모스토스키 붕괴 보조정리

수학적 논리학에서 셰퍼드슨-모스토프스키 붕괴라고도 하는 모스토프스키 붕괴 보조정리(Mostowski)는 안드르제즈 모스토프스키(1949, 정리 3)와 존 셰퍼드슨(1953)이 도입한 세트 이론의 정리다.

성명서

R이 다음과 같은 클래스 X의 이진 관계라고 가정합시다.

• R은 set-like: R⁻¹[x] = {y : y R x}은(는) 모든 x에 대해 집합이다.
• R은 충분한 근거가 있다: X의 모든 비어 있지 않은 부분 집합 S는 R-최소 요소(즉⁻¹, R[x] empty S가 비어 있는 요소)를 포함한다.
• R은 확장적이다: X의 모든 구별되는 원소에 대해⁻¹ R[x] ≠ R⁻¹[y]

모스토스키 붕괴 보조정리기는 그러한 모든 R에 대해 (X, R)에 대해 멤버십 관계에 있는 구조가 (X, R)에 이형화된 독특한 전이성 등급(적합할 가능성이 있음)이 존재하며, 이형성(異形性)이 유일하다고 명시하고 있다.이형동체는 X의 각 원소 x를 y R x (Jech 2003:69)와 같이 X의 원소 y의 영상의 집합에 매핑한다.

일반화

모든 근거가 충분한 세트와 같은 관계는 충분히 근거가 있는 세트와 같은 확장 관계에 포함될 수 있다.이것은 다음과 같은 모스토스키 붕괴 보조정리 변형을 암시한다: 모든 근거가 있는 세트와 같은 관계는 (비유일하며 반드시 전이되는 것은 아님) 등급의 세트 멤버쉽에 대해 이형적이다.

X의 모든 X에 대한 F(x) = {F(y) : y R x}과 같은 매핑 F는 충분한 근거가 있는 재귀에 의해 X의 모든 집합 유사 관계 R에 대해 정의할 수 있다.그것은 (비유일성, 일반적으로) 전이성 계층에 대한 R의 동형성을 제공한다.동형상 F는 R이 확장적인 경우에만 이형상이다.

모스토스키 보조마사의 근거 있는 가정은 근거 없는 집합 이론에서 완화되거나 삭제될 수 있다.보파의 집합론에서 모든 집합적 형태의 확장관계는 (비유니크) 타전계급에서 세트멤버쉽에 대해 이형적이다.Aczel의 반창고 공리와의 집합 이론에서, 모든 집합적 관계는 고유한 타전계급의 집합적 구성원과 이등분하므로, 모든 2등분 소수 집합적 관계는 고유한 타전계급과 이등분하다.

적용

ZF의 모든 세트 모델은 세트와 같고 확장적이다.모스토스키 붕괴 보조정리기는 모스토프스키가 잘 기초하고 있다면 ZF의 전이 모델에 이형성이며 그러한 전이 모델은 독특하다.

ZF의 일부 모델의 멤버십 관계가 근거가 충분하다고 말하는 것은 모델에서 규칙성의 공리가 사실이라고 말하는 것보다 강하다.R-minimal 요소가 없는 서브셋 A를 가진 도메인을 가진 모델 M(ZF의 일관성을 가정하는)이 존재하지만, 이 세트 A는 "모델에 있는 세트"가 아니다(A는 모든 멤버가 해당 모델 도메인에 있지 않음).더 정확히 말하면, 그러한 집합 A가 없는 경우, A = R⁻¹[x]와 같은 X가 M에 존재한다.그래서 M은 규칙성의 공리(내부적으로는 「내부적으로」 잘 근거하고 있다)를 만족시키지만, 근거가 충분치 않고 붕괴 보조마도 거기에 적용되지 않는다.

참조

• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
• Mostowski, Andrzej (1949), "An undecidable arithmetical statement" (PDF), Fundamenta Mathematicae, Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences, 36 (1): 143–164, doi:10.4064/fm-36-1-143-164
• Shepherdson, John (1953), "Inner models for set theory, Part III", Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 18: 145–167, doi:10.2307/2268947