모멘트 곡선

기하학에서 모멘트 곡선은 형태의 데카르트 좌표를 가진 점 집합이 주는 d차원 유클리드 공간의 대수 곡선이다.

${\displaystyle \left(x,x^{2},x^{3},\filename,x^{d}\right).}$^[1]

유클리드 평면에서 모멘트 곡선은 포물선이고, 3차원 공간에서는 뒤틀린 입방형이다.투사적 공간에서 그것의 폐쇄는 합리적인 정상 곡선이다.

모멘트 곡선은 주기적인 폴리토페스, 3인 라인 없음 문제 및 크네저 그래프의 색도 수에 대한 기하학적 증거를 포함한 이산형 기하학에서 여러 가지 용도로 사용되어 왔다.

특성.

모든 하이퍼플레인은 대부분의 d 지점에서 유한 집합의 모멘트 곡선과 교차한다.하이퍼 평면이 정확하게 d 점에서 곡선을 교차하는 경우, 곡선은 각 교차점에서 하이퍼 평면을 교차한다.따라서 모멘트 곡선에 설정된 모든 유한점은 일반 선형 위치에 있다.^[2]

적용들

모멘트 곡선에 있는 어떤 유한한 점 집합의 볼록한 선체는 순환 폴리토프다.^[3]주기적인 폴리토페스는 주어진 정점 수에 대해 가능한 가장 많은 수의 면을 가지고 있으며, 4개 이상의 치수는 그들의 가장자리가 완전한 그래프를 형성하는 특성을 가지고 있다.더 강하게 말하면, 그들은 이웃적으로 폴리토페스인데, 이것은 폴리토프의 각 d/2 꼭지점들이 그것의 얼굴들 중 하나를 형성한다는 것을 의미한다.모멘트 곡선의 점 집합은 또한 d차원에서 n개 점 집합의 가능한 모든 Delaunay 삼각측량 중에서 최대 가능한 단순수인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\lceil }^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$/ 2 ${\displaystyle {\rceil }^{}}$) ${\displaysty \Oomega(n^{\lceil d/2\rceil$ $\}\}\}\})$를 실현한다.^[4]

유클리드 평면에서는 햄 샌드위치 정리를 이용하여 어떤 면적이나 측정이든 4개의 동등한 하위 세트로 나눌 수 있다.유사하지만 더 복잡하게, 3차원의 어떤 부피나 측정은 3개의 평면으로 8개의 동일한 하위 집합으로 분할될 수 있다.그러나 모멘트 곡선은 d 하이퍼플레인에 의해 2개의^d 하위 집합으로 분할할 수 없는 집합의 예를 제공하기 때문에 이 결과는 5개 이상의 차원으로 일반화되지 않는다.특히 5차원에서는 5개의 하이퍼플레인이 모멘트 곡선의 세그먼트를 최대 26조각으로 분할할 수 있다.4차원 분할이 4개의 하이퍼플레인에 의해 16개의 동일한 하위 집합으로 항상 가능한지는 알 수 없지만, 4차원 모멘트 곡선의 16개 지점을 4개의 하이퍼플레인의 16개 직교로 분할할 수 있다.^[5]

모멘트 곡선에 기초한 구조는 게일의 보조점을 증명하기 위해 사용될 수 있으며, 이에 따라 모든 열린 반구가 최소한 k 포인트를 포함하도록 d차원 구에 2k + d 포인트를 배치할 수 있다.이 보조정리기는 차례로 Kneser 그래프의 색수를 계산하는데 사용될 수 있는데, 이 문제는 Laszlo Lovasz에 의해 다른 방식으로 먼저 해결되었다.^[6]

모든 n-vertex 그래프는 양쪽 길이 O(n)의 3차원 정수 격자에서 두 개의 가장자리 교차 없이 정점을 사용하여 그릴 수 있다는 것을 보여주기 위해 그래프 그리기에도 사용되었다.주요 아이디어는 n보다 큰 소수 p를 선택하고 좌표에 그래프의 꼭지점 i를 배치하는 것이다.

(i, i ² mod p, i ³ mod p).^[7]

그러면 평면은 세 위치에서만 곡선을 횡단할 수 있다.두 교차 가장자리는 동일한 평면에 네 개의 꼭지점이 있어야 하기 때문에, 이것은 결코 일어날 수 없다.모멘트 곡선을 사용한 유사한 구조는 소수지만 3이 아닌 2차원에서는 3인선 문제에 대한 선형 경계를 제공한다.^[8]

메모들

참조