통계역학에서의 몬테카를로법

통계 물리학에서 몬테카를로는 통계 물리학 또는 통계 역학의 문제에 몬테카를로 방법을 적용하는 것을 말합니다.

개요

통계 물리학에서 몬테카를로 방법을 사용하는 일반적인 동기는 다변수 적분을 평가하는 것입니다.일반적인 문제는 해밀턴이 알려진 시스템에서 시작되며 주어진 온도에서 볼츠만 통계를 따릅니다.예를 들어, A와 같은 거시적 변수의 평균 값을 얻기 위해 일반적인 접근법은 볼츠만 분포를 사용하여 전체 위상 공간에 걸쳐 PS의 평균 값을 계산하는 것입니다.

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

∫

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

-

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

→

{\

displaystyle \displaystyle A\rangle

=

\int

_

{PS}A_{\vec {r}{\frac {e^{-\vec {r}}{Z}}{\vec {r

여기서 E $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ ) $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ $→$ {{ $displaystyle$ E $({\vec {r}})$ = $E_{\vec {r}}$ 는 $E({\vec {r}})=E_{{{\vec {r}}}}$ 모든 자유도(예: 기계 시스템의 경우, ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ $→$ ( $q$ →, p ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ $)$ \left $\vec {q},$ {\ $vec$ { $p}\right})$ 를 갖는 벡터인 r $→$ ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ {\ $displaystyle$ ${\vec {r}}$ {\ $vec {r$ $}}}$ 에 의해 정의된 주어진 상태에 대한 시스템의 에너지입니다. $\beta \equiv 1/k_{b}T$ $\beta \equiv 1/k_{b}T$ 1 $\beta \equiv 1/k_{b}T$ / $\beta \equiv 1/k_{b}T$ T { $displaystyle \beta \equiv$ 1 $/k_{b}T}$ 및

Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}d{\vec {r}}

파티션 함수입니다.

이 다변수 적분을 해결하기 위한 한 가지 가능한 접근법은 시스템의 가능한 모든 구성을 정확하게 열거하고 원하는 대로 평균을 계산하는 것입니다.이것은 정확히 해결 가능한 시스템과 입자가 거의 없는 간단한 시스템의 시뮬레이션에서 수행됩니다.그러나 현실적인 시스템에서는 정확한 열거를 구현하기가 어렵거나 불가능할 수 있습니다.

이러한 시스템에는 일반적으로 몬테카를로 적분(분자 사슬을 시뮬레이션하는 데 사용되는 몬테카를로 방법과 혼동하지 않음)이 사용됩니다.몬테카를로 적분을 사용하는 주요 동기는 적분의 차원과 무관하게 오차가 1 $($ 1 $/{\sqrt {N$ 으로 진행된다는 사실입니다.몬테카를로 통합과 관련된 또 다른 중요한 개념은 시뮬레이션의 계산 시간을 향상시키는 기술인 중요도 샘플링입니다.

다음 섹션에서는 이러한 문제를 해결하기 위한 몬테카를로 통합의 일반적인 구현에 대해 논의합니다.

중요도 샘플링

몬테카를로 적분 하에서 다음과 같이 정의된 적분의 추정치

\displaystyle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\vec {r}}dvec {r}/Z

이라

표시 스타일 \displaystyle A\rangle \displaystyle \displaystyle \displayq \displayq \frac {{frac {1}{N}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}_{i}}e^{-\vec {r}_{i}}/Z}

${\vec {r}}_{i}$ 서 r ${\vec {r}}_{i}$ {{ $displaystyle{\vec {r}_{i}}$ 는 ${\vec {r}}_{i}$ 모든 위상 공간(PS)에서 균일하게 얻어지며 N은 샘플링 포인트(또는 함수 평가)의 수입니다.

모든 위상 공간에서 일부 영역은 일반적으로 $변수$ A의 평균 $({displaystyle$ A})보다 $A$ 더 중요합니다. $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ - β $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ {\ $displaystyle$ e $^{-\displaystyle E_{{\vec {r}_{i}}}$ 의 $e^{{-\beta E_{{{\vec {r}}_{i}}}}}$ 값이 나머지 에너지 스펙트럼과 비교할 때 충분히 높은 값을 갖는 것이 적분과 가장 관련이 있습니다.이 사실을 사용하여, 자연스럽게 물어볼 수 있는 질문은 다음과 같습니다. 더 많은 빈도로 통합과 더 관련이 있는 것으로 알려진 상태를 선택하는 것이 가능한가요?정답은 중요도 샘플링 기법을 사용하여 예입니다.

p $p({\vec {r}})$ $p({\vec {r}})$ ) { $displaystyle$ p({\ $vec {r}}$ 가 $p({\vec {r}})$ 적분과 더 관련이 있는 것으로 알려진 상태를 선택하는 분포라고 $p({\vec {r}})$ 합니다.

$A$ 의 $평균$ 값 $({displaystyle$ A $})$ 은 $A$ 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

→

E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})

A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}/Zd{\vec {r

$A_{\vec {r}}^{*}$ 서 $A_{\vec {r}}^{*}$ $p({\vec {r}})$ $∗$ {\ $displaystyle A_{\vec {r}^{*}}$ 은 $A_{{{\vec {r}}}}^{{*}}$ 중요도 $p({\vec {r}})$ p( $p({\vec {r}})$ $p({\vec {r}})$ ) {\ $displaystyle$ p({\ $vec {r$ 을(를) 고려한 표본 값입니다.이 적분은 다음과 같이 추정할 수 있습니다.

표시 스타일 \displaystyle A\rangle \displaystyle \displayq \frac {1}{N}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}_{i}}}/Z}

${\vec {r}}_{i}$ 서 r $p({\vec {r}})$ ${\vec {r}}_{i}$ {\ $displaystyle {r}_{i}$ 는 ${\vec {r}}_{i}$ $p({\vec {r}})$ ( $p({\vec {r}})$ $p({\vec {r}})$ ) {\ $displaystyle$ p({\ $vec {r}}$ 분포를 $p({\vec {r}})$ 사용하여 랜덤하게 생성됩니다.대부분의 경우 주어진 분포로 상태를 생성하는 방법을 찾기가 쉽지 않기 때문에 Metropolis 알고리즘을 사용해야 합니다.

표준

가장 가능성이 높은 상태는 좋은 분포인 볼츠만 분포를 최대화하는 상태로 $p({\vec {r}})$ 있기 때문에 p $p({\vec {r}})$ r $p({\vec {r}})$ ) {{ $displaystyle$ p({\ $vec {r$ 중요도 샘플링을 위해 선택할 수 있는 상태는 볼츠만 분포 또는 캐노닉 분포입니다.허락하다

p({\vec {r}}={e^{-\vec {r}}}{Z}}}

사용할 분포입니다.앞의 금액을 대입하면,

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

N

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

→

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

∗

{ \

displaystyle A\rangle

\displaystyle \displaystyle \

displayq \frac {1}{N}\sum

_

{i=1}^{N}A_{\vec {r}_{i

따라서 표준 분포와 함께 메트로폴리스 알고리즘을 사용하여 주어진 변수의 평균 값을 구하는 절차는 메트로폴리스 알고리즘을 사용하여 $p({\vec {r}})$ p $p({\vec {r}})$ $A_{\vec {r}}^{*}$ ) $p({\vec {r}})$ {{\ $displaystyle$ $p({\vec {r}})$ p $A_{\vec {r}}^{*}$ $vec {r}}}$ 에 $p({\vec {r}})$ 의해 주어진 상태를 생성하고 $A_{\vec {r}}^{*}$ → $A_{\vec {r}}^{*}$ ∗ ${\vec {r$ 에 대해 평균을 수행하는 것입니다.

표준 분포와 함께 메트로폴리스 알고리듬을 사용할 때 한 가지 중요한 문제를 고려해야 합니다. 즉, 주어진 ${\vec {r}}_{i}$ 을 수행할 때, 즉 r $→$ {r $}_{i$ 실현이 시스템의 이전 상태와 상관관계가 없음을 확인해야 합니다(상태가 "비활성화"되지 않은 경우).관련 에너지 격차가 있는 시스템에서는 시스템이 이전 상태에서 상관 관계를 해제하는 데 필요한 시간이 무한대인 경향이 있기 때문에 표준 분포 사용의 주요 단점입니다.

멀티캐노니컬

앞서 언급한 바와 같이, 미시적 규범적 접근은 몬테카를로 통합을 사용하는 대부분의 시스템에서 관련성이 있는 큰 단점을 가지고 있습니다."거친 에너지 환경"을 갖춘 시스템의 경우 멀티캐노닉 접근법을 사용할 수 있습니다.

다중 캐노닉 접근법은 중요도 샘플링에 대해 다른 선택을 사용합니다.

p({\vec {r}}=displayfrac {1}{\Omega(E_{\vec {r}}}}}

여기서 $\Omega (E)$ ( $)$ {\ $displaystyle \Omega(E$ )}는 $\Omega (E)$ 시스템 상태의 밀도입니다.이 선택의 주요 이점은 에너지 히스토그램이 평평하다는 것입니다. 즉, 생성된 상태가 에너지에 동일하게 분포되어 있다는 것입니다.즉, Metropolis 알고리즘을 사용할 때 모든 에너지가 동일하게 처리되기 때문에 시뮬레이션에서 "거친 에너지 환경"을 볼 수 없습니다.

이 선택의 주요 단점은 대부분의 시스템에서 $){displaystyle \Omega(E)}$ 를 $\Omega (E)$ 알 수 없다는 것입니다.이를 극복하기 위해 일반적으로 시뮬레이션 중에 Wang 및 Landau 알고리즘을 사용하여 DOS를 얻습니다.DOS를 알고 나면 상태 생성이 $\beta$ β{\ $displaystyle \beta$ 에 의존하지 않기 때문에 모든 온도에 대해 모든 변수의 평균 값을 계산할 수 있습니다.

실행

이 섹션에서는 이징 모델에 중점을 두고 구현합니다.양쪽에 L 스핀(격자 부위)이 있는 2차원 스핀 네트워크를 고려해 보겠습니다. $N=L^{2}$ 으로 N $= L$ $({$ N ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ $L^{$ 2 $N=L^{2}$ }} 스핀이 있으므로 위상 공간은 이산적이며 N 스핀, $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ ( $σ$ $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ 1, $σ$ 2 ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ ., ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ $σ$ N ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ ) { $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ ${$ r}=(\ $displaystyle {r$ }((\displaystyle ${2},$ ..., \ $displaystyle {n})$ $1\}}$ 은 $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ 각 격자 부위의 스핀입니다.계의 $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ 는 E $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ ( $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ ) $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ = $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ ∈ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ ( $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ $σ$ i $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ j ) $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ \\ $displaystyle$ E $({\vec$ {r})=\ $sum$ _{i = $1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{i}\sigma_{i$ $viz_{i}$ 서 $({$ 는 i의 첫 번째 이웃 스핀 집합이고 J는 상호 작용 행렬입니다(강자성 모델의 경우 J는 동일 행렬입니다).문제가 명시되어 있습니다.

이 예에서 목표는 다른 관측 가능한 것으로 일반화하기 쉽기 때문에 $\langle M\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ $⟩$ \\ $displaystyle$ \ $langle$ $M$ \rangle $\langle M\rangle$ } $\langle M^{2}\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ ⟩ \ $displaystyle M^{$ 2}\ $rangle$ }( $\langle M^{2}\rangle$ 예를 들어, 시스템의 자기 민감도를 얻기 위해)를 얻는 것입니다.정의에 $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ M ( $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ $→$ ) $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ = $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ N $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ i {\ $displaystyle$ M $({\vec {$ r}) =\ $sum$ _ ${i=1}^{N}\sigma$ _ ${i$ 입니다.

표준

먼저, 시스템을 초기화해야 합니다. $=$ 1 / $\beta =1/k_{b}T$ B ${\displaystyle$ \ $displaystyle$ = $1/k_{b}$ T $\beta =1/k_{b}T$ }를 시스템의 Boltzmann 온도로 $\beta =1/k_{b}T$ 하고 초기 상태로 시스템을 초기화합니다(최종 결과에 의존하지 않아야 하므로 무엇이든 될 수 있음).

마이크로 캐노닉 선택의 경우 메트로폴리스 방법을 사용해야 합니다.어떤 상태를 선택할 것인지를 선택할 수 있는 올바른 방법이 없기 때문에 한 번에 한 번씩 회전을 뒤집도록 구체화하고 선택할 수 있습니다.이 선택을 일반적으로 싱글 스핀 플립이라고 합니다.단일 측정을 수행하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1단계: $p({\vec {r}})$ $p({\vec {r}})$ ) \ $displaystyle$ p({\ $vec {r}}$ 분포를 $p({\vec {r}})$ 따르는 상태를 생성합니다.

1.1단계: TT 곱하기 다음 반복을 수행합니다.

1.1.1 단계: 무작위로 격자 부위를 선택합니다(확률 1/N). 이는 스핀 $\sigma _{i}$ i ${{$ 와 함께 i라고 불리게 됩니다.

1.1.2 단계: 임의의 $\alpha \in [0,1]$ α $\alpha \in [0,1]$ [ $\alpha \in [0,1]$ ] {\ $displaystyle \alpha \in [0,1$ 을(를) 선택합니다.

1.1.3단계: 스핀 i를 뒤집을 때의 에너지 변화를 계산합니다.

디스플레이 스타일 \Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\displaystyle _{j}

그리고 자화 변화: $\Delta M=-2\sigma _{i}$ M $=$ - $\Delta M=-2\sigma _{i}$ $\Delta M=-2\sigma _{i}$ i ${$ M=- $2\sigma$ _ ${i}}$

1.1.4 단계: $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ α < $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ ( $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ - $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ E $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ ) \ $displaystyle \alpha <\min(1, e^{-\delta$ \ $Delta$ E $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ 인 경우 스핀을 뒤집습니다( $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ i $=$ - $θ$ i { \ $displaystyle \display_i$ = -\ $displaystyle_{i$ }). $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$

1.1.5단계: 스핀이 뒤집힐 경우 몇 가지 거시적 변수를 업데이트합니다. $E=E+\Delta E$ $M=M+\Delta M$ $E=E+\Delta E$ + $E=E+\Delta E$ E({ $displaystyle$ E $=$ $E+\Delta$ E $E=E+\Delta E$ $M=M+\Delta M$ = $M=M+\Delta M$ + $M=M+\Delta M$ M({ $displaystyle$ M= $M+\Delta$ M})

TT 시간 이후, 시스템은 이전 상태와 상관이 없는 것으로 간주됩니다. 즉, 이 순간, 시스템이 주어진 상태에 있을 확률이 이 방법에 의해 제안된 목표인 볼츠만 분포를 따른다는 것을 의미합니다.

2단계: 측정을 수행합니다.

2.1단계: M과² M의 값을 히스토그램에 저장합니다.

마지막으로, TT는 시스템이 이전 상태와 상관관계가 없다고 말하기가 쉽지 않기 때문에 추정하기가 쉽지 않습니다.이 점을 초과하기 위해 일반적으로 고정 TT를 사용하지 않고 터널링 시간으로 TT를 사용합니다.터널링 시간은 1단계의 수로 정의됩니다. 시스템은 최소 에너지에서 최대 에너지로 전환하고 반환해야 합니다.

이징 모델과 같은 시스템에서 단일 스핀 플립 선택에 대한 이 방법의 주요 단점은 터널링 시간이 $N^{2+z}$ + $N^{2+z}$ $디스플레이 스타일$ N $^{2+z$ }(여기서 $N^{2+z}$ z가 $N^{2+z}$ 0.5보다 큰 경우)로 멱함수로 확장된다는 것입니다. 이는 임계 감속으로 알려져 있습니다.

적용성

따라서 이 방법은 주요 단점 또는 큰 장점이 될 수 있는 역학을 무시합니다.실제로 이 방법은 정적 수량에만 적용될 수 있지만 이동을 선택할 수 있는 자유로 인해 방법이 매우 유연합니다.추가적인 장점은 이징 모델과 같은 일부 시스템이 동적 설명이 부족하고 에너지 처방으로만 정의된다는 것입니다. 이러한 몬테카를로 접근법은 유일하게 실현 가능합니다.

일반화

통계 역학에서 이 방법의 큰 성공은 가상의 온도가 도입된 다음 점차 낮아지는 최적화를 위한 시뮬레이션 어닐링 방법과 같은 다양한 일반화로 이어졌습니다.

참고 항목

레퍼런스

Allen, M.P. & Tildesley, D.J. (1987). Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4.
Frenkel, D. & Smit, B. (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press. ISBN 0-12-267351-4.
Binder, K. & Heermann, D.W. (2002). Monte Carlo Simulation in Statistical Physics. An Introduction (4th ed.). Springer. ISBN 3-540-43221-3.
Spanier, Jerome; Gelbard, Ely M. (2008). "Importance Sampling". Monte Carlo Principles and Neutron Transport Problems. Dover. pp. 110–124. ISBN 978-0-486-46293-6.

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개요

중요도 샘플링

표준

멀티캐노니컬

실행

표준

적용성

일반화

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레퍼런스