다감마함수

수학에서 다중 감마함수 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$는 오일러 감마함수와 반스 G함수의 일반화다$$.이중 감마 함수는 반스(1901)에 의해 연구되었다.본 논문 말미에 그는 그것을 일반화하는 복수의 감마함수의 존재를 언급하고, 이를 반스(1904)에서 더욱 연구했다.

이중 감마 함수 $functions{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 q-감마 함수와 밀접하게 관련되어 있으며$$, 삼중 감마 함수 \ ${\$는 타원 감마 함수와 관련이$$ 있다.

정의

> ${\displaystyle \Re a_{i}>0}$의 경우

${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots,a_{N}=\exp \left(\왼쪽).{\frac {\partial s}{\partial s}}\제타 _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots,a_{N}}\right _{s=0}\}\,}$

여기서 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$는 반스 제타 함수다.(이것은 반스의 원래 정의와 상수에 의해 다르다.)

특성.

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w},$${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$(${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \mid }$ a ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})$의 영형 함수로 간주되며 0이 없다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{비음수}}}$ $정수$ n ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$$$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$$displaystyle$$w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i$}$a_{i}}$에 극이 있다$.$이 극들은 그들 중 일부가 일치하지 않는 한 간단하다.다항식의 지수화에 의한 곱셈까지, ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}{N}_{}}$ ) ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})$은 이러한 0과 극을 가진 유한 질서의 고유한 공법 함수다.

• ${\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}\,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{1}w-{1}{1}2}}:{\sqrt{2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\오른쪽)\,},}$
• ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}$

무한 제품 표현

다중 감마함수는 무한대의 제품표현을 가지고 있어 그것이 공상동형임을 나타내게 하고, 또한 극의 위치를 나타내게 한다.이중 감마 함수의 경우 이 표현은

${\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

$여기$서 w ${\displaystyle w}$ -독립$$ 계수를 정의한다.

${\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{{0}\}\operatorname {Res}\{0}\}\제타 _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\},}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

where ${\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}$ is an ${\displaystyle n}$-th order residue at ${\displaystyle s_{0}}$.

반스 G 기능으로 감소

파라미터 $1{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle$ 1,$1}을($를) 갖는 이중 감마 함수는 관계를 준수함$$

${\displaystyle \Gamma _{2}(w+1 1,1)={\frac {\sqrt{2\pi }}}{\Sqrt {2\pi }}}}}}\Gamma _{2}(w 1,1)={\sqrt {2\pi }.}}}}}$

에 의해 반스 G 기능과 관련이 있다.

${\displaystyle \Gamma _{2}(w 1,1)={\frac {(2\pi )^{\frac{w}}{G(w)}}}}}$

이중 감마함수와 등정장 이론

> 0 ${\displaystyle \Re>0}$ 및 $Q$ = ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ Q$=b+b^{-1$ 함수

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\gamma _{2}(w\mid b,b^{-1}-1})}{\Damma _{2}\{\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\}}}}\,}}\,}}}}},}}}}}}}}}},},},},},},},},},},}$

$b{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 따라 불변하며$,$ 관계를 준수한다.

${\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

> ${\displaystyle \Re w>$0}의 경우 통합 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}$

$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$( ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \Gamma _{b}(w$ 함수에서 우리는$$ 이중 사인 ${\displaystyle {함수}_{}}$ S (${\displaystyle {}_{}w}$) ${\displaystyle S_{b}(w)$와 $Upsilon{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 함수 \ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}w)}$ ${\$displaysty $\Upsilon$_${b}(w)$를 정의한다.

${\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}$

이 기능들은 관계를 따른다.

${\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\감마(bw)}{\B^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\},}$

$b{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}$- 1 ${\$에 의해 얻어진 관계를 더한 것$.$ < > < Q ${\displaystyle$ 0$<\Re$ w$<\re$> $Q}$의 경우 그들은 본질적인 표현을 한다.

${\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}$

$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\upsilon }_{}}$ b ${\$ 기능은$$ 2차원 정합장 이론의 상관 함수에서 나타나며$$, 매개 변수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은 기초 Virasoro 대수수의 중심 전하와 관련이 있다$$.^[2]특히 Louville 이론의 3점 함수는 $\upsilon {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \Upsilon$ _${b}$라는 함수의 관점에서 쓰여 있다$.$

참조

추가 읽기

• Barnes, E. W. (1899), "The Genesis of the Double Gamma Functions", Proc. London Math. Soc., s1-31: 358–381, doi:10.1112/plms/s1-31.1.358
• Barnes, E. W. (1899), "The Theory of the Double Gamma Function", Proceedings of the Royal Society of London, 66 (424–433): 265–268, doi:10.1098/rspl.1899.0101, ISSN 0370-1662, JSTOR 116064, S2CID 186213903
• Barnes, E. W. (1901), "The Theory of the Double Gamma Function", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 196 (274–286): 265–387, Bibcode:1901RSPTA.196..265B, doi:10.1098/rsta.1901.0006, ISSN 0264-3952, JSTOR 90809
• Barnes, E. W. (1904), "On the theory of the multiple gamma function", Trans. Camb. Philos. Soc., 19: 374–425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani–Barnes zeta and gamma functions", Advances in Mathematics, 187 (2): 362–395, doi:10.1016/j.aim.2003.07.020, ISSN 0001-8708, MR 2078341
• Ruijsenaars, S. N. M. (2000), "On Barnes' multiple zeta and gamma functions", Advances in Mathematics, 156 (1): 107–132, doi:10.1006/aima.2000.1946, ISSN 0001-8708, MR 1800255