이산 기하학

이산 기하학과 조합 기하학은 이산 기하학 객체의 조합 특성과 구성 방법을 연구하는 기하학의 한 분야입니다.이산 기하학에서 대부분의 질문은 점, 선, 평면, 원, 구체, 폴리곤 등과 같은 유한 또는 이산적인 기본 기하학적 개체 집합을 포함합니다.주제는 이러한 객체가 서로 교차하는 방법이나 더 큰 객체를 덮도록 배치되는 방법 등 이러한 객체의 조합 특성에 초점을 맞춥니다.

이산기하학은 볼록기하학 및 계산기하학과 큰 중복을 가지고 있으며 유한기하학, 조합최적화, 디지털기하학, 이산미분기하학, 기하그래프이론, 토릭기하학, 조합위상과 같은 과목과 밀접하게 관련되어 있다.

역사

비록 다면체와 테셀레이션이 케플러와 코치와 같은 사람들에 의해 수년 동안 연구되었지만, 현대의 이산 기하학은 19세기 말에 그 기원을 가지고 있다.연구된 초기 주제는 Thue의 원 채우기 밀도, Reye와 Steinitz의 투영 구성, 민코프스키의 숫자 기하학, Tait, Hewood, Hadwiger의 지도 색칠이었다.

라슬로 페제스 토스, H.S.M. 콕서터, 폴 에르데스는 이산 ^[1][2][3]기하학의 기초를 닦았다.

토픽

다면체 및 다면체

폴리토프는 평탄한 변을 가진 기하학적 물체로, 일반적인 수의 차원에 존재합니다.폴리곤은 2차원의 다면체, 3차원의 다면체 등(4차원의 4-폴리토프 등)입니다.일부 이론은 무한 폴리토프(아피로토프와 테셀레이션)와 추상 폴리토프와 같은 오브젝트를 포함하도록 아이디어를 더욱 일반화한다.

다음은 이산 기하학에서 연구된 폴리토프의 몇 가지 측면입니다.

• 다면체 조합론
• 격자 폴리토프
• 에하르트 다항식
• 픽의 정리
• 히르쉬 추측

포장, 피복 및 타일링

패킹, 피복 및 타일은 표면 또는 매니폴드에 균일한 객체(일반적으로 원, 구 또는 타일)를 규칙적인 방법으로 배열하는 모든 방법입니다.

구체 패킹은 포함 공간 내에 겹치지 않는 구를 배치한 것입니다.고려된 구들은 보통 크기가 같고, 공간은 보통 3차원 유클리드 공간이다.그러나, 구 채우기 문제는 불평등한 구, n차원 유클리드 공간(2차원에서의 원 채우기 또는 고차원에서의 초공간 채우기) 또는 쌍곡공간과 같은 비유클리드 공간을 고려하기 위해 일반화될 수 있다.

평평한 표면의 테셀레이션은 겹침이나 틈이 없는 하나 이상의 기하학적 모양(타일)을 사용하여 평면을 타일링하는 것입니다.수학에서 테셀레이션은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다.

이 영역의 구체적인 토픽은 다음과 같습니다.

• 서클 패킹
• 구면 패킹
• 케플러 추측
• 준결정
• 비주기 타일링
• 주기 그래프
• 유한분할규칙

구조적 강성과 유연성

구조적 강성은 유연한 링크 또는 경첩으로 연결된 강체에 의해 형성된 앙상블의 유연성을 예측하기 위한 조합 이론이다.

이 영역의 토픽은 다음과 같습니다.

• 코시의 정리
• 유연한 다면체

발생 구조

발생 구조는 자명한 정의에서 볼 수 있듯이 평면(예: 아핀, 투영 및 뫼비우스 평면)을 일반화한다.입사 구조는 또한 고차원 아날로그를 일반화하며, 유한 구조를 유한 기하학이라고 부르기도 한다.

공식적으로, 발생 구조는 3배이다.

$({displaystyle C=(P,L,I),}$

여기서 P는 "점" 집합, L은 "선" 집합, $I{\displaystyle p}$P ×$$ {$displaystyle$ I$\subseteq$ P$\times$ L$}$은 발생 관계입니다.$I의$요소들은 플래그라고 불립니다$$.한다면

${\displaystyle (p,l)\in I,}$

이 점 p는 $line{\displaystyle }$l\$displaystyle$l이라고 합니다.

이 영역의 토픽은 다음과 같습니다.

• 구성
• 회선 배치
• 하이퍼플레인 배치
• 건물들

오리엔티드 매트로이드

지향성 매트로이드(Oriented Matroid)는 지시된 필드(특히 부분적으로 순서가 매트로이드 공간)^[4] 위의 벡터 공간에서의 벡터 배열과 방향 그래프의 속성을 추상화하는 수학 구조이다.이에 비해, 일반(즉, 지향적이지 않은) 매트로이드는 반드시 지시되지 않은 그래프와 반드시 순서가 ^[5][6]정해지지 않은 필드 위에 벡터의 배열 모두에 공통적인 의존성 특성을 추상화한다.

기하학 그래프 이론

기하학적 그래프는 꼭지점 또는 모서리가 기하학적 객체와 연결된 그래프입니다.예를 들어 유클리드 그래프, 다면체 또는 다면체의 1-스켈톤, 단위 디스크 그래프 및 가시성 그래프 등이 있습니다.

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• 그래프 그리기
• 다면체 그래프
• 랜덤 기하학 그래프
• 보로노이 도표와 들라우나이 삼각 측량

단순 복합체

단순 복합체는 점, 선분, 삼각형 및 n차원 대응물로 구성된 특정 종류의 위상 공간입니다(그림 참조).단순 복합체는 현대의 단순 호모토피 이론에서 나타나는 단순 집합의 보다 추상적인 개념과 혼동되어서는 안 된다.단순 복합체에 대한 순수 조합적 대응물은 추상 단순 복합체이다.참조 항목: 랜덤 기하학적 복합체도 참조하십시오.

위상 조합론

조합위상의 학문은 위상학의 조합 개념을 사용하였고, 20세기 초에 이것은 대수위상의 분야로 바뀌었다.

1978년, 상황은 역전되었다. 즉, 라슬로 로바쉬가 크네세르 추측을 증명하면서, 조합론의 문제를 해결하기 위해 대수 위상의 방법이 사용되었다.로바시스의 증명은 보르수크-울람 정리를 사용했고 이 정리는 이 새로운 분야에서 중요한 역할을 한다.이 정리는 많은 동등한 버전과 아날로그를 가지고 있으며 공정분할 문제에 대한 연구에 사용되어 왔다.

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• 스펠러의 보조군
• 일반 지도

격자와 이산 그룹

이산군은 이산위상을 갖춘 그룹 G이다.이 토폴로지를 사용하면 G는 토폴로지 그룹이 됩니다.위상군 G의 이산부분군은 상대위상이 이산부분군 H이다.예를 들어 정수 Z는 (표준 메트릭 위상을 사용하는) 실수의 이산 부분군 R을 형성하지만 유리수 Q는 그렇지 않습니다.

국소 콤팩트 위상군의 격자는 몫공간의 유한 불변 측도를 갖는 특성을 갖는 이산 부분군이다.R의 특별한ⁿ 부분군의 경우, 이것은 격자의 일반적인 기하학적 개념에 해당하며, 격자의 대수적 구조와 모든 격자의 전체성의 기하학적 구조 모두 비교적 잘 이해된다.1950년대부터 1970년대에 걸쳐 얻은 보렐, 하리쉬-찬드라, 모스토우, 타마가와, M. S. 라구나단, 마굴리스, 짐머의 깊은 결과는 예를 제시했고, 이론의 많은 부분을 국지적인 영역에 걸쳐 영미량의 거짓말 군과 반단순 대수군의 설정으로 일반화했다.1990년대에 Bass와 Lubotzky는 여전히 활발한 연구 분야인 나무 격자에 대한 연구를 시작했다.

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• 반사 그룹
• 삼각군

디지털 지오메트리

디지털 지오메트리는 디지털화된 모델 또는 2D 또는 3D 유클리드 공간의 객체의 이미지로 간주되는 이산 집합(일반적으로 이산 점 집합)을 다룹니다.

간단히 말해서 디지털화는 객체의 개별적인 포인트 집합으로 객체를 대체하는 것입니다.우리가 TV 화면, 컴퓨터의 래스터 디스플레이, 또는 신문에서 보는 이미지는 사실 디지털 이미지이다.

주요 응용 분야는 컴퓨터 그래픽과 이미지 ^[7]분석입니다.

이산 미분 기하학

이산 미분 기하학은 미분 기하학에서 개념의 이산적 대응에 대한 연구이다.부드러운 곡선과 표면 대신 폴리곤, 메시 및 단순 복합체가 있습니다.컴퓨터 그래픽스 및 위상 조합학 연구에 사용됩니다.

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• 이산 라플라스 연산자
• 이산 외부 미적분
• 이산 미적분
• 이산 모르스 이론
• 위상 조합론
• 스펙트럼 형상 분석
• 추상 미분 기하학
• 프랙탈 분석

「 」를 참조해 주세요.

• 이산 및 계산 지오메트리(저널)
• 이산 수학
• 폴 에르다스

메모들

레퍼런스

• Bezdek, András (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3.
• Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Bezdek, Károly (2013). Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4614-8117-1.
• Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu (2013). Discrete Geometry and Optimization. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-3-319-00200-2.
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8.
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. (1995). Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-58890-3.
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-71132-2.
• Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4.
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan (1997). Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. ISBN 3-540-61341-2.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)