다변량 랜덤 변수

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립, 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
v t

확률과 통계에서 다변량 랜덤 변수 또는 랜덤 벡터는 값이 아직 발생하지 않았거나 값에 대한 불완전한 지식이 있기 때문에 값을 알 수 없는 수학 변수의 목록이다. 랜덤 벡터의 개별 변수는 모두 단일 수학적 시스템의 일부이기 때문에 함께 그룹화된다. 즉, 개별 통계 단위의 서로 다른 속성을 나타낸다. 예를 들어, 주어진 사람이 특정한 나이, 키, 몸무게를 가지고 있는 반면, 그룹 내에서 불특정 다수를 나타내는 것은 무작위 벡터일 것이다. 일반적으로 임의 벡터의 각 원소는 실제 숫자다.

랜덤 벡터는 다양한 유형의 집합 랜덤 변수(예: 랜덤 매트릭스, 랜덤 트리, 랜덤 시퀀스, 확률 프로세스 등)의 기본 구현으로 자주 사용된다.

More formally, a multivariate random variable is a column vector ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}$ (or its transpose, which is a row vector) whose components are scalar-valued random variables on the same probability space as each other, ${\displays$$tyle(\Oomega ,{\mathcal {F},P)}$$$Ω {\$displaystyle$\Oomega}이$($가$$) 샘플 공간이고, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 시그마-알지브라(모든 이벤트의 모음), $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$이(각 확률을 반환하는 함수)이다$$.

확률분포

모든 무작위 벡터는 보렐 대수학을 기본 시그마-알지브라로 $하여$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R} ^n}$에 확률 측도를 발생시킨다. 이 척도는 랜덤 벡터의 공동 확률 분포, 공동 분포 또는 다변량 분포라고도 한다.

각 성분 랜덤 변수 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\$의 분포를 한계 분포라고 한다$$. $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이 주어진 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$displaystyle X_{j$}$의 조건부 확률 분포는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이 특정 값으로 알려진 경우 X $i$ ${\$의 확률 분포다.

The cumulative distribution function ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto [0,1]}$ of a random vector ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}$ is defined as^{[1]: p.15}

여기서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\$

랜덤 벡터에 대한 작업

무작위 벡터는 비랜덤 벡터(추출, 뺄셈, 스칼라에 의한 곱셈, 내부 제품 섭취)와 같은 종류의 대수적 연산을 받을 수 있다.

아핀 변환

마찬가지로 새로운 $랜덤{\displaystyle \mathbf{}}$ 벡터 Y ${\$$$\$mathbf$ {$Y}}은($는) 임의 벡터 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\\$ ${R}^{n}\mathb {R}$ $}}$에 아핀 변환 $g{\displaystyle }$ : R${\displaystyle {}^{}}$n → ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ $displaysty$ style g$\$$mathbf {Y}$을 적용하여 정의할 수 있다$$$.$

${\displaystyle \mathbf{Y}}$= ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y}$ = ${\$$mathcal$$${$A$$}\\mathbf {X}$ +$b$ $여기$서 A${\displaystyle$$$n\$times n}$ 행렬은$$ $n{\displaystyle }$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystystyle n\times$}이고$$$$ b$}$은 열 벡터입니다$.$

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 변환 불가능한 행렬이고$$ X ${\$mathbf {$X}}}$이(가) 확률밀도함수 ${\displaystyle {F\mathbf{}}_{}}$ ${\\$$mathbf$$${$X$$\}\}\}\}\}$을(가)인 $경우{\displaystyle \mathbf{}}$, Y${\$의 확률밀도$)$가 된다.

$displaystyle f_{\mathbf {Y}}}(y)={\frac {f_{\mathbf {X}}}}}}{\mathbf {A}^{-1}(y-b)$$}}{ \det{\mathcal{A$

되돌릴 수 없는 매핑

더 일반적으로 우리는 무작위 벡터의 되돌릴 수 없는 매핑을 연구할 수 있다.^{[2]: p.290–291}

Let ${\displaystyle g}$ be a one-to-one mapping from an open subset ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ onto a subset ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, let ${\displaystyle g}$ have continuous partial derivatives in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ and let the Jacobian determinant of ${\displaystyle g}$ be zero at no point of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Assume that the real random vector ${\displaystyle \mathbf {X} }$ has a probability density function ${\displaystyle f_{\mathbf {$$X} }(\mathbf {x} )}$ and satisfies ${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$. Then the random vector ${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$ is of probability density

$왼쪽.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left \det {\frac {\partial g(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right }}\right _{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

where ${\displaystyle \mathbf {1} }$ denotes the indicator function and set ${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$ denotes support of ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

기대값

랜덤 벡터 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\${${\displaystyle X\mathbf{}}$$}$의 기대값 또는 평균은 각 랜덤 $변수$의 기대값인 고정$$ 벡터 E ${\displaystyle }$[ X ] ${\displaysty \operatorname$ {$E}[\$mathbf {$X} ]$이다.^{[3]: p.333}

공분산 및 교차 공분산

정의들

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$ 랜덤$$ 벡터의 공분산 행렬(두 번째 중심 모멘트 또는 분산-공분산 행렬이라고도 함)은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ 행렬이며, (i,j)^th 요소는 i와 ^th j 랜덤 ^th 변수 사이의 공분산이다. The covariance matrix is the expected value, element by element, of the ${\displaystyle n\times n}$ matrix computed as ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^$${T$ 여기서 위첨자 T는 표시된 벡터의 전치(transpose)를 가리킨다.^{[2]: p. 464 [3]: p.335}

By extension, the cross-covariance matrix between two random vectors ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ having ${\displaystyle n}$ elements and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ having ${\displaystyle p}$ elements) is the ${\displaystyle n\times p}$$행렬$^{[3]: p.336}

여기서 다시 매트릭스 기대치가 매트릭스에서 요소별로 취해진다. 여기서 (i,j)^th 요소는 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 i 요소와 ^th $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 j 요소 사이의 ^th 공분산이다$.$

특성.

공분산 행렬은 대칭 행렬이다.^{[2]: p. 466}

${\displaystyle {\mathrm{K}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle T_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}}$ ${\${X$}^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X}}}}}}}}}}}}$}}}}}}}}}.

공분산 행렬은 양의 세미데마인 행렬이다.^{[2]: p. 465}

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$.

The cross-covariance matrix ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$ is simply the transpose of the matrix ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, i.e.

${\displaystyle {\mathrm{K}}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}^{}}$ Y ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\$ {X}\$operatorname {K} _{\mathbf${X}$\mathbf {Y}^{T$

상관성 없음

${\displaystyle {두}^{}}$ 개의 임의 벡터 X${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ,${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) T ${\$}, $..., X_{m})^{{}{{}}{{}}}}{}}}}{\\$displaystym}${\displaystyle T^{}}$$}$과 $Y{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . Y ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) T ${\$ = $(Y_{1},...,$$Y_{n}^{$$T}}$은(는) 다음과 같이 무관하다고 한다$$.

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

교차 공분산 행렬 $K{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ X ${\displaystyle {Y\mathbf{}}_{}}$ ${\$이(가) 0인$$ 경우에만 상관 관계가 없다.^{[3]: p.337}

상관관계 및 교차상관

정의들

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$ 랜덤$$ 벡터의 상관 행렬(두 번째 모멘트라고도 함)은 n ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}${\$displaystyle$ n$\times$ n$}$ 행렬이며$$, (i,j)^th 요소는 i와 ^th j 랜덤 ^th 변수 사이의 상관 계수다. 상관 행렬은 X $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle X{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$\mathbf {X} \$mathbf {X} ^{T}$로 계산된 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬의$$ 요소별 기대값이며$,$ 여기서 위첨자 T는 표시된 벡터의 전치를 가리킨다.^{[4]: p.190 [3]: p.334}

By extension, the cross-correlation matrix between two random vectors ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ having ${\displaystyle n}$ elements and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ having ${\displaystyle p}$ elements) is the ${\displaystyle n\times p}$$행렬$

특성.

상관 행렬은 다음과 같이 공분산 행렬과 관련된다.

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$.

교차 상관 행렬 및 교차 공분산 행렬의 경우에도 마찬가지로:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

직교성

같은 크기 $X{\displaystyle \mathbf{}}$= (${\displaystyle }$X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$. ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$})^{{n}}{{n}}}^{{n$}}}{\\$displaystystyle \mathbf.${\displaystyle T^{}}$$}$과 $Y{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . Y ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) T ${\$ = $(Y_{1},...,$$Y_{n}^{$$T}}$을(를) 직교라고 한다$$.

${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ T ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}\mathbf {Y} ]=0}$.

독립,

모든 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\mathbf {X}$ 및 $Y$ {\displaystyle \mathbf ${x}$ $및$ y ${\$$\mathbf$${y}$에 대해 독립적으로 호출되는 두 $개$의 랜덤$$벡터 X {\$displaysty$ \mathbf {y}

${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y}}}(\mathbf {x,y})=F_{\mathbf {X}(\mathbf {x})\cdot F_{\mathbf {Y}(\mathbf {y} )}}$

where ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ and ${\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$ denote the cumulative distribution functions of ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ and${\displaystyle F_{\mathbf$${X,Y} }(\mathbf {x,y}$)은 공동 누적분포함수를 나타낸다$$. $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 독립성은 종종 X $often$ ⊥${\displaystyle }$⊥ Y ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle Y\mathbf{}}$ ${\$$\!\perp \mathbf {Y} }$. Written component-wise, ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ are called independent if for all ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},$$Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})$$=F_{X_{1},\ldots,X_{m}(x_{1},\ldots,x_{m})\cdot F_{{{}$$Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n$

특성함수

The characteristic function of a random vector ${\displaystyle \mathbf {X} }$ with ${\displaystyle n}$ components is a function ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ that maps every vector ${\displaystyle \mathbf {\omega } =(\omega _{1},\ldots ,\omega _{$$n}^{T}}}$ 복잡한$$ 숫자로. 에 의해^{[2]: p. 468} 정의된다.

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i(\mathbf {\omega } ^{T}\mathbf {X} )}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\omega _{1}X_{1}+\ldots +\omega _{n}X_{n})}\right]}$.

추가 특성

2차 형태 기대

무작위 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ X ${\$}에서 다음과 같이 2차$$ 형태를 기대할 수 있다.^{[5]: p.170–171}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

여기서$$ $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}}$ ${\$은(는) X$${\$displaystyle \mathbf {X}$의 공분산 행렬이며, ${\displaystyle \mathrm{tr}}${\$displaysty \operatorname {tr}$은 주 대각선의 원소 합을 가리킨다$$. 2차 형태는 스칼라(scalar)이기 때문이다.

Proof: Let ${\displaystyle \mathbf {z} }$ be an ${\displaystyle m\times 1}$ random vector with ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$ and ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$ and let ${\displaystyle A}$ be an ${\displaystyle m\t$$imes m}$ 비스토스테틱$$ 행렬.

그런 다음 공분산 공분산${\displaystyle {}^{}}$을 ${\displaystyle 기준}$으로 z$$T = X {\$displaystyle \mathbf$ {$z} ^{T$}=\$mathbf$ {${\displaystyle X^{}}$$}$ 및$$ z T ${\displaystyle A\mathbf{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$Y ${\\$$T}=\mathbf {Y}$$},$ 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

그러므로

${\displaystyle {\begin}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov}[X,Y]+\operatorname {E}[X]\operatorname {E}[Y]^{T}\\\Operatorname {E} [z^{T}Az]&=\Operatorname {Cov}[z^{T}}},z^{T}]+\Operatorname {E}[z^{T}A^{T}]\Operatorname {E} [z^{T}A}}}}}^^^]{T}\\&=\operatorname {Cov}[z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{{T}^{T}^{T}}}^{T}}}^{{T}}}}}}}}}^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu,\end{aigned}}}}}$

그래서 우리는 그것을 보여줘야 한다.

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr}(AV).$

이는 최종 결과(예: ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (B A ) = tr ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$)$${\$displaystyle \operatorname {tr}(AB)=\operatorname {tr}(BA)})$를 변경하지 않고 추적을 할 때 주기적인 허용을 할 수 있다는 사실에 근거한 것이다.

우리는 그것을 안다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {Cov}[z^{T}}},z^{T}]&=\operatorname {E} \좌측[\j^{T}-E(z^{T}\right)\좌측(z^{{{{})T}A^{T}-E\왼쪽(z^{T}A^{T}\오른쪽)^{T}\오른쪽]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{{T})T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T}^{T}\{T}\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\오른쪽).\end{정렬}}}$

그리고 그 이후로

$\displaystyle \left({z-\mu }\오른쪽)^{T}\왼쪽({Az-A\mu }\오른쪽)}$

그럼 스칼라로군

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \{t}({z-A\mu )}\t}=\operatorname {tr} \t} \reft(z-\mu )^{T}A(z-\mu )\오른쪽)}$

대수롭지 않게 순열 방식을 사용하여 다음 작업을 수행하십시오.

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \reft({A-\mu )(z-\mu )^{A-}T}\오른쪽),}$

이를 원래의 공식에 연결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {Cov}\왼쪽[{z^{T}z^{T}A^{T}\오른쪽]&=E\왼쪽[{\왼쪽({z-\mu }\오른쪽)^{T}(Az-A\mu )}\오른쪽]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A-\mu )(z-\mu )^{T}\오른쪽)\오른쪽]\\&=\operatorname {tr} \좌({A\cdot \operatorname {E} \좌(z-\mu )^{T}\오른쪽)\\&=\operatorname {tr}(AV).\end{정렬}}}$

서로 다른 두 가지 형태의 제품에 대한 기대

0-mean 가우스 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ X ${\$의 두 가지 다른 2차 형태의 곱을 다음과 같이$$ 예상할 수 있다.^{[5]: pp. 162–176}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

여기서 다시 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}}$ ${\$$}}}}}$은(는) $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 공분산 행렬이다$.$ 다시 말하지만, 두 가지 이차 형태는 모두 스칼라이므로 제품에 대한 기대 또한 스칼라이다.

적용들

포트폴리오 이론

금융의 포트폴리오 이론에서 목표는 종종 무작위 포트폴리오 수익의 분포가 바람직한 특성을 갖도록 위험 자산의 포트폴리오를 선택하는 것이다. 예를 들어, 특정 기대치에 대해 가장 낮은 분산을 갖는 포트폴리오 수익을 선택할 수 있다. 여기서 랜덤 벡터는 개별 자산에 대한 랜덤 수익의$$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ r ${\$이며, 포트폴리오 리턴 p(임의 스칼라)는 포트폴리오 가중치의 벡터 w를 갖는 랜덤 수익 벡터의 내적 산물인 즉, 각 자산에 배치된 포트폴리오의 분율이다. p = w^T = ${\displaystyle \mathbf{}}$r {\$displaystyle \mathbf$ {$r}$ 포트폴리오 수익의 기대 가치는 wE^T(${\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$}$ )이고, 포트폴리오 수익의 분산은 wCw로^T 나타낼 수 있다. 여기서 C는 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 공분산 행렬이다$.$

회귀이론

선형 회귀 이론에서, 우리는 종속 변수 y에 대한 관측치 n개와 각 k개의 독립 변수 x에_j 대한 관측치에 대한 데이터를 가지고 있다. 종속 변수에 대한 관측치는 열 벡터 y로 쌓이고, 각 독립 변수에 대한 관측치는 열 벡터에도 쌓이고, 이 열 벡터는 독립 변수에 대한 관측치의 설계 행렬 X(이 맥락에서 랜덤 벡터를 나타내지 않음)로 결합된다. 그런 다음 데이터를 생성한 프로세스에 대한 설명으로 다음 회귀 방정식을 가정한다.

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

여기서 β는 k 반응 계수의 가정된 고정되나 알 수 없는 벡터로서, e는 종속 변수에 대한 임의의 영향을 반영하는 미지의 무작위 벡터다. 일반적인 최소 제곱법과 같은 일부 선택된 기법에 의해 벡터 $\beta {\displaystyle \hat{}}$ ${\$을(를) β의 추정치로 선택하고, $e{\displaystyle \hat{}}$ ${\$로 표시된 벡터 e의 추정치를 다음과 같이 계산한다$.$

${\displaystyle {\hat{e}=y-X{\hat {\beta }}.}$

그런 다음 통계학자는 랜덤 벡터로 간주되는$$$\beta {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 및$$ $^$ {\$displaystyle {\e}}$의 속성을 분석해야 하는데, 이는 관측할 사례의 무작위적으로 서로 다른 선택이 그들에 대해 다른 값을 가져올 수 있기 때문이다.

벡터 시계열

시간 경과에 따른 k×$1{\displaystyle \mathbf{}}$ 랜덤$$벡터 X {\$displaystyle \mathbf${X}의$$ 진화는 다음과 같이 벡터 자기 회귀(VAR)로 모델링할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t}\,}$

where the i-periods-back vector observation ${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$ is called the i-th lag of ${\displaystyle \mathbf {X} }$, c is a k × 1 vector of constants (intercepts), A_i is a time-invariant k × k matrix and ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$ is a k × 1 random vector of error terms.

참조

추가 읽기

• Stark, Henry; Woods, John W. (2012). "Random Vectors". Probability, Statistics, and Random Processes for Engineers (Fourth ed.). Pearson. pp. 295–339. ISBN 978-0-13-231123-6.