세습 재산

수학에서 유전적 특성은 모든 하위 객체에 의해 계승되는 객체의 속성이며, 여기서 하위 객체의 의미는 맥락에 따라 달라진다.이러한 성질은 위상과 그래프 이론에서 특히 고려되지만 세트 이론에서도 고려된다.

위상

위상에서 위상적 속성은 위상학적 공간에 그 속성이 있을 때마다 그 속성의 모든 하위 공간도 마찬가지로 유전된다고 한다.후자가 폐쇄된 서브스페이스에 대해서만 사실이라면, 그 속성은 약하게 유전되거나 폐쇄된 세습체라고 불린다.

예를 들어, 두 번째 계수성과 실현성은 유전적 특성이다.순차성과 하우스도르프 콤팩트함은 약하게 유전되나 유전되지 않는다.^[1]연결성이 약하게 유전되는 것은 아니다.

P가 위상학적 공간 X의 속성이고 모든 하위 공간에도 속성 P가 있다면 X는 "계속적으로 P"라고 한다.

조합론 및 그래프 이론에서

유전적 성질의 개념은 다양한 이름으로 알려져 있지만 조합론과 그래프 이론 전반에 걸쳐서 발생한다.예를 들어, 순열 패턴의 맥락에서, 유전적 특성은 일반적으로 순열 등급이라고 불린다.

그래프 이론에서, 유전적 특성은 또한 유도 서브그래프를 ("상속")하는 그래프의 속성이다.^[2]또는 정점을 제거하여 유전적 특성을 보존한다.그래프 클래스 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 유도 하위 그래프에 따라 닫히면 유전형이라고 한다$$.유전형 그래프 클래스의 예로는 독립 그래프(가장자리가 없는 그래프)가 있는데, 이는 포리스트, 평면, 완전, 완전 다중 사이트 등 일부 숫자 c에 대해 c-색상이 가능한 특수한 경우(c = 1)이다.

일부의 경우, "계속형"이라는 용어는 그래프 미성년자를 기준으로 정의되었지만, 이것은 더 적절하게 소계속형 속성이라고 불린다.더 로버슨-세이모어 정리는 미성년자 상속 재산은 금지된 미성년자의 유한 집합의 관점에서 특징지어질 수 있다는 것을 암시한다.

서브그래프 촬영과 관련하여 닫힌 그래프 속성에 대해서도 "서열화"라는 용어가 사용되어 왔다.^[3]이 경우 유도 서브그래프를 취하기 위해 닫히는 속성을 유도계통이라고 한다.유전적 특성과 유도 계통적 특성의 언어는 다양한 유형의 일반화 색상의 구조적 특성에 대한 연구를 위한 강력한 도구를 제공한다.이 영역에서 가장 중요한 결과는 독특한 요소화 정리다.^[4]

모노톤 속성

그래프 이론에서 '모노톤 속성'의 의미에 대해서는 공감대가 형성되지 않는다.정의의 예는 다음과 같다.

• 가장자리를 제거하여 보존한다.^[5]
• 가장자리와 꼭지점의 제거에 의해 보존된다(즉, 속성은 모든 하위 그래프에 대해 유지되어야 한다).^[2]
• 가장자리와 꼭지점의 추가에 의해 보존된다(즉, 속성은 모든 수퍼그래프를 지탱해야 한다).^[6]
• 가장자리의 추가에 의해 보존된다.^[7](이 의미는 아안데라-카프-로센베르크 추측의 진술에 사용된다.)

가장자리의 제거에 의해 보존되는 특성의 보완적 특성은 가장자리의 추가에 따라 보존된다.따라서 일부 저자들은 A 또는 A^C(A의 보완자)가 단조인 경우 A 속성은 단조라고 말하면서 이러한 모호성을 피한다.^[8]일부 저자들은 일부 물체의 추가에 따라 보존된 재산에 대해 단조로운 증가라는 용어를 사용하고, 동일한 물체의 제거에 따라 보존된 재산에 대해서는 단조로운 증가라는 용어를 사용하여 이 문제를 해결하기로 선택한다.

문제해결에서

계획 및 문제 해결, 또는 보다 공식적인 1인칭 게임에서 검색 공간은 상태를 노드로, 전환은 에지로 하는 방향 그래프로 보인다.상태는 속성을 가질 수 있으며, 그러한 속성 P는 P가 있는 각 상태 S에 대해 S에서 도달할 수 있는 각 상태도 P가 있으면 유전된다.

P와 ~P가 있는 모든 상태의 서브셋은 세습 파티션이라고 하는 상태 집합의 파티션을 형성한다.이러한 개념은 상태와 그 도메인의 측면을 고려하여 속성 대신 보다 차별적인 파티션으로 사소한 방식으로 확장될 수 있다.상태가 A 측면, d_i ⊂ D 도메인 D의 분할을 갖는 경우, A ∈ d가_iii 도달할 수 있는 다른 상태에서만 if ∀i의 총 상태 집합의 세습 분할을 구성하는 상태의 하위 집합이 된다.

현재 상태와 목표 상태가 세습 파티션의 서로 다른 요소에 있는 경우, 현재 상태에서 목표 상태까지의 경로가 없고, 문제는 해결책이 없다.

체커 보드를 도미노 타일로 덮을 수 있는가? 각각의 타일은 정확히 두 개의 인접한 필드를 덮을 수 있는가?네. 왼쪽 위와 오른쪽 아래 필드를 제거하면?그러면 더 이상 커버를 할 수 없게 되는데, 왜냐하면 덮지 않은 흰 들판의 수와 덮지 않은 검은 들판의 수가 2개인데, 도미노 타일(흰 들판 하나와 검은 들판 하나를 덮는 것)을 더하면 그 수가 2개로 유지되기 때문이다.전체 커버의 경우 숫자가 0이므로, 출발 위치에서 전체 커버에 도달할 수 없다.

이 개념은 로랑 시클로시와 로치에 의해 처음 소개되었다.^[9]

모델 이론에서

모델 이론과 유니버설 대수학에서, 주어진 서명의 구조물의 등급 K는 K의 구조물의 모든 하부 구조가 다시 K에 있으면 유전적 특성을 갖는다고 한다.이 정의의 변형은 프레이셰의 정리와 관련하여 사용된다.미세하게 생성된 구조물의 등급 K는 모든 미세하게 생성된 하부 구조가 다시 K에 있는 경우 유전적 특성을 갖는다.나이를 보다.

모체역설에서

매트로이드에서는 독립 집합의 모든 부분 집합이 다시 독립적이다.이것을 세습재산이라고도 한다.

세트 이론에서

형용사 "계승적"을 사용한 재귀적 정의는 흔히 집합 이론에서 접하게 된다.

한 세트는 그 원소가 모두 세습 세트라면 세습(또는 순수)이라고 한다.빈 집합이 유전 집합이라는 것은 공허한 사실이며, 따라서 빈 집합${\displaystyle }$set${\displaystyle \varnothing}$만 포함하는$$ 집합${\displaystyle }${$∅}{\$$varnothing \}}}$이(가$)$ 유전 집합이며$$, 재귀적으로 그렇다는${\displaystyle }$것이다$.$폰 노이만 우주에서 해석하거나 체르멜로-프라엔켈 집합 이론의 내용을 표현하기 위한 집합 이론의 공식에서, 집합의 요소가 될 후보까지 되는 유일한 종류의 물체는 또 다른 집합이기 때문에, 모든 집합은 유전적이다.따라서 유전 집합의 개념은 요소들이 있을 수 있는 상황에서만 흥미롭다.

몇 가지 개념은 유사하게 정의된다.

• 유전적으로 유한한 집합은 0개 이상의 유전적으로 유한한 집합으로 구성된 유한 집합으로 정의된다.동등하게, 한 세트는 그것의 전이적 폐쇄가 유한한 경우에만 유전적으로 유한하다.
• 유전적으로 계수할 수 있는 집합은 유전적으로 계수할 수 있는 집합이다.셀 수 있는 선택의 공리를 가정하면, 세트는 그것의 전이성 폐쇄를 셀 수 있는 경우에만 유전적으로 셀 수 있다.

Based on the above, it follows that in ZFC a more general notion can be defined for any predicate ${\displaystyle \Phi (x)}$. A set x is said to have hereditarily the property ${\displaystyle \Phi (x)}$ if x itself and all members of its transitive closure satisfy ${\displaystyle \Phi (y)}$, i.e. ${\displaystyle x\cup }$${\displaystyle x\컵 \mathop {\rm {tc}}(x)\subseteq \{y:$$\Phi (y$ 동등하게$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle y}$ :${\displaystyle \mathrm{\phi }}$(${\displaystyle y)\{\backslash }$$displaystyle \Phi (x)}$의 전이적 부분 집합의 멤버인 경우$$, x가 유전적으로 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle x)}$를 만족한다.${\displaystyle \{y:$$\Phi (y)\}}$ 그러므로 (세트의) 속성은$$^[10][11] 모든 부분집합에 의해 상속되는 경우 유전된다고 한다.예를 들어, 잘 정돈된 것은 유전적 재산이며, 따라서 유한한 것이다.^[12]

만약 우리가 위의 스키마에서()){\displaystyle \Phi())}Φ"x카디널리티 κ보다 적다"과 예를 들어 설명하다, 우리는 세트의 더 일반적인 개념을 얻으면 대대로의 카디널리티 이하 κ, 보통 이 가리키H({\displaystyle H_{\kappa}}[13]또는 H(κ){H(\kappa)\displaystyle}. 우리는 되찾을 수는 두가지 간단한 noti.ons위에서 소개한 것은 유전적으로 유한한 집합의 $집합$인 H (${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle H(\$${\displaystyle {omega\mathrm{}}_{}}$$$_${1$})이고$,$ $유전적$으로 계산 가능한 집합인 $H$$(\omega$_{1$})$이다.^[14](${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}은$($는) 첫 번째로 계산할 수 없는 서수이다.)

참조