모달 깊이

이 기사는 대부분 또는 전체적으로 단일 출처에 의존하고 있습니다. 관련 토론은 토크 페이지에서 확인할 수 있습니다. 추가 출처에 인용문을 도입하여 이 기사의 개선에 도움을 주시기 바랍니다.출처 : '모달 깊이'– 뉴스 · 신문 · 서적 · 학자 · JSTOR (2019년 11월)

모달 로직에서 공식의 모달 깊이는 모달 연산자(예: {$displaystyle \Box}$ 및$$${\:$ {$displaystyle \Diamond})$의 가장 깊은 중첩입니다.모달 연산자가 없는 모달 공식의 모달 깊이는 0입니다.

정의.

모달 깊이는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.^[1]${\displaystyle M}$ D${\displaystyle }$($$ ) { $displaystyle$ MD ( \ $phi$) $be$ {\${\displaystyle \mathrm{모달}}$ 공식 ${\$ { $displaystyle$\$phi$의 모달 깊이를 계산하는 함수라고 $합니다{\displaystyle }$.

${\displaystyle M}$D (${\displaystyle p}$ ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ MD $($p) =$0$} 。$여기$서$$p { $displaystyle$ p$}$는 원자식입니다.

$\displaystyle MD(\top)=0}$

${\displaystyle MD(\bot)=0}$

$\displaystyle MD(\neg \varphi)=MD(\varphi)}$

$(\displaystyle MD(\varphi\psi)=max(MD(\varphi), MD(\psi))}$

$(\displaystyle MD(\varphi \vee \psi)=max(MD(\varphi), MD(\psi))}$

$(\displaystyle MD(\varphi\rightarrow\psi)=max(MD(\varphi), MD(\psi))}$

$\displaystyle MD(\Box \varphi)=1+MD(\varphi)}$

$(\displaystyle MD(\Diamond \varphi)=1+MD(\varphi)}$

예

다음 계산은 ${\displaystyle ◻}$ ( ${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \to p}$) {$displaystyle \Box (\Box$ p$\rightarrow$ p$)\}$의 모드 깊이를 제공합니다.

$\displaystyle MD(\Box(\Box p\오른쪽 화살표 p))=}$

${\displaystyle 1+MD(\Box p\오른쪽 화살표 p=}$

$\displaystyle 1+max(MD(\Box p), MD(p))=}$

${\displaystyle 1+max(1+MD(p),0)=}$

${\displaystyle 1+max(1+0,0)=}$

${\displaystyle 1+1=:2}$

모달 깊이 및 의미론

공식의 모달 깊이는 공식의 유효성을 확인할 때 Kripke 모형을 '얼마나 멀리' 조사해야 하는지를 나타냅니다.각 모달 연산자에 대해 모델 내의 세계에서 접근성 관계를 통해 접근할 수 있는 세계로 전환해야 합니다.모달 깊이는 공식의 유효성을 검증하는 데 필요한 세계에서 다음 세계로 이행하는 가장 긴 '사슬'을 나타냅니다.

예를 들어 M${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ if$、$ w if if if ${\displaystyle \mathrm{if}}$ if if $if$ if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if ${\displaystyle \mathrm{if}}$ if if if if if if if if if if if if $if{\displaystyle }$ if if ${\displaystyle \mathrm{if}}$ if if if if if if$$（ $displaystyle$$$M$, w\models$\ $Diamond$ \ Diamond \ $Di$$$$）$가 $존재$하는지 여부를 $확인$해야 합니다$.$$\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle M,u\models \varphi }$ and ${\displaystyle u}$ is accessible from ${\displaystyle v}$. We have made two steps from the world ${\displaystyle w}$ (from ${\displaystyle w}$ to ${\displaystyle v}$ and from ${\displaystyle v}$ to ${\displa$$ystyle$u$\})$를 사용하여 공식의 유지 여부를 결정합니다. 이는 정의상 해당 공식의 모달 깊이입니다.

모달 깊이는 상자의 경우 전환 수에 대한 상한(표준)입니다. 모달 공식은 액세스 가능한 월드가 없는 경우 항상 참입니다($예$: $◻{\displaystyle }$ ${\$ \$$$displaystyle$\ $Box$ \ $varphi$$$ $）$ $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ∀$$、 ${\displaystyle v}$$$${\displaystyle \forall W}$、 \ $displaystyle$ w${\displaystyle ）}$ $。$$rall$ v$\in W\(w,v$$in$R이 아닙니다$.$$여기$서 W$\displaystyle$W는$$ 월드 $세트{\displaystyle }$, R$\displaystyle$R은$$ 접근성 관계입니다.${\displaystyle M}$, w ${\displaystyle \models }$ ◻◻$$ \ $displaystyle$M ,$w$ \ $models \ Box$\ $varphi$ }$$$m{\displaystyle }$ m m m m 、모델의 구조에 따라서는 모델 내에서 두 단계를 수행해야 할 수도 있지만 더 적을 수 있습니다.w$\display$ w$\}$에서 접근할 수 있는 월드가 없다고 가정합니다. 외부 연산자로 상자를 사용하는 공식의 유효성에 대한 이전 관찰에 의해 공식은 3차적으로 유지됩니다.

레퍼런스