이러한 대수적 근사치는 데데킨드 에타 인수의 관점에서 정확 하게 표현할 수 있다. 예를 들어 τ 163 2 {\ displaystyle \textstyle \tau ={\frac 1+{\sqrt{-163}}{ }}:},
e π 163 = ( e π i 24 η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 − 24.000 000 000 000 001 05 … e π 163 = ( e π i 12 η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 − 12.000 000 000 000 000 21 … e π 163 = ( e π i 6 η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle{\begin{정렬}e^{\pi{\sqrt{163}}}&=\left({\frac{e^{\frac{\pi 나는}{24}}\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi{\sqrt{163}}}&=\left({\frac{e^{\frac{\pi 나는}{12}}\eta(\tau)}{\eta(3\tau)}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi{\sqrt{163}}}&=\left({년.frac{e^{\fr ac{\pi i}{6}}{6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\000\000\000\034\i1\injust \ended}}}
여기서 eta quotes는 위에 주어진 대수적 숫자다.
2등급 번호 가상의 2차장 Q d ] 디스플레이 \mathb {Q} \좌[{\sqrt{-d}\오른쪽] 클래스 2 를 갖는않지만 거의 정수 에 가까운 측면에서 어떤 유사한 속성을 가지고 있다. 예를 들어.
e π 88 + 8 744 ≈ 00 00 2 508 952 2 − 0.077 … e π 148 + 8 744 ≈ 00 199 148 648 2 − 0.000 97 … e π 232 + 8 744 ≈ 24 591 257 752 2 − 0.000 0078 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}} 그리고 e π 22 − 24 ≈ 00 ( 6 + 4 2 ) 6 + 0.000 11 … e π 37 + 24 ≈ ( 12 + 2 37 ) 6 − 0.000 0014 … e π 58 − 24 ≈ ( 27 + 5 29 ) 6 − 0.000 000 0011 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}
연속 소수 Given an odd prime p , if one computes k 2 mod p {\displaystyle k^{2}\mod p} k = 0 , 1 , … , p − 1 2 {\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}} ( p − k ) 2 ≡ k 2 mod p {\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p} 사이트, p 가 Heegner 번호인 경우에만 연속된 primes가 뒤따른다.[14]
자세한 내용은 Richard Mollin 의 "Complex 2차 필드의 연속 고유 소수 및 클래스 그룹 생성"을 참조하십시오.[15]
참고 및 참조 ^ Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers 224 . ISBN 0-387-97993-X ^ Stark, H. M. (1969), "On the gap in the theorem of Heegner" (PDF) , Journal of Number Theory 1 (1): 16–27, Bibcode :1969JNT.....1...16S , doi :10.1016/0022-314X(69)90023-7 , hdl :2027.42/33039 ^ 라비노비치, 게오르그 "Aindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in Jahlkörpern." Proc. 다섯 번째 인터나트. 의회 수학. (캠브리지) 1, 418–421, 1913. ^ 르 라이온나이스, F. 레즈 유목민들은 재혼한다. 파리: 헤르만, 페이지 88과 144, 1983. ^ Weisstein, Eric W. "Transcendental Number" . MathWorld V Yu . 선형 방정식 시스템의 대하여." 이즈브 Akad. Nauk SSSR, Sir. Mat. 38, 495–512, 1974. 수학에서의 영어 번역 USSR 8, 501–518, 1974. ^ Ramanujan Constant – Wolfram MathWorld 출신 ^ Barrow, John D (2002). The Constants of Nature . London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6 ^ Gardner, Martin (April 1975). "Mathematical Games". Scientific American . Scientific American, Inc. 232 (4): 127. Bibcode :1975SciAm.232e.102G . doi :10.1038/scientificamerican0575-102 . ^ 이것들은 컴퓨터로 확인할 수 있다. e π d − 744 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt{d}}-744}}} 계산기로, 그리고 196 884 e π d {\displaystyle {\frac {not\,884}{e^{\pi{\sqrt{d}}}}}}} 오차의 선형 항에 대해. ^ "More on e^(pi*SQRT(163))" .^ 무작위 실수의 절대 편차(예를 들어 [0,1] [0,0.5] 에 균일하게 분포된 변수여서 절대 평균 편차 와 중위수 절대 편차 가 0.25이며, 0.22의 편차가 예외는 아니다. ^ "Pi Formulas" .^ "Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients" .^ "Simple Complex Quadratic Fields" .^ Mollin, R. A. (1996). "Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields" (PDF) . Acta Arithmetica . 74 : 17–30. doi :10.4064/aa-74-1-17-30 . 외부 링크 
![{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a585fc5adbd9245a7b1d09c1d205199a7db58f3)
d Heegner 번호의 정수이며, 
(는) 점증하지 않고 다음과 같이 증가한다. 
(가
재등장과 다음 사항에 유의하십시오. 
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd0370d7b65c24225be4e0b8eeb77d32f70a260)
