오목함수

수학에서 오목함수는 볼록함수의 음수이다.오목함수는 아래쪽으로 오목함수, 아래쪽으로 오목함수, 위쪽으로 볼록함수, 위쪽으로 볼록함수 또는 위쪽으로 볼록함수라고도 한다.

정의.

간격(또는 보다 일반적으로 벡터 공간에서 볼록하게 설정된)의 $실수치{\displaystyle }$ 함수$$f{$displaystyle$f}는$$ $간격$의$$x{$displaystyle$ x$$$}$$및{\displaystyle }$ y{$displaystyle$ y$$$}$에 대해 및 α$$[ [${\displaystyle }$0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$]{$displaystyle \alpha \in$ [$0$ , 1$$^[1]]]에 대해 오목형이라고 한다.

$\displaystyle f((1-\alpha)x+\alpha y)\geq(1-\alpha)f(x)+\alpha f(y)}$

함수는 다음과 같은 경우에 엄밀하게 오목하다고 불린다.

${\displaystyle f((1-\alpha)x+\alpha y)>(1-\alpha)f(x)+\alpha f(y)}$

(${\displaystyle 0,1}$)$({displaystyle \alpha \in (0,$1$$)} $및{\displaystyle }$ $displaystyle$ x$\neq$y$\})$에 대해 지정합니다.

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:\mathbb {R} \to$ \$mathbb$${$$R$의 경우, 이 두 번째 정의는 x$${\$displaystyle$ x$}$와$$y {\$displaystyle$ y$\}$ $사이$의 $z$에 대해 점$,$$)$이$fstyle$의 $그래프$에 표시됨을 나타냅니다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) , { $displaystyle ( x$ ,$f$ ($x$ )$$} ) } $、{\displaystyle }$ （${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x ) ） 、 ( ( (stylestylestylestylestyle$$ （ y )$$、 $displaystyle$ ($y$ , $f ( y$ )$$） 。

$함수{\displaystyle }$ S${\displaystyle (a)}$ $=$ {${\displaystyle x}$ :${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle a}$ a$$ { $displaystyle$ S$(a$)=\{$x:f(x)\geq$ a$\}$의 상부 윤곽 세트가 볼록 ^[2]집합이면 $함수{\displaystyle }$f {$displaystyle$ f$}$는 준동체이다.

특성.

단일 변수의 함수

1. 미분가능함수 f는 그 구간에서 단조롭게 감소하는(엄격하게 감소하는) 구간, 즉 오목함수가 비증가(감소) ^[3][4]경사를 가지는 경우에 한하여 (엄격하게) 오목함수이다.
2. 오목한 변화가 있는 점(오목한 점과 볼록한 점)은 변곡점입니다.^[5]
3. f가 2배 미분 가능한 경우 f는 f가 양수가 아닌 경우(또는 비공식적으로 "가속도"가 양수가 아닌 경우)에만 오목하다.2차 도함수가 음수이면 엄밀하게 오목하지만, f(x) = -x에서⁴ 알 수 있듯이 그 반대는 참이 아니다.
4. f가 오목하고 미분 가능한 경우, 1차 테일러 ^[2]근사에 의해 위쪽으로 경계된다.
   $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$

   
5. 구간 C의 르베그 측정 가능 함수는 중간점 오목한 경우, 즉 C의 임의의 x 및 y에 대해서만 오목하다.
   $${\displaystyle f\leftfrac {x+y}{2}}\오른쪽)\geq {f(x)+f(y)}{2}}$$

   
6. 함수 f가 오목하고 f(0)가 0이면 f는 [${\displaystyle 0}$,$]({displaystyle [0,\infty$에${\displaystyle }$부가됩니다.증거:
   • f는 오목하고 1µ t 0 0이므로 y = 0으로 하면 다음과 같이 된다.
     $$\displaystyle f(f)=f(cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x)}$$

     
   • a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$" [${\displaystyle 0}$ , " )$${ $displaystyle$a ,$b$ \$in$ [ $0$, \ $infty$}의 $경우:$
     $$({displaystyle f(a)+f(b)=f\left(a+b){a+b}\right)+f\left(a+b){\frac {b}{a+b}\right)\geq {a}{a}{a+b}\frac {a}+b}(a}+fac{f}+b}{f}{f}{f}}{f}{a}{f}{f}}{f}{f}}}{f}{f}{f}}{f}}}}}{f}$$

     

n개 변수의 함수

1. 함수 f는 함수 -f가 집합 위의 볼록 함수일 경우에만 볼록 집합 위에 오목하게 놓인다.
2. 2개의 오목함수의 합은 그 자체로 오목함수이며, 2개의 오목함수, 즉 주어진 영역의 오목함수 집합이 반필드를 형성한다.
3. 함수의 영역 내 국소 최대값 부근에서 함수는 오목해야 하며, 부분 역행으로서 엄밀하게 오목한 함수의 도함수가 어느 한 지점에서 0이면 해당 지점은 국소 최대값이 됩니다.
4. 오목함수의 로컬 최대값도 글로벌 최대값입니다.엄밀하게 오목한 함수는 최대 1개의 글로벌 최대값을 가집니다.

예

• $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ $=$ - ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2({$displaystyle$ f$(x$)=-$x^{2})$ 및$$ $g{\displaystyle (x)}$ $=$ $({$ g$(x$)=$sqrt {x})$는 두 번째 $도함수{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle }$δ($x$ $=$ -$$$2\frac{\mathrm{}}{}$ {$displaystyle{}^{}$ f$'(x$)=-2$) 및$ $)$ $=$ $\frac{1\mathrm{}}{}$ / 3$\frac{{}^{}}{}$)의 구간에 오목함수이다.ative.
• 로그 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle \log x}$x {\$displaystyle$ f$(x$)=\$log {x}$는${\displaystyle }$도함수 ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \infty }$) {$displaystyle (0,\infty$에 오목하게 표시되며, 그 $도함수{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1$(\displaystyle {1}{x})$는 엄밀하게 감소함수이다.
• 모든 $아핀{\displaystyle }$ 함수 f${\displaystyle (x}$ ) $=$ +$$ {\$displaystyle$ f$(x$)=$ax+b}$는 오목하고 볼록하지만 엄밀하게 오목하지도 않다.
• 사인 함수는 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle ]}$ $]$ {$displaystyle [0,\pi$에 오목합니다.
• $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (B)}$ $=$ ${\displaystyle \log b}$B(\$displaystyle$ f$(B$)=\$log$ B $\}$는 ^[6]오목하다. $여기$서 B(\$displaystyle$ B$)$는 음이 아닌 행렬 B의 행렬식이다.

적용들

• 대기 중 방사선 감쇠 계산 시 광선 굴곡은 오목함수를 포함한다.
• 불확실성 하에서의 선택을 위한 기대 효용 이론에서, 위험 회피 의사결정자의 주요 효용 함수는 오목하다.
• 미시경제이론에서 생산기능은 일반적으로 일부 또는 모든 영역에 걸쳐 오목하다고 가정하여 입력요소에 ^[7]대한 수익률을 감소시킨다.

「 」를 참조해 주세요.

• 오목 다각형
• 옌센 부등식
• 로그 오목함수
• 퀘이콘케이브 함수
• 함몰

레퍼런스

기타 레퍼런스

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.