크립케 의미론

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크립케 시멘틱스(관계 시멘틱스 또는 프레임 시멘틱스라고도 하며 종종 가능한 세계 시멘틱스와 혼동된다)는 1950년대 후반과 1960년대 초에 사울 크립케와 안드레 조얄에 의해 만들어진 비 고전 논리 시스템을 위한 공식 시멘틱스이다.그것은 처음에는 모달 논리학을 위해 고안되었고, 나중에는 직관적인 논리학과 다른 고전적이지 않은 체계에 적용되었다.크립케 의미론의 발전은 고전 논리학의 이론의 돌파구였다. 왜냐하면 그러한 논리학의 모델 이론은 크립케 이전에는 거의 존재하지 않았기 때문이다(대칭 의미론은 존재했지만 '위장 구문'으로 간주되었다).

모달 로직의 의미론

명제 모달 로직의 언어는 셀 수 없을 정도로 무한한 명제 변수 집합, 진실 함수 연결 집합(본 기사에서는 \$displaystyle \to }$ 및$$${\$ \$displaystyle \neg$) $$및 모달 연산자 $◻$ \$displaystyle \Box }("$필요하게")로 구성된다.모달 연산자 ${\$ { $displaystyle$\$Diamond }$ ("$displaystyle \Diamond")$는 (일반적으로) $◻$의 쌍대이며 다음과 같이 정의할 수 있습니다.${\displaystyle a}$A$:$ $◻$ \$neg \Box \neg A$("A")는 반드시 "와 동등하지 않습니다.

기본 정의

Kripke 프레임 또는 모달프레임은 $,$ ${\displaystyle R}$의${\displaystyle }$쌍$displaystyle$ \$langle W,R$\rangle$)$입니다.여기서 W는 (공백일 가능성이 있는) 세트, R은 W 위의 바이너리 관계입니다.W의 요소는 노드 또는 월드라고 불리며, R은 접근성 ^[2]관계라고 불립니다.

Kripke 모델은 3중$,$ $,$\$displaystyle$ \$langle W,$ R, \$Vdash$\rangle $\}$^[3] 입니다$여기$서$,$ R$,$ \$rangle$은 Kripke 프레임이고 \$displaystyle$\$langle은$A 사이의$$$$ $관계입니다.$

• ${\displaystyle w}$$displaystyle$ w$\nVdash$$$A가$$ ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ $경우$에만 w\$displaystyle$ w$\$$nVdash$ A$,$
• ${\displaystyle w}$${\displaystyle a}$ A$$ ${\displaystyle B}$(\$display style$ w$\nVdash$ $A$$)$ $또는{\displaystyle }$ $w$,$$ (\$display style$ w$\Vdash$ B$)$의 $경우에만{\displaystyle }$
• ${\displaystyle w\Vdash \Box A}$ if and only if ${\displaystyle u\Vdash A}$ for all ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle w\;$$R\;u$

w${\displaystyle a}$ A$$\ $display style$w \ $Vdash$ A$$as$$ 、 「 w sufficient A 」 、 「 A is afficient in w 」또는 「w forces A」라고 $읽습니다{\displaystyle }$.$【\displaystyle$ \$Vdash】$의 관계를 만족도 관계, 평가 관계 또는 강제 관계라고 합니다.만족 관계는 명제 변수에 대한 값에 따라 고유하게 결정됩니다.

공식 A는 다음 경우에 유효합니다.

• 모델${\displaystyle }$"${\displaystyle W",}$ "R", $"\displaystyle\langle$ W$,R,\Vdash\rangle$ ${\displaystyle w}$의${\displaystyle }경우{\displaystyle }$ 모든 w"W"에 대해$$"A$\displaystyle$w$\Vdash$ A$"$를 선택합니다.
• 프레임${\displaystyle }$"${\displaystyle W}$ ,$$R " \ $displaystyle$ \ $langle$W ,$$${\displaystyle R}$\ $rangle$ "$$ifdisplay a $、$${\displaystyle }$" \ $displaystyle$ \ $langle W$, R , \$$$Vdash$ \ rangle$$$$"$it$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of a a a a$$$。$
• 프레임 또는 모델의 클래스 C(C의 모든 멤버에서 유효한 경우)

Thm(C)은 C에서 유효한 모든 공식의 집합이라고 정의한다.반대로 X가 수식의 집합인 경우 Mod(X)를 X의 모든 수식을 검증하는 모든 프레임의 클래스로 합니다.

프레임 C의 클래스에 대해서, L th Thm(C)이면, 모달 논리(즉, 수식 세트) L이 건전하다.L th Thm(C)이면 L은 완전 wrt C이다.

대응과 완전성

의미론은 의미적 결과 관계가 구문적 결과 관계인 구문적 결과 관계(파생 가능성)^[4]를 반영하는 경우에만 논리(즉, 파생 시스템)를 조사하는 데 유용하다.Kripke 프레임의 클래스에 대해 어떤 모달 로직이 건전하고 완전한지, 그리고 어떤 클래스인지 판단하는 것이 중요합니다.

Kripke 프레임의 클래스 C에 대해 Thm(C)은 정규 모달 로직입니다(특히 최소 정규 모달 로직 K의 정리는 모든 Kripke 모델에서 유효합니다).단, 그 반대는 일반적으로 유지되지 않습니다.연구된 모달시스템의 대부분은 단순한 조건에 의해 기술된 프레임의 클래스가 완전하지만 Kripke의 불완전한 정규 모달 로직은 존재합니다.그러한 시스템의 자연스러운 예는 자파리제의 다모달 논리이다.

C = Mod(L)일 경우 일반 모달 로직 L은 프레임 C의 클래스에 대응합니다.즉, C는 L이 사운드 wrt C인 프레임의 최대 클래스입니다.따라서 L은 해당 클래스가 완료된 경우에만 Kripke가 됩니다.

스키마 T : ${\displaystyle ◻}$ $(\displaystyle$ \$Box A$${\displaystyle \backslash }$to$A$).T는 재귀 프레임 ${\displaystyle w}$W , ${\displaystyle R}$ $⊩$ \ $displaystyle W$ ,$R$ \ $rangle$에서 유효합니다${\displaystyle .w}$ A \ $displaystyle w$\ $Vdash$ \ $Box$ A이면$$ $style$ \ $display$style \ displaystyle \ $Box$ A$$。$명제{\displaystyle }$ 변수 p의 미세한 만족도: u${\displaystyle p}$p \ $displaystyle$u\ $Vdash$p는$$ w ru의 경우에만 충족됩니다.Then ${\displaystyle w\Vdash \Box p}$, thus ${\displaystyle w\Vdash p}$ by T, which means w R w using the definition of ${\displaystyle \Vdash }$. T corresponds to the class of reflexive Kripke frames.

L의 해당 클래스의 완전성을 증명하는 것보다 L의 해당 클래스를 특징짓는 것이 종종 훨씬 더 쉬우며, 따라서 대응은 완전성 증명에 대한 지침 역할을 한다.대응은 모달 로직의 불완전성을 나타내기 위해서도 사용됩니다.L₁ l₂ L이 같은 클래스의 프레임에 대응하는 통상적인 모달 로직이지만 L이₁ L의 모든 정리를₂ 증명하는 것은 아닙니다.그러면₁ L은 Kripke 불완전이다.예를 들어 스키마 ${\displaystyle ◻}$ ( ${\displaystyle A}$ ↔◻${\displaystyle A}$ ) →◻ \$displaystyle \Box (A\왼쪽$ 화살표 $\Box$ A$)\to \Box$A는$$GL (viz. transitive and converse well-founded frames)과 동일한 클래스의 프레임에 해당하므로 불완전한 로직을 생성하지만 GL-autology →◻◻ A$\to ◻◻{\displaystyle }$는 증명하지 않습니다.

공통 모달 공리 스키마타

다음 표에는 공통 모달 공리와 대응하는 클래스가 나열되어 있습니다.공리의 이름은 종종 다르다. 여기서 공리 K는 Saul Kripke의 이름을 따고, 공리 T는 인식론적 논리학의 진실 공리 이름을 따고, 공리 D는 Deontic 논리학의 이름을 따고, 공리 B는 L. E. Brower의 이름을 따고, 공리 4와 5는 Lewis의 기호 체계에 기초한다.

이름.	공리	프레임 조건
K	$(\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \B))$	모든 프레임에 대해 true를 유지합니다.
T	${\displaystyle\Box A\to A}$	$재귀적{\displaystyle }$: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ w$$w \ $displaystyle w$ , r , $w$}
-	$\ displaystyle \ Box A \ to \ Box A }$	고밀도: $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathrm{\Rightarrow }}$v ( ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle vv}$ ${\displaystyle v}$ R${\displaystyle u}$ $){$ $displaystyle$w ,$R$ ,$u$ \ $rightarrow$\$exists$ v , ($w$ ,$R$ ,$v$ \ $land$v , r ,$u$ ) }
4	$\displaystyle \Box A\to \Box A}$	transitive: $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle vv}$ v ${\displaystyle R}$ u${\displaystyle w}$ w ${\displaystyle R}$u w \ $displaystyle$w ,$R$ , $v$\ $wedge$v , R ,$u$ \ $rightarrow$w ,$R$ ,$u$ }
D	${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle A\to }$ $A {\displaystyle$ \$to$$$\$Diamond$ A$$$}$ $또는$A${\displaystyle$ \$Diamond$ \top$}$ 또는$$$A {\displaystyle \neg$ \$Box$\bot$}$	${\displaystyle \mathrm{시리얼}}$:${\displaystyle \mathrm{}}$∀ ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle v}$ (${\displaystyle w}$ R v $){$ $displaystyle$\$forall$ w , \ $exists$ v , ($w$ ,$R$ ,$v$ ) }
B	${\displaystyle A}$ →◻${\displaystyle a}$ A$$\ $display style \ Box$ \ $Diamond$ A$$$$ \ $displaystyle$\$Diamond \$ To $A$	symmetric : w ${\displaystyle R}$ v ${\displaystyle †}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle R}$w \ $displaystyle$w ,$R$ ,$v$ \ $rightarrow v$ ,$R$ , w$$}
5	$(\displaystyle\Diamond A\to\Box\Diamond A)$	유클리드: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$u ${\displaystyle w}$ w ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle vu}$ ${\displaystyle u}$ r v$$ r $displaystyle$ w$, R,$ u\$land$ w,$R, v\$오른쪽 $화살표 u,$ R,$v$
GL	$\displaystyle \Box (\Box A\to A)\to \Box A$	R transitive, R은−1 충분한 근거가 있습니다.
그르츠a	$\displaystyle \Box (\Box (A\to \Box A)\to A)\to A}$	R-Id가 충분히 근거가 있는 재귀적−1 및 과도적
H	$\displaystyle \Box (\Box A\to B)\lor \Box (\Box B\to A)}$	$\displaystyle w,R,u\land w,R,v\오른쪽 화살표 u,R,v\lor v,R,u}$
M	$\displaystyle \Box \Diamond A\to \Diamond \Box A}$	(복잡한 2차 재산)
G	$\ displaystyle \ Diamond \ Box A \ to \ Box \ Diamond A }$	$수렴{\displaystyle }$: w ${\displaystyle Ru}$ w ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathrm{\Rightarrow }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ x${\displaystyle v}$ v ${\displaystyle Rx}$ ) {$displaystyle$w ,$R$ ,$u$ \ $land$w ,$r$ , $v$\ $rightarrow$\$exists$ x , ($u$ ,$r$ , x \ $land$v ,$r$ ,$$x ) }
-	$\style A\to \Box A\$	이산: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$ v${\displaystyle w}$ w ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$w ,$R$ ,$v$ \ $rightarrow$ w =$v$}
-	$\displaystyle \Diamond A에서 \Box A로$	부분 함수: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$ u${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ R ${\displaystyle vu}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle v}$ \$displaystyle$w ,$R$ ,$u$ \ $land$w ,$R$ ,$v$ \ $rightarrow$u$=$v }
-	${\displaystyle\Diamond A\왼쪽 화살표\Box A}$	함수:${\displaystyle \mathrm{}w}$ w${\displaystyle }$!!$u$ w ${\displaystyle R}$ \ $displaystyle$\$forall$ w , \ $exists ! u$, w , r ,$$u $$} ($$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\! { \ $displaystyle$\$exists$!}는$$ 고유 수량화)
-	${\displaystyle ◻}$ $A(\displaystyle$ \$Box$$$A$){\displaystyle }$ 또는$◻$ $A(\displaystyle$ \$Box$\bot$)$	empty:${\displaystyle \mathrm{}}$"${\displaystyle w"\mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$" ( ${\displaystyle w}$ R ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }${ $displaystyle \forall$ w ,\$forall$u ,\$neg ( w$ ,$R$ ,$u$ ) }

Axiom K는 ${\displaystyle ◻}$[ ( A ${\displaystyle \to B}$ )${\displaystyle a}$ A${\displaystyle }$] →◻$$ \ $display$style \$Box$[ ( A \ $to$ B ) \$land$ A$]$ \ $to \Box$로 고쳐 쓸 수도 있으며, 이는 가능한 모든 세계에서 논리적으로 모더스 포넨을 추론 규칙으로 설정한다.

공리 D의 경우$,$ \ $displaystyle$ \ $Diamond$ A$$icityicity$$ implies$$impliesicity impliesdisplay${\displaystyle \mathrm{}}$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay note note note note note notedisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay(\$displaystyle\Diamond$\Diamond$\DiamondA$)가 내포되어 있음을 의미합니다. 즉 모델 내의 모든 가능한 세계에 대해 적어도1개이 암묵적 의미${\displaystyle }$◊ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle ◊}$ \ $displaystyle$\ $Diamond$ A \ $rightarrow$\ $Diamond$\ $top$ }$$）는$$ 수량화 범위에 대한 실존적 정량자의 암묵적 의미와 유사하다.

공통 모달 시스템

다음 표에는 일반적인 몇 가지 일반 모드 시스템이 나와 있습니다.일부 시스템의 프레임 조건이 간소화되었습니다. 로직은 표에 제시된 프레임클래스에 관해 완전하지만 더 큰 프레임클래스에 대응하고 있을 가능성이 있습니다.

이름.	악리	프레임 조건
K	—	모든 프레임
T	T	반사적인
K4	4	과도적
S4	T, 4	예약 주문
S5	T, 5 또는 D, B, 4	등가 관계
S4.3	T, 4, H	총예약주문
S4.1	T, 4, M	프리오더$,{\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R\mathrm{}u\mathrm{}}$u${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ w ${\displaystyle w}$ v${\displaystyle }$( ${\displaystyle u}$ R v${\displaystyle u}$ ${\displaystyle =v}$)$$\ $displaystyle \forall$ w , \ $forall$u , ($w$ ,$r$ ,$u$, $v$\ $rightarrow$u$=$v ) \ forland $\forall$ v , ( w , w , r , r , r , r , r , rightarrow u )
S4.2	T, 4, G	지시 선주문
GL, K4W	GL 또는 4, GL	유한 엄밀한 부분 순서
Grz, S4Grz	Grz 또는 T, 4, Grz	유한 부분 순서
D	D	시리얼
D45	D, 4, 5	타동적, 직렬적, 유클리드적

표준 모델

모든 정규 모달 로직의 경우, 최대 일관 집합을 모델로 사용하는 표준 기술을 적용함으로써 L의 비이론을 정확하게 반박하는 크립케 모델(정규 모델이라고 함)을 구성할 수 있다.Canical Kripke 모델은 Lindenbaum과 유사한 역할을 합니다.대수적 의미론에서의 타르스키 대수 구조.

L과 Modus Ponens의 이론을 사용하여 그것으로부터 모순을 도출할 수 없는 경우에는 일련의 공식은 L-일관성이 있다.최대 L 일관성 세트(줄여서 L-MCS)는 적절한 L 일관성 슈퍼셋이 없는 L 일관성 세트입니다.

L의 표준 모델은 Kripke 모델 ${\displaystyle w}$W ,${\displaystyle R}$ , ${\displaystyle \{\backslash }$display $（$ \ $display$style \ $langle$W , $R$, \ $Vdash$\$rangle$입니다.여기서 W는 모든 L-MCS의 집합이며 R과 $"\$ $display$style \ $Vdash "$의 관계는 다음과 같습니다.

$(디스플레이 스타일$$모든$ $공식{\displaystyle }$$A$에 대해 R$\;$Y일 경우$displaystyle$A$\backslash$$in$ X$$$),$$A$일$(\displaystyle$ A\$in$ X$),$ A$\in$ X)의 $경우$ A(\displaystyle A\displaystyle A$\in$ Y일 경우(\displaystyle A\in Y),

$[$ [A${\displaystyle ]}$ [${\displaystyle X}$] [$Display style$X$\$$Vdash$ A$]$의 $경우{\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$ (\$display style$ A$\in$ X$)$

모든 L-MCS에는 L의 모든 정리가 포함되어 있기 때문에 정준 모형은 L의 모형이다. Zorn의 법칙에 따라 각 L-정합 집합은 L-MCS에 포함되며, 특히 L에서 입증할 수 없는 모든 공식은 정준 모형에서 반례를 갖는다.

표준 모델의 주요 적용 분야는 완전성 증명이다.K의 표준 모델의 속성은 모든 Kripke 프레임의 클래스에 대한 K의 완전성을 즉시 나타냅니다.표준 모델의 기본 프레임이 L의 프레임 조건을 충족한다는 보장은 없기 때문에 이 인수는 임의의 L에 대해서는 기능하지 않습니다.

우리는 만약 Kripke 프레임의 속성 P에 관하여 공식 또는 공식 집합 X가 표준이라고 말한다.

• X는 P를 만족시키는 모든 프레임에서 유효합니다.
• X를 포함하는 모든 정규 모달 논리 L에 대하여, L의 정준 모형의 기본 프레임은 P를 만족한다.

표준 공식 집합의 결합은 그 자체로 표준 공식이다.앞에서 설명한 바와 같이 표준 공식 집합에 의해 공리화된 논리는 크립케 완전하고 콤팩트합니다.

공리 T, 4, D, B, 5, H, G(그리고 이들의 조합)는 정준이다.GL과 Grz는 콤팩트하지 않기 때문에 표준적이지 않습니다.공리 M 자체는 정규가 아니지만(Goldblatt, 1991), 결합된 논리 S4.1(실제로 K4.1도 정규이다)은 정규이다.

일반적으로 주어진 공리가 정준인지 아닌지는 판단할 수 없다.충분한 조건을 알고 있습니다.Henryk Sahlqvist는 다음과 같은 광범위한 종류의 공식(현재는 Sahlqvist 공식이라고 불린다)을 확인했다.

• Sahlqvist 공식은 표준 공식입니다.
• Sahlqvist 공식에 해당하는 프레임의 클래스는 1차 정의 가능하다.
• 주어진 Sahlqvist 공식에 대응하는 프레임 조건을 계산하는 알고리즘이 있습니다.

이것은 강력한 기준입니다. 예를 들어, 위에서 정준으로 나열된 모든 공리는 Sahlqvist 공식과 동일합니다.

유한 모형 특성

로직은 유한 프레임의 클래스에 관해 완전한 경우 유한 모델 속성(FMP)을 가집니다.이 개념의 적용은 결정 가능성 질문이다: 주어진 유한 프레임이 L의 모델인지 아닌지가 결정가능하다면, FMP를 갖는 재귀 공리화된 모달 논리 L은 결정가능하다는 것이 Post의 정리에 따른 것이다.특히, FMP를 사용한 모든 최종 공리화 가능한 논리는 결정 가능합니다.

특정 로직의 FMP를 확립하는 방법은 다양합니다.표준 모델 구조의 개선 및 확장은 여과 또는 언롤링과 같은 도구를 사용하여 작동하는 경우가 많습니다.또 다른 가능성으로, 컷프리 시퀀셜 계산에 기초한 완전성 증명은 보통 유한 모델을 직접 생성한다.

실제로 사용되고 있는 모달시스템(상기의 모든 것을 포함한다)의 대부분은 FMP를 탑재하고 있습니다.

경우에 따라서는 FMP를 사용하여 로직의 Kripke 완전성을 증명할 수 있습니다.모든 정규 모달 로직은 모달 대수의 클래스에 관해 완전하며 유한 모달 대수는 Kripke 프레임으로 변환될 수 있습니다.예를 들어 Robert Bull은 이 방법을 사용하여 S4.3의 모든 정상 확장이 FMP를 가지며 Kripke가 완전하다는 것을 증명했다.

멀티모달 로직

Kripke 의미론은 두 개 이상의 모달리티를 가진 로직으로 쉽게 일반화된다.필요 ${\displaystyle {연산자}_{}}$ ${\displaystyle 집합}$으로서 ${\displaystyle {}_{}}$ i } i ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ $}$ { $displaystyle \$ { \$Box$_ { i$\}{\displaystyle }$ \ $mid$ } 를 가지는$$ 언어의 Kripke 프레임은 각 i i I$$에 대해 이진 관계_i R 을 갖춘 비어 있지 않은 집합 W 로 구성됩니다.만족도 관계의 정의는 다음과 같이 수정된다.

${\displaystyle w}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$\ $display style$w \ ${\displaystyle \mathrm{Vdash}}$ \$Box$_ { $i$${\displaystyle \}}$ $A$${\displaystyle \mathrm{and<img\; alt="w\backslash Vdash\; \backslash Box\; \_\{i\}A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/15105388467f86554a9f1779d878a2cc455d1a04"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.983ex;\; height:2.509ex;">}}$、 \ $display$style \ $forall u$ , $（$ ${\displaystyle w{}_{}}$ \ ; ）$$。$R_{i}\;u\오른쪽 화살표 u\Vdash A.$$}$

Tim Carlson에 의해 발견된 단순화된 시멘틱스는 종종 폴리모달프로비빌리티로직스에서 사용됩니다.Carlson 모델은 ${\displaystyle W,}$ R${\displaystyle ,}$ { ${\displaystyle {Di}_{}{}_{}}$} ${\displaystyle {ii}_{}}$I,${\displaystyle }$display ${\displaystyle 、}$ ${\$ \ $displaystyle$\$langle$ W,$R,$ \ { $D$_ { $i } _$ {$i$ \ $in$ I} , \ $Vdash$\$rangle$}, \ Vdash \ rangle }, \ subsetsetsets_i w $。{\displaystyle }$만족도는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle w}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$\ $displaystyle$w \ $Vdash$\$Box$_ {$i$ }${\displaystyle \mathrm{}}$and$$${\displaystyle }$、 ${\displaystyle r}$ D${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ( ${\displaystyle w}$ R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u}$u${\displaystyle a}$ A${\displaystyle )}$. \ $displaystyle$\ $forall u$_ { $i$} , ( w \ )$$。$R\;u\오른쪽 화살표 u\Vdash A)$$}$

칼슨 모델은 일반적인 폴리모달 Kripke 모델보다 시각화하고 작업하기 쉽습니다. 그러나 Kripke 완전 폴리모달 로직은 칼슨 불완전합니다.

직관 논리의 의미론

직관적 논리학의 크립케 의미론은 모달 논리학의 의미론과 같은 원리를 따르지만, 만족에 대한 다른 정의를 사용한다.

직감적인 Kripke 모델은 트리플 ${\displaystyle W,}$,,${\displaystyle }$display$,$ $display$ \ displaystyle \$langle$ W, \ $leq,$ \ $Vdash$\ $rangle$} 입니다${\displaystyle .\mathrm{여기}}$서 W$, style$ \ $displaystyle$ \ $langle$W, \$le$is$$ $k$ k k k k k k k \ \ \ k k k k k k k k 、 \ $display$ style \ display style \ display style $。$

• p가 명제변수 $w{\displaystyle u}$\ $displaystyle$$$w \ $leq$u$$${\displaystyle w}$ w${\displaystyle }$\$$display $style{\displaystyle }$$$w \ $Vdash$ p$$, 、 ${\displaystyle u}$\ $displaystyle$u \ $Vdash$ p$$（ persistency cf . monotonicity ） 、
• ${\displaystyle w}$ < ${\displaystyle A}$$$$>$${\displaystyle }$< $Vdash$ $A$ <$$> < $Vdash$ B$$> < ${\displaystyle >}$ < B > < $display$ $style$w \ $Vdash$ B$$>의 $경우$에만 A < \ $display$ $style$ w\$Vdash$ B$$> 의 경우,
• ${\displaystyle w}$${\displaystyle a}$ A$$ B$display$ B （ \ $display style$ w \ $Vdash$ A$$） $wた{\displaystyle }$ $and$ ${\displaystyle B}$ \ $display style$w \ $Vdash$ B$$） 、
• ${\displaystyle wa}$ A ${\displaystyle \to }$B \ $style$ w \$Vdash$A \ $to$ B$$$and$ w$$、${\displaystyle }$${\displaystyle q}$ uA$$ $display style$u \ $Vdash$$$A$$$implies$ 、$$ uB \ $display$style u \ Vdash B$、$
• w가 $.\displaystyle$ w$\Vdash \bot$

A의 부정은 A → A의 약자로 정의할 수 있습니다.u → A가 아닌 w u u의 모든 u에 대해 w → u는 vacy true이므로 w → u는 vacy true입니다.

직관주의 논리는 크립케 의미론에 관해 건전하고 완전하며 유한한 모델 특성을 가지고 있다.

직관적인 1차 논리

L을 1차 언어로 합시다.L의 Kripke 모델은 3중${\displaystyle W,}$"", { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {ww}_{}}$ W ${\$ { $displaystyle$\$langle$ W , \$leq$, \ {$M$_ { $w }$ _ { w \ $in$ W } \ $rangle$} 입니다.여기서$W",$ $"\$style \ $langle"\l"$

• M의_u 도메인은 M의 도메인에_v 포함된다.
• M과_v M에서 기능_u 기호의 실현은 M의 요소에_u 일치한다.
• 각 n-ary 술어 P 및 원소₁ a,…,a_nn δ_u M: P(a₁,…a)가 M에_u 있으면 M에_v 유지된다.

M의 요소에_w 의한 변수 평가 e가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는${\displaystyle }$display A${\displaystyle }$[ $]$ \ $display style$w \ $Vdash$ A [ $e$의 만족도 $관계$를 정의한다.

• ${\displaystyle wp}$P ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle )[}$ ${\displaystyle e}$]{ $displaystyle$ w \ $Vdash$P ( $t$_ {1} , \$dots$ , $t$_ { $n$}[ $e$$$]P_w${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ [${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ]}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}n}$ [ e$]$ ){ $displaystyle P$ ( $t _$ { $1$} [ e$$$]$ )[ $e ]$
• ${\displaystyle }$${\displaystyle w}$ "${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$"${\displaystyle B}$) [ ${\displaystyle e}$${\displaystyle ]\{}$ $displaystyle$w \ $Vdash ( A$ \ $land$ B )[ $e$$]{$ $displaystyle$w \ $Vdash$ A [ $e$]$및$ w${\displaystyle b}$B [ $]$의 $경우$에만 { $displaystyle$w\ $Vdash$B [ $e$},
• ${\displaystyle w}$ "${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$${\displaystyle }$"${\displaystyle }$B${\displaystyle }$) [ ${\displaystyle e}$${\displaystyle }$]{ $displaystyle$w \ $Vdash ( A$ \ $lor$ B )[ $e$$]{$ $displaystyle$w \ $Vdash$ A [ $e$]$또는$ w${\displaystyle b}$B [ $]$의 $경우$에만 { $displaystyle$w\ $Vdash$B [ $e$},
• ${\displaystyle w（}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$） [ e$$][ ${\displaystyle e}$]$모든{\displaystyle }$ u${\displaystyle w}$ [ $display style$$u$ \ $geq w$의 경우에 한해,${\displaystyle }$u${\displaystyle a}$ [ e$]$는 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ⊩}$B [ \ $display style$u \ $Vdash$$A$$$[ $e$$]$를 $의미$합니다.
• $not{\displaystyle }$ w w${\displaystyle e}$] [ e$$]{ $display$w \$Vdash$ \$bot$ [ e$]$ } ,
• ${\displaystyle }$$w$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle e}$ (${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$${\displaystyle ][}$ $][$ e ][ $displaystyle$$$w$$\ $Vdash$( \ $displaystyle$$$x ,$A$ ) $][$ $e$$$][ ${\displaystyle e}$] ( x$$ ) \ $displaystyle$$$w$$\ $Vdash$ ( \ $to$ A$$) $]$
• ${\displaystyle w}$${\displaystyle （}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }xA}$） [ e$][$ e ] 모든 ${\displaystyle u}$$$${\displaystyle \ge }$ \ $displaystyle$$u$ \$$$geq w$]$및$${\displaystyle }모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle u_{}}$ \ $displaystyle$a \ $in M$_ {$u$ $$}에 대해 [${\displaystyle e}$ ( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \to a}$) \ $display$ $style$ a ][ e${\displaystyle }$]$u$ \ $display$ style a ]

여기서 e(x→a)는 x에 a 값을 부여하고, 그렇지 않으면 e와 일치하는 평가입니다.

의 ^[5]약간 다른 형식화를 참조해 주세요.

크립케-조얄 의미론

층 이론의 독립적 발전의 일부로서, 크립케 의미론이 토포스 ^[6]이론에서 실존적 수량화의 처리와 밀접하게 관련되어 있다는 것이 1965년 경에 실현되었다.즉, 다발의 단면에 대한 '국소적인' 존재의 측면은 '가능성'의 논리의 일종이었다.비록 이 개발이 많은 사람들의 작업이었지만, 크립케-조얄 의미론이라는 이름은 종종 이 연관성에 사용된다.

모델 구성

고전적인 모델 이론과 마찬가지로, 다른 모델로부터 새로운 크립케 모델을 구성하는 방법이 있습니다.

크립케 의미론에서 자연 동형사상은 p-동형사상(p-morphism)이라고 불린다.Kripke 프레임${\displaystyle w}$W , ${\displaystyle R}$ ${\$\ $displaystyle W$ ,$R$ \ $rangle$} 및$$ W${\displaystyle {}^{}}$、 R$⟩$ \ $displaystyle$ W , R$'$ \ $rangle }$의 p-displayism은 W${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $′$ \ $display style$$$f$'\rangle$ $W$$'$의 $매핑$입니다$.$

• f는 접근성 관계를 유지한다. 즉, u R v는 f(u) R' f(v)를 의미한다.
• f(u) R' v'가 될 때마다 v µ W가 존재하므로 u R v와 f(v) = v'가 된다.

Kripke 모델 "${\displaystyle W",}$ "${\displaystyle R",}$ $"\displaystyle\le$ W,$R,\Vdash\rangle"$ 및$$ $"{\displaystyle {}^{}",}$ "${\displaystyle {}^{}",}$ $"\displaystyle\le$ W$",$ "R$",$ "$Vdash\rangle"$의 p-ism은 그 기초가 됩니다.

${\displaystyle f}$${\displaystyle }$(${\displaystyle w}$ )의${\displaystyle {}^{}}경우$에만 p$\displaystyle$ w$\Vdash$ p$($임의의$$ 명제 변수 p)에 대해 p$\displaystyle$ f$(w)\Vdash 'p$를 지정합니다.

P모형은 특별한 종류의 이중모사이다.일반적으로 프레임${\displaystyle w}$ W${\displaystyle }$、 R$${\ \ $displaystyle$\ $langle$W ,$R$ \ $rangle$} 및$$${\displaystyle {}^{}}$ W${\displaystyle }$、 ${\$ \ $displaystyle$\$langle$ W ' , $R$' \ $rangle$} 사이의$$ 바이시뮬레이션은 다음 지그재그 속성을 만족시키는 관계 B ⊆ W × W'입니다.

• u B'와 u R v'일 경우 v' w W'가 존재하여 v B v'와 u' R' v'가 존재하며,
• u B'와 u' R' v'이면 v w W가 존재하여 v B v'와 u R v'가 된다.

원자 공식의 강제성을 보존하기 위해 모델의 이중 시뮬레이션이 추가로 필요하다.

w w'일 경우, $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$가 명제변수 p에 대해 w p$displaystyle$$$w\$Vdash$ $p일$ $경우$에만 w $\$$displaystyle$ w$\Vdash$p$.$

이 정의에서 따르는 핵심 특성은 모델의 이원 시뮬레이션(따라서 p-모형도)이 명제 변수뿐만 아니라 모든 공식의 만족도를 보존한다는 것이다.

언벨링을 사용하여 Kripke 모델을 트리로 변환할 수 있습니다.모델${\displaystyle }$「${\displaystyle W」,}$「R」, $「\displaystyle\le$ W$,R,\Vdash \rangle}$ 및$$ 고정 노드₀ 「${\displaystyle {}^{}」,}$ 「${\displaystyle {}^{}」,}$ $「\displaystyle\le$ W$」,$ 「R$」,$ 「\$Dash$\$rangle$에 대해서 모델을 정의합니다$.$예를 들어$,$ 명제 변수 p에$$ ${\displaystyle {대해}_{}}$ w w < n 및 $s{\displaystyle p}$p \ $displaystyle$s \ $Vdash$p가$$ $w{\displaystyle {}_{}n}$ 인 경우_i+1 w w w 가 p$$\ $displaystyle w$_ { $n$} \ $Vdash$p 가 됩니다_i.접근성 관계 R'의 정의는 다양합니다. 가장 간단한 경우, 다음과 같이 기술합니다.

${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{w\mathrm{}}_{}}$1 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle w_{}}$ n${\displaystyle {}_{}r{}^{}}$ R${\displaystyle }$′${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 0 ,${\displaystyle {}_{}{w\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle {}_{}{w}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,$w$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ + 1${\$ \$displaystyle$ \ $langle$w $_${ 0 , w _ { 0 , w _ { 1 } \$dots$ , $w_{ n$} \ $dangle$\ ; R ' \ ; \ $langle$w $_ 0$ , { 0 , { $n$} , { $n$

그러나 많은 애플리케이션은 이러한 관계의 반사적 또는/또는 과도적 폐쇄 또는 유사한 수정이 필요합니다.

여과는 많은 로직에서 FMP를 증명하기 위해 사용되는 유용한 구조입니다.X를 보조 공식을 취할 때 닫힌 공식 집합이라고 합니다.모델${\displaystyle w}$ W${\displaystyle 、}$ R ${\displaystyle 、}$ display $（$ \ $displaystyle$\ $langle$W , $R$, \ $Vdash$\$rangle$}의$$ X 필터는 W에서 모델${\displaystyle {}^{}}$ W ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $（$ \ $displaystyle$\ $langle$ W ; , R ; \ displaystyle \ langle \ $rangle ）$로의 매핑입니다$.$

• f는 실망이다.
• f는 접근성 관계를 유지하고 변수 p x X의 (양방향) 만족도를 유지합니다.
• f(u) R' f(v) $및{\displaystyle }$ u ${\displaystyle u}$ $◻{\displaystyle }$$$A {\$displaystyle$u\$Vdash \Box$ A$\}($${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 A ${\displaystyle \in }$ \$displaystyle$ \$Box A\$in X$)$이면 v ${\displaystyle ⊩}$ {\$displaystyle$ v$\Vdash$ A$\}$입니다.

따라서 f는 X의 모든 공식에 대한 만족도를 유지합니다.일반적인 어플리케이션에서는 f를 관계에 대한 W의 비율에 대한 투영으로 간주합니다.

u _X모든 A의 경우 및 모든 A의 경우에 $한해{\displaystyle }$,$$의$$경우 및 $Vdash$A의$$경우($v$의$경우$ 및 $Vdash$A의 $경우{\displaystyle }$)

언벨링의 경우와 마찬가지로 지분에 대한 접근성 관계의 정의는 다양합니다.

일반적인 프레임 의미론

크립케 의미론의 주요 결점은 크립케 불완전 논리와 완전하지만 콤팩트하지 않은 논리의 존재이다.그것은 Kripke 프레임에 가능한 가치의 집합을 제한하는 추가 구조를 장착함으로써 수정될 수 있으며, 대수적 의미론에서 아이디어를 사용한다.이것에 의해, 일반적인 프레임의 의미가 생깁니다.

컴퓨터 과학 응용 프로그램

블랙번 등(2001) 관계구조는 단순히 그 집합의 관계집합과 함께 집합이기 때문에 관계구조가 모든 곳에서 발견되는 것은 놀랄 일이 아니라고 지적한다.이론 컴퓨터 과학의 예로서, 그들은 프로그램 실행을 모델링하는 라벨이 붙은 이행 시스템을 제공한다.따라서 Blackburn 등은 이러한 연관성 때문에 모달 언어가 "관계 구조에 대한 내부적, 로컬적 관점"을 제공하는 데 이상적으로 적합하다고 주장한다(p. 12).

이력 및 용어

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Kripke의 혁명적인 시멘틱의 ^[7]비약적인 발전보다 앞선 유사한 작업:

• 루돌프 카르나프는 평가 함수에 라이프니치즘의 가능한 세계 전체에 걸친 매개변수를 줌으로써 필요성과 가능성의 양태에 대해 가능한 세계 의미론을 제공할 수 있다는 생각을 가진 최초의 사람으로 보인다.바야트는 이 아이디어를 더욱 발전시켰지만, 타르스키가 도입한 스타일로 만족에 대한 재귀적 정의를 내놓지 않았다.
• J.C. McKinsey와 Alfred Tarski는 현대 연구에 여전히 영향력이 있는 모달 로직 모델링에 대한 접근법, 즉 연산자가 있는 부울 대수를 모델로 사용하는 대수 접근법을 개발했습니다.Bjarni Jonsson과 Tarski는 프레임 측면에서 연산자와 함께 Boolean 대수의 대표성을 확립했다.만약 두 아이디어를 합쳤다면, 그 결과는 Kripke 모델, 즉 Kripke 모델보다 몇 년 전에 정확하게 프레임 모델이 되었을 것입니다.하지만 그 당시 아무도 (타스키조차도) 그 연관성을 보지 못했다.
• 아서 프라이어는 C. A. 메레디스의 미발표 저작을 바탕으로 센티멘탈 모달 논리를 고전 술어 논리로 번역했는데, 만약 그가 후자를 위한 통상적인 모델 이론과 결합했다면 전자를 위한 크립케 모델과 동등한 모델 이론을 만들어냈을 것이다.그러나 그의 접근법은 단호하게 통사적이고 반모델 이론적이었다.
• Stig Kanger는 모달 논리의 해석에 대해 다소 복잡한 접근법을 제시했지만, Kripke 접근법의 많은 핵심 아이디어를 포함하고 있다.그는 먼저 접근성 관계에 대한 조건과 모달 논리에 대한 루이스식 공리 사이의 관계에 주목했다.그러나 Kanger는 자신의 시스템에 대한 완벽한 증거를 제시하지 못했습니다.
• Jaakko Hintikka는 인식론적 논리를 도입하는 그의 논문에서 최대 일관 집합을 통한 가치의 특성화와 동일한 크립케의 의미론의 단순한 변형은 Kripke의 의미론이다.그는 인식론적 논리에 대한 추론 규칙을 제시하지 않기 때문에 완전한 증거를 제시할 수 없다.
• 리처드 몬태규는 크립케의 저작에 포함된 많은 중요한 아이디어를 가지고 있었지만, 그는 완전성의 증거가 없었기 때문에 그것들을 중요하게 여기지 않았고, 따라서 크립케의 논문이 논리학계에 센세이션을 일으킬 때까지 발표하지 않았다.
• Evert Willem Beth는 만족에 대한 보다 번거로운 정의를 사용하는 것을 제외하고는 크립케 의미론과 매우 흡사한 나무에 기초한 직관적 논리학의 의미론을 제시했습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 알렉산드로프 위상
• 정규 모달 로직
• 이차원주의
• 머디 칠드런 퍼즐

메모들

a^ Andrzej Grzegorczyk 다음에.

레퍼런스

• Blackburn, P.; de Rijke, M.; Venema, Yde (2002). Modal Logic. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-10195-7.
• Bull, Robert A.; Segerberg, K. (2012) [1984]. "Basic Modal Logic". In Gabbay, D.M.; Guenthner, F. (eds.). Extensions of Classical Logic. Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2. Springer. pp. 1–88. ISBN 978-94-009-6259-0.
• Chagrov, A.; Zakharyaschev, M. (1997). Modal Logic. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853779-3.
• Dummett, Michael A. E. (2000). Elements of Intuitionism (2nd ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850524-2.
• Fitting, Melvin (1969). Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. North-Holland. ISBN 978-0-444-53418-7.
• Goldblatt, Robert (2006). "Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution" (PDF). In Gabbay, Dov M.; Woods, John (eds.). Logic and the Modalities in the Twentieth Century (PDF). Handbook of the History of Logic. Vol. 7. Elsevier. pp. 1–98. ISBN 978-0-08-046303-2.
• Cresswell, M.J.; Hughes, G.E. (2012) [1996]. A New Introduction to Modal Logic. Routledge. ISBN 978-1-134-80028-5.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (2012) [1991]. Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0.
• van Dalen, Dirk (2013) [1986]. "Intuitionistic Logic". In Gabbay, Dov M.; Guenthner, Franz (eds.). Alternatives to Classical Logic. Handbook of Philosophical Logic. Vol. 3. Springer. pp. 225–339. ISBN 978-94-009-5203-4.

외부 링크

• Garson, James. "Modal Logic". The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Moschovakis, Joan (2018). "Intuitionistic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
• Detlovs, V.; Podnieks, K. "4.4 Constructive Propositional Logic — Kripke Semantics". Introduction to Mathematical Logic. University of Latvia. N.B: 건설적 = 직관적.
• Burgess, John P. "Kripke Models". Archived from the original on 2004-10-20.
• "Kripke models", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]