몰레 웨이블릿

수학에서 몰렛 웨이블릿(또는 가보르 웨이블릿)^[1]은 복소 지수(반송파)에 가우시안 윈도우(외피)를 곱한 것으로 구성된 웨이블릿입니다. 이 웨이블릿은 청각과^[2] 시각 모두에서 인간의 인식과 밀접한 관련이 있습니다.^[3]

역사

1946년 물리학자 데니스 가보르는 양자 물리학의 아이디어를 적용하여 시간-주파수 분해를 위한 가우시안 창 시누아이드의 사용을 소개했으며, 이는 그가 원자라고 지칭했으며 공간과 주파수 분해능 사이에서 최상의 균형을 제공합니다.^[1] 이들은 단시간 푸리에 변환의 일종인 가보르 변환에 사용됩니다.^[2] 1984년, 장 몰레는 가보르의 연구를 지진학계에 소개하였고, 구피요, 그로스만과 함께 동일한 옥타브 간격에서 동일한 웨이블릿 모양을 유지하도록 수정하여 연속 웨이블릿 변환을 최초로 공식화했습니다.^[4]

정의.

웨이블릿은 평면파에서 뺀 다음 가우시안 창으로 로컬화되는 일정한$$κ σ {\$displaystyle \kappa _{\$sigma }}로 정의됩니다.

${\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi^{-{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}$

여기서 κ σ = ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$- 12$$σ 2 ${\$displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}는 허용 기준에 의해 정의되며 정규화 상수 c σ {\displaystyle c_{\sigma }}는 다음과 같습니다.

${\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac{3}{4}}\sigma ^{2}\right)^{-{\frac{1}{2}}}$

몰렛 웨이블릿의 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega)=c_{\sigma }\pi^{-{\frac {1}{4}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega)^{2}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}\omega ^{2}\right)}$

"중앙 주파수"$$ω ψ {\$displaystyle$ \omega _{\Psi }}는 ψ ^ σ(ω) {\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega)}의 전역 최대값의 위치로, 이 경우 다음과 같은 양의 해가 제공됩니다.

${\displaystyle \omega_{\Psi}=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega_{\Psi}}}}$^{[citation 필요]}

이는 ω ψ = σ {\displaystyle \omega_{\Psi} =\sigma }에서 시작하는 고정 소수점 반복으로 해결할 수 있습니다(고정 소수점 반복은 초기 ψ ω > 0 {\displaystyle \omega_{\Psi}> 0}에서 고유한 양의 솔루션으로 수렴됩니다).

Morlet 웨이블릿의 파라미터$$σ {\displaystyle$$\sigma}를 사용하면 시간과 주파수 분해능 간의 교환이 가능합니다. 종래에는 낮은$$σ${\displaystyle$ \sigma}(높은 시간 해상도)에서 몰렛 웨이블릿의 문제를 피하기 위해 제한σ > 5 ${\displaystyle \sigma$ > 5}를 사용합니다.

천천히 변하는 주파수 및 진폭 변조만 포함하는 신호(오디오 등)의 경우$$σ {\displaystyle$$\sigma}의$$작은 값을 사용할 필요가 없습니다.$$이 ${\displaystyle {경우}_{}}$ κ σ ${\displaystyle$ \kappa_{\sigma}}가 매우 작아집니다(예: κ σ < $10$ - 5 {\displaystyle \sigma > 5\quad \rightarrow \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,})이므로 종종 무시됩니다. 제한σ > 5 ${\displaystyle \sigma$ 5}에서 Morlet 웨이블릿의 주파수는 일반적으로$$ω $$ψ ≃ σ ${\$displaystyle \omega_{\Psi}\simeq \sigma${\displaystyle {}_{}}$로 $간주$됩니다.

웨이블릿은 복잡한 버전 또는 순수한 실제 가치 버전으로 존재합니다. 어떤 사람들은 "진짜 몰레"와 "복잡한 몰레"를 구분합니다.^[6] 다른 사람들은 복잡한 버전을 "가보르 웨이블릿"이라고 생각하고, 실제 값을 매기는 버전은 "몰렛 웨이블릿"이라고 생각합니다.^[7][8]

사용하다

의약품에 사용

자기 공명 분광학 이미징에서 Morlet 웨이블릿 변환 방법은 푸리에 변환으로 얻은 복잡한 머리 외상 스펙트럼의 해석을 명확히 할 수 있는 주파수와 시간 정보 사이의 직관적인 다리를 제공합니다. 그러나 Morlet 웨이블릿 변환은 푸리에 변환을 대체하기 위한 것이 아니라 시간과 관련된 변화에 대한 정성적 접근을 허용하고 자유 유도 붕괴 분석에서 사용할 수 있는 다중 차원을 활용하는 보충물로 설계되었습니다.^[9]

Morlet wavelet 분석을 적용하면 심전도(ECG)에서 비정상적인 심장박동 행동을 판별하는 데도 사용됩니다. 비정상 심장박동의 변화는 비정상적인 신호이기 때문에 이 신호는 웨이블릿 기반의 분석에 적합합니다.

음악에 사용

Morlet 웨이블릿 변환은 피치 추정에 사용되며 푸리에 변환 기법보다 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.^[10] Morlet 웨이블릿 변환은 각 음의 시작과 종료 시간이 명확한 반복 및 교대 음악 음의 짧은 버스트를 캡처할 수 있습니다.^{[citation needed]}

어플

• 시간 가변 주파수를 갖는 신호는 회전하는 기계 고장에서 일반적인 특성이므로 Morlet 웨이블릿이 분석을 수행하는 데 적합한 접근 방식입니다. Morlet 웨이블릿을 조정함으로써 시스템은 고장을 나타낼 수 있는 기계 신호의 미묘한 변화와 이상을 포착하는 기능을 향상시킬 수 있습니다. Morlet 웨이블릿의 적응성은 입력 신호를 사전 처리하는 강력한 방법을 제공하므로 시스템이 다양한 고장 조건과 관련된 다양한 주파수를 효과적으로 처리할 수 있습니다.^[11]

• 연구원들은 몰렛 웨이블릿을 신경망으로 취급함으로써 HIV 예방 조치의 민감도와 정확도를 높이는 것을 목표로 하고 있습니다. 몰렛 웨이블릿(Morlet wavelet)에 기반한 신경망은 잠재적인 HIV 위험 또는 취약성을 나타내는 복잡한 패턴을 인식하도록 설계되었습니다. Morlet wavelet 기반 신경망의 적응성과 기존 전략과의 통합은 HIV 전염병 퇴치를 위한 지속적인 노력의 중요한 진전을 의미합니다.^[12]

• 신호를 분석하는 다재다능함과 비선형 시스템에 대한 적응력으로 유명한 Morlet wavelet은 눈 수술과 관련된 각막 시스템에서 핵심적인 역할을 합니다. 기존의 수치적 방법은 이러한 시스템의 복잡성을 포착하기 어려워 혁신적인 접근 방식이 필요할 수 있습니다. 몰렛 웨이블릿 인공신경망은 비선형성을 효과적으로 처리하고 정확한 수치해를 제공할 수 있어 유망한 도구로 부상합니다.^[13]

• 연구자들은 Morlet 웨이블릿 변환을 활용하여 초광대역(UWB) 측위 시스템 신호에서 의미 있는 특징을 추출하여 시간 및 스펙트럼 특성을 보존하는 데 효과적임을 인정합니다. 사전 처리의 이 혁신적인 단계는 강력한 가시선(LOS)/비가시선(NLOS) 분류의 기초를 다집니다. Morlet wavelet은 복잡한 신호 특징을 포착하는 데 있어 기존 방법보다 우수하여 LOS/NLOS 식별 시스템의 전반적인 성공에 크게 기여합니다.

• Morlet 웨이블릿 필터링과 위상 분석을 결합하여 신호 대 잡음비를 향상시키고, 이후 박막 광학 바이오센서의 검출 한계(LOD)를 줄일 수 있습니다. 몰렛 웨이블릿 필터링 과정은 센서의 출력 신호를 주파수 영역으로 변환하는 과정을 포함합니다. 이 기술은 신호를 가우시안 엔벨로프를 갖는 복잡한 정현파인 몰렛 웨이블릿(Morlet wavelet)으로 변환함으로써 신호로부터 관련 주파수 성분을 추출할 수 있습니다. 이 프로세스는 특히 고정적이지 않고 시간에 따라 변하는 특성을 가진 신호를 분석하는 데 유리하므로 대상 분석물 농도가 시간에 따라 달라질 수 있는 바이오센싱 응용 분야에 적합합니다.^[15]

참고 항목

• 상수-Q 변환
• 가보르 웨이블릿

참고문헌

• P. 구피요, A. 그로스맨, 그리고 J. 몰레. 지진 신호 해석의 사이클-옥타브 및 관련 변환. 지리탐사, 1984:85-102
• N. Delprat, B. 에스쿠디에, P. 길레맹, R. 크론랜드-마티넷, P. 차미치안, 그리고 B. 토레사니. 점근성 웨이블릿 및 가보르 분석: 순간 주파수 추출. IEEE 트랜스. Inf. Th., 38:644-664, 1992