통계물리학의 몬테카를로법

통계물리학에서 몬테카를로(Monte Carlo)는 통계물리학, 즉 통계역학의 문제에 몬테카를로(Monte Carlo) 방법을 적용하는 것을 말한다.

개요

통계물리학에서 몬테카를로 방법을 사용하는 일반적인 동기는 다변량 적분을 평가하는 것이다.전형적인 문제는 해밀턴인이 알려져 있고, 주어진 온도에서 볼츠만 통계를 따르는 시스템으로 시작한다.일부 거시적 변수의 평균 값을 얻기 위해, 예를 들어, 일반적인 접근방식은 모든 위상 공간에 걸쳐 PS의 단순성, 볼츠만 분포를 사용하여 A의 평균값을 계산하는 것이다.

$\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ = $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ P $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ → e - $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ E $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ → Z $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ $\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}$ → ${\$ dd}{\ $displaystyle \langle A\rangle =\int_{PS}A_{\vec}{\vec$ {e $^{-\beta E_{\r$ }}}{ $Z}d{\vec$

여기서 E $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ → $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ ) $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ = E $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ → ${\$ E $({\vec{r}})=$ $E_{\vec {r}}}$ is the energy of the system for a given state defined by ${\vec {r}}$ - a vector with all the degrees of freedom (for instance, for a mechanical system, ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ ), ${\dis$ $Playstyle \beta \equiv$ 1/ $k_{b}T$ 및

$Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec}d{\bec {r}}$

파티션 함수.

이 다변량 적분을 해결하기 위한 한 가지 가능한 접근법은 시스템의 가능한 모든 구성을 정확하게 열거하고, 원하는 대로 평균을 계산하는 것이다.이것은 정확히 해결 가능한 시스템과 입자가 거의 없는 간단한 시스템의 시뮬레이션에서 이루어진다.반면에 현실적인 시스템에서는 정확한 열거가 어렵거나 실행이 불가능할 수 있다.

그러한 시스템의 경우 몬테카를로 통합(그리고 분자 사슬을 시뮬레이션하는 데 사용되는 몬테카를로 방식과 혼동하지 않기 위해)이 일반적으로 채용된다.몬테카를로 통합과 함께 오차가 적분 차원과 독립적으로 $1/{\sqrt {N}}$ / $1/{\sqrt {N}}$ ${\$ 로 간다는 것이 그 사용의 주된 동기다.몬테카를로 통합과 관련된 또 다른 중요한 개념은 시뮬레이션의 계산 시간을 향상시키는 기법인 중요도 샘플링이다.

다음 절에서는 이러한 종류의 문제를 해결하기 위한 몬테카를로 통합의 일반적인 구현에 대해 논의한다.

중요도 샘플링

몬테카를로 통합에 따라 다음과 같이 정의된 적분 추정

$\langle A\rangle =\int_{PS}A_{\vec {r}e^{-\beta E_{\vec}d{\vec {r}/Z$

이다

$\langle A\langle \simeq {1}{{N}\sum _{{i=1}^{N}A_{\vec{r}_{i}e^{-\beta E_{\vec}_{r}}}}/Z$

여기서 ${\vec {r}}_{i}$ → ${\vec {r}}_{i}$ ${\$ 는 모든 위상 공간(PS)에서 균일하게 얻으며 N은 ${\vec {r}}_{i}$ 샘플링 포인트(또는 함수 평가)의 수입니다.

모든 위상 공간에서, 그것의 일부 구역은 일반적으로 다른 구역보다 $A$ 변수 $[\displaystyle A}$ 의 평균에 더 중요하다.특히 $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ - $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ → i ${\$ e $^{-\beta E_{{\vec{r}_{i}}}}$ 의 값을 가진 것이 나머지 에너지 스펙트럼과 비교했을 때 충분히 $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ 높은 것이 적분과 가장 관련이 있다.이 사실을 이용하여, 자연스럽게 질문할 수 있는 질문은: 더 많은 빈도로 적분과 더 관련이 있는 것으로 알려진 상태를 선택할 수 있는가?답은 중요도 샘플링 기법을 사용하여 그렇다.

$p({\vec {r}})$ ( $p({\vec {r}})$ → $p({\vec {r}})$ ) ${\displaystyle p({\vec{r}})$ 가 적분과 더 관련이 있다고 알려진 상태를 선택하는 분포라고 $p({\vec {r}})$ 가정합시다.

$A$ {\ $displaystyle A}$ 의 평균 값은 다음과 같이 다시 쓸 수 $A$ 있다.

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec$ ${r}}/Zd{\vec{r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r})$ $A_{\vec{r}^{*}e^{-\beta E_{\vec{r}}/Zd{\vec{r$

$A_{\vec {r}}^{*}$ 서 $A_{\vec {r}}^{*}$ → $∗{\$ 은(는) 중요도 확률 $p({\vec {r}})$ → $){\displaystyle p({\vec {r})}$ 을 고려한 표본 값이다 $A_{{{\vec {r}}}}^{{*}}$ $p({\vec {r}})$ 이 적분은 다음과 같이 추정할 수 있다.

$\langle A\langle \simeq {1}{{{N}\sum _{i=1}^{{N}p^{1}{\vec{r}_{i}}}A_{\vec{r}_{i}^{*e^{-\beta E_{{\vec{r}_{i}}/Z$

여기서 ${\vec {r}}_{i}$ → ${\vec {r}}_{i}$ ${\$ 은(는) p ( $){\displaystyle pstyle\$ vec ${r}} 분포$ 를 $p({\vec {r}})$ 사용하여 임의로 생성된다 ${\vec {r}}_{i}$ .대부분의 경우 주어진 분포로 상태를 생성하는 방법을 찾기가 쉽지 않기 때문에 메트로폴리스 알고리즘을 사용해야 한다.

규범적

가장 유력한 상태는 볼츠만 분포를 최대화하는 상태인 것으로 알려져 있기 때문에 중요도 샘플링에 선택할 수 있는 양호한 $p({\vec {r}})$ 인 $p({\vec {r}})$ r $p({\vec {r}})$ → $){\displaystyle p({\vec{r}})$ 는 볼츠만 분포 또는 카노닉 분포인 것으로 알려져 있다 $p({\vec {r}})$ 내버려두다

$p({\vec{r}}}={\frac {e^{-\beta E_{\vec}}{Z}}}}$

사용의 배분이 되다이전 금액으로 대체하면

$\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ i $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ = 1 $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ $\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}$ → i $→{\$ $\langle A\angle$ \langle $\simeq {\\frac{1}{N}\$ sum $_{i=1}^{N}A_{\vec{r}_{$ i}}}}}^{{ $i$

따라서 표준분포와 함께 메트로폴리스 알고리즘을 사용하여 주어진 변수의 평균값을 구하는 절차는 메트로폴리스 알고리즘을 사용하여 $p({\vec {r}})$ p $p({\vec {r}})$ ( $p({\vec {r}})$ → $){\displaystyle$ p $({\vec{r}}}})$ 가 부여한 상태를 생성하고 $p({\vec {r}})$ A $A_{\vec {r}}^{*}$ → $∗{\vec$ {\ $vec}{r}^{*}$ 에 걸쳐 평균을 수행하는 것이다 $A_{\vec {r}}^{*}$

표준 분포와 함께 메트로폴리스 알고리즘을 사용할 때는 반드시 하나의 중요한 문제를 고려해야 한다. 즉, ${\vec {r}}_{i}$ 측정을 수행할 때, ${\vec {r}}_{i}$ r → ${\vec {r}}_{i}$ {\ $displaystyle{\vec{r}_{i$ 실현이 시스템의 이전 상태와 상관되지 않도록 해야 한다(그렇지 않으면 상태는 "ra"가 되지 않는다).ndomly" 생성됨).관련 에너지 갭이 있는 시스템에서는 이전 상태로부터 상관없는 시스템에 필요한 시간이 무한대로 증가할 수 있기 때문에 이것이 표준 분포의 사용의 주요 단점이다.

멀티캐논어

앞에서 설명한 바와 같이, 마이크로 캐논론적 접근방식은 큰 단점을 가지고 있으며, 이는 몬테카를로 통합을 사용하는 대부분의 시스템에서 관련이 있다."힘든 에너지 환경"이 있는 시스템의 경우, 다원적 접근법을 사용할 수 있다.

다원적 접근방식은 중요도 샘플링에 대해 다른 선택을 사용한다.

$p({\vec{r})={\frac {1}{\Oomega(E_{\vec{r}}}}}}}$

여기서 $\Omega (E)$ ) $\Oomega(E)$ 은 $\Omega (E)$ (는) 시스템의 상태 밀도다.이 선택의 주요 장점은 에너지 히스토그램이 평평하다는 것이다. 즉, 생성된 상태는 에너지에 균등하게 분포되어 있다는 것이다.이는 메트로폴리스 알고리즘을 사용할 때 모든 에너지가 동등하게 처리되기 때문에 시뮬레이션에서 "힘든 에너지 풍경"을 볼 수 없다는 것을 의미한다.

이 선택의 주요 단점은 대부분의 시스템에서 $\Omega (E)$ ) $\Oomega(E)$ 을(를) 알 수 없다는 $\Omega (E)$ 점이다.이를 극복하기 위해 왕과 란다우 알고리즘은 일반적으로 시뮬레이션 중에 DOS를 얻기 위해 사용된다.주의: DOS가 알려진 후에는 상태 생성이 $\beta$ $\beta$ 에 의존하지 않기 때문에 모든 변수의 평균값을 모든 온도에 대해 계산할 수 있다 $\beta$

실행

이 섹션에서는 이싱 모델에 초점을 맞춘다.양쪽에 L 스핀(attice 사이트)이 있는 2차원 스핀 네트워크를 고려해보자.There are naturally $N=L^{2}$ spins, and so, the phase space is discrete and is characterized by N spins, ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ where $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ is t그는 각 격자 사이트를 돌았다.The system's energy is given by $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ , where $viz_{i}$ are the set of first neighborhood spins of i and J is the interaction매트릭스(강자성 이싱 모델의 경우 J는 아이덴티티 매트릭스).문제가 명시되어 있다.

이 예에서 $\langle M\rangle$ M $\langle M\rangle$ ⟩ $\langle M\angle$ 및 $\langle M^{2}\rangle$ and $\langle M\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ $\langle M^{2}\rangle$ ${\displaystyle$ { {\ $langle$ M $^{2}}\rangele }($ 예를 들어 시스템의 자기 감수성을 얻기 위해)을 얻는 것이 목적이다. $\langle M^{2}\rangle$ 정의에 따르면 $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ → $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ ) $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ = $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ i $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ = $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ N $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ i ${\$

규범적

첫째, 시스템을 초기화해야 한다: $\beta =1/k_{b}T$ = $\beta =1/k_{b}T$ / $\beta =1/k_{b}T$ T $\beta =1/k_{b}T$ {\ $displaystyle \beta =1/k_{b}T}$ 를 $\beta =1/k_{b}T$ 시스템의 볼츠만 온도로 하고 초기 상태로 시스템을 초기화한다(최종 결과는 이에 의존해서는 안 되므로 어떤 것도 될 수 있음).

마이크로 카노닉 선택으로 메트로폴리스 방식을 채택해야 한다.어떤 상태를 선택할지 선택할 수 있는 올바른 방법이 없기 때문에, 특정할 수 있고 그 때 한 바퀴를 뒤집으려고 할 수 있다.이 선택은 보통 싱글 스핀 플립이라고 불린다.단일 측정을 수행하기 위해 다음과 같은 단계를 수행해야 한다.

1단계: $p({\vec {r}})$ $p({\vec {r}})$ → $p({\vec {r}})$ ) ${\displaystyle$ p $({\vec {r}$ 분포에 $p({\vec {r}})$ 따르는 상태 생성:

1.1단계: TT를 다음 반복 횟수만큼 수행하십시오.

1.1.1 단계: 무작위(확률 1/N 포함)로 격자 부위를 선택하는데, 이 사이트를 스핀 $\sigma _{i}$ i ${\$ _{i $}$ 로 $\sigma _{i}$ i라고 한다.

1.1.2 단계: 무작위 숫자 $\alpha \in [0,1]$ α [ $\alpha \in [0,1]$ $\alpha \in [0,1]$ $\alpha \in [0,1]$ ${\displaystyle$ \property $\in [0,1]}$ 을(를) 선택하십시오 $\alpha \in [0,1]$

1.1.3 단계: 스핀 뒤집기의 에너지 변화 계산 i:

$\Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}}$

Δ $\Delta M=-2\sigma _{i}$ = - 2 $\Delta M=-2\sigma _{i}$ $\Delta M=-2\sigma _{i}$ {\ $displaystyle \Delta$ M $=-2\sigma _{i}}$

단계 1.1.4: $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ < $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ ( $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ , $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ - $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ E $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ ) ${\displaystyle \alpha <\min (1,e^{-\beta \Delta$ E $}}}})$ 이 $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ 가) 되면 스핀을 뒤집는다( $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ i $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ = - $\$ 그렇지 않으면 안 된다.

1.1.5단계: 스핀이 뒤집힌 경우 몇 가지 거시적 변수를 업데이트하십시오. $E=E+\Delta E$ = E $E=E+\Delta E$ + $E=E+\Delta E$ E ${\displaystyle E=E+\Delta$ E $E=E+\Delta E$ $M=M+\Delta M$ = $M=M+\Delta M$ + $M=M+\Delta M$ $M=M+\Delta M$ $M=M+\Delta M$

TT 시간 이후, 시스템은 이전 상태와 상관관계가 없는 것으로 간주되며, 이는 이 시점에서 시스템이 주어진 상태에 있을 확률은 이 방법에 의해 제안된 목표인 볼츠만 분포를 따른다는 것을 의미한다.

2단계 -> 측정을 수행하십시오.

단계 2.1: 히스토그램에서 M 및 M^2 값을 저장하십시오.

마지막 참고 사항으로서 TT는 이전 상태에서 시스템이 탈부착된 경우 쉽게 말할 수 없기 때문에 추정이 쉽지 않다는 점에 유의해야 한다.이 점을 넘어서기 위해 일반적으로 고정 TT를 사용하지 않고 TT를 터널링 시간으로 사용한다.1개의 터널링 시간은 1단계의수로 정의된다.시스템은 최소 에너지에서 최대 에너지 및 리턴까지 이동해야 한다.

Ising 모델과 $N^{2+z}$ 시스템에서 단일 스핀 플립 선택으로 이 방법의 주요 단점은 $N^{2+z}$ 시간이 $N^{2+z}$ 2 $N^{2+z}$ + z ${\$ 에 $N^{{2+z}}$ 있는 z가 0.5보다 큰 경우 임계 감속 현상으로 알려져 있는 전력 법칙으로 확장된다는 것이다.

적용가능성

따라서 이 방법은 역학을 무시하는데, 이것은 주요한 단점이나 큰 장점이 될 수 있다.실제로 이 방법은 정적 양에만 적용할 수 있지만, 이동을 선택할 자유는 이 방법을 매우 유연하게 만든다.또 다른 장점은 Ising 모델과 같은 일부 시스템은 역동적인 설명이 결여되어 있고 에너지 처방으로만 정의된다는 것이다. 이러한 몬테카를로 접근방식은 유일하게 실현 가능한 것이다.

일반화

통계 역학에서 이 방법의 큰 성공은 가상의 온도가 도입되었다가 점차 낮아지는 최적화를 위한 시뮬레이션 어닐링 방법과 같은 다양한 일반화로 이어졌다.

참고 항목

참조

Allen, M.P. & Tildesley, D.J. (1987). Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4.
Frenkel, D. & Smit, B. (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press. ISBN 0-12-267351-4.
Binder, K. & Heermann, D.W. (2002). Monte Carlo Simulation in Statistical Physics. An Introduction (4th edition). Springer. ISBN 3-540-43221-3.

Search

통계물리학의 몬테카를로법

네임스페이스

더

목차

개요

중요도 샘플링

규범적

멀티캐논어

실행

규범적

적용가능성

일반화

참고 항목

참조