가장 가까운 이웃 분포

확률과 통계 자체에 제일 가까운 이웃 기능, 최근린 거리 distribution,[1]에서 수학적 개체를 종종 육체적인 phenomen의 모델로 사용된다 점 과정,로 알려진 관계에 대한 정의는 최단 이웃점 분포 function[2]또는 가까운 이웃 distribution[3]는 수학적 기능이다.한 represe시간, 공간 또는 둘 다에서 임의로 배치된 점으로 ntable.^[4][5]보다 구체적으로, 가장 가까운 인접 함수는 점 프로세스의 특정 지점에 대해 동일한 점 프로세스에서 이 점에서 가장 가까운 점까지의 거리의 확률 분포로 정의되므로 점의 특정 거리 내에 존재하는 다른 점의 확률을 설명하는 데 사용된다.가장 가까운 인접 함수는 구면 접촉 분포 함수와 대조될 수 있는데, 이것은 어떤 초기 지점을 기준으로 정의한 것이 아니라, 구면 반지름의 확률 분포로서, 점 공정의 점과 처음 마주치거나 접촉했을 때 정의된다.

생물학, 지질학, 물리학, 통신 등 다양한 과학·공학 분야에 적용되는 확률 기하학^[4] 및 공간 통계학의 관련 분야뿐만 아니라 점 과정^[1][5][6] 연구에도 가장 가까운 이웃 기능이 사용된다.^{[1][7][4][5][8][9]}

점 공정 표기법

점 과정은 몇몇 기초적인 수학 공간에서 정의되는 수학적인 물체들이다.이러한 과정들은 종종 공간, 시간 또는 둘 다에 랜덤하게 흩어져 있는 점들의 집합체를 나타내기 위해 사용되기 때문에, 기초 공간은 보통 ${\displaystyle R^{}}$ d ${\$d}\$displaystyle \textbf{R}^{d}}$에 의해 여기서 가리키는 d차원 유클리드 공간이지만, 그것들은 보다 추상적인 수학적 공간에서 정의될 수 있다$.$^[6]

점 공정은 다양한 점 공정 표기법에 의해 반영되는 여러 해석을 가지고 있다.^[4][9]예를 들어, 점 $x{\displaystyle }$ ${\$이(가) $N{\displaystyle }$ ${\$에 의해 표시된 점 프로세스에$$ 속하거나 해당인 경우,^[4] 다음과 같이 기록할 수 있다$.$

${N}에서 {\displaystyle \textstyle x\in {N}$

무작위 집합으로 해석되는 점 공정을 나타낸다.또는 일부 보렐 세트 $B{\displaystyle }$ ${\$ $\textstyle${$N$$}$에 있는 $N{\displaystyle }$ ${\$$\textstyle$ B$}$의 포인트 수는 다음과 같이 기록되는 경우가$$ 많다.^[8][4][7]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

점 공정에 대한 랜덤 측정 해석을 반영한다.이 두 가지 개념은 종종 병렬 또는 상호 교환적으로 사용된다.^[4][7][8]

정의들

가장 가까운 이웃 함수

구면 접촉 분포 함수와 반대로 가장 가까운 인접 함수는 공간의 일부 영역에 이미 존재하는 점 프로세스의 특정 지점에 대해 정의된다.더 정확히 말하면, 점 공정 $N{\displaystyle }$ ${\$의 특정 점에 대해$$가장 가까운 인접 함수는 그 점으로부터 가장 가까운 또는 가장 가까운 인접 점까지의 거리의 확률 분포다.

$예$를 들어, 오리진 $o{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\$$textstyle {\$$textbf{R}^{d}$에 있는 점에 대해 이 함수를 정의하려면$,$ $r{\displaystyle }$ $반경{\displaystyle }${\$displaystyle$$$\$textstyle$d} -차원$$ 볼 $b{\displaystyle (o}$,r$) {\$$textstyle$ b$(o,r)$ $r}$$$ o 기원을 중심으로 하는 것을 고려한다.$o{\displaystyle }$ ${\$에 $존재$하는 N ${\$ {$N}$의 점을 감안할 때 가장 가까운 인접 함수는 다음과 같이 정의된다.^[4]

${\displaystyle D_{o}(r)=1-P({N})(b(o,r)=1\mid o)).}$

where ${\displaystyle \textstyle P({N}(b(o,r))=1\mid o)}$ denotes the conditional probability that there is one point of ${\displaystyle \textstyle {N}}$ located in ${\displaystyle \textstyle b(o,r)}$ given there is a point of ${\displaystyle \textstyle {N}}$ located at $o{\displaystyle }$ ${\$

기준점은 원점에 있을 필요가 없으며 임의의 $지점{\displaystyle }$ x${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$ d$${\$displaystyle x\in{\textbf{R}^{d}}$에 위치할 수 있다$.$ $N{\displaystyle }$ ${\$ x$\}$에 존재하는$$ $점$을 감안할 때, 그러면 가장 가까운 인접함수인 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D_{x}(r)=1-P({N})(b(x,r)=1\mid x)).}$

예

가장 가까운 인접 분포의 수학 식은 몇 가지 점 공정에만 존재한다.

포아송 점 공정

$강도{\displaystyle \mathrm{}}$ 측정값 ${{\$$daystyle \textstyle{\textbf{R}^{d}}$에 대한 포아송 점 $프로세스{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle \textstyle \Lambda}$의 경우 가장$$ 가까운 인접 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\Lambda(b(x,r))}}$

동종 케이스의 경우

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda b(x,r) }}$

여기서 ${\displaystyle b}$( x${\displaystyle }$, $displaystyle \textstyle b(x,r)}}}$는 $반경{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle \textstyle r$}의 (hyper) 볼의 볼륨(또는 더 구체적으로는 Lebegue 측정)을 나타낸다$.$ 평면 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$가 원점에 위치한다$$.

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}.}$

다른 기능과의 관계

구형접점분포함수

일반적으로 구면 접촉 분포 함수와 그에 상응하는 가장 가까운 인접 함수는 같지 않다.그러나 이 두 함수는 포아송 점 공정에서 동일하다.^[4]사실, 이러한 특성은 Poisson 공정의 고유한 특성과 그들의 Palm 분포에 기인하며, 이것은 결과의 일부를 슬리브닉-메케크^[8] 또는 슬리브닉의 정리라고 한다.^[1]

J-기능

구면 분포 함수 H_s(r)와 가장 가까운 인접 함수 D_o(r)가 포아송 점 공정에서 동일하다는 사실은 점 공정 데이터가 포아송 점 공정의 것으로 보이는지 통계적으로 시험하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 공간 통계에서 J-함수는 모든 r 0 0에 대해 다음과 같이 정의된다.^[4]

${\displaystyle J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}}}$

포아송 점 공정의 경우 J 함수는 단순히 J(r) = 1이므로 데이터가 포아송 공정에서 온 것처럼 동작하는지 여부에 대한 비모수 검정으로 사용되는 이유그러나 J(r) = 1인 비포아송 점 프로세스를 구성하는 것은 가능하다고 생각되지만,^[10] 그러한 백록샘플은 일부에 의해 다소 '인공적'으로 간주되고 다른 통계적 시험에 존재한다.^[11]

보다 일반적으로 J-함수는 점 공정에서 점 사이의 교호작용을 측정하는 한 가지 방법(다른 방법에는 요인 모멘트 측정값 사용^[1] 포함) 역할을 한다.^[4]

참고 항목

• 요인 모멘트
• 로컬 피쳐 크기
• 모멘트 측정
• 구형접점분포함수

참조