확률 기하학

Stochastic geometry
무작위 위치에 배치된 임의 크기의 디스크로 구성된 무선 네트워크 커버리지 및 연결을 위한 가능한 확률적 기하학적 모델(Boolean 모델)

수학에서 확률 기하학은 무작위 공간 패턴에 대한 학문이다. 주제의 핵심은 무작위 점 패턴에 대한 연구다. 이는 공간 포인트 프로세스 이론으로 이어지며, 따라서 Palm conditioning의 개념은 무작위 측정의 보다 추상적인 설정으로 확장된다.

모델

포인트 프로세스에는 다양한 모델이 있는데, 일반적으로 전통적인 동질 포아송 포인트 프로세스(완전한 공간 랜덤성의 기본 모델)를 기반으로 하지만 이를 넘어 효과적인 통계적 방법을 허용하는 표현적 모델을 찾는다.

점 패턴 이론은 무작위 객체 프로세스의 생성을 위한 주요 구성 요소를 제공하므로 정교한 무작위 공간 패턴을 구축할 수 있다. 가장 간단한 버전인 부울 모델은 포아송 점 프로세스의 각 지점에 랜덤 컴팩트 객체를 배치한다. 좀 더 복잡한 버전은 물체의 기하학적 구조에 기초하여 다양한 방법으로 상호작용을 허용한다. 다른 적용 방향은 다음과 같다: 객체의 세트 결합 또는 겹치는 객체의 패턴으로 무작위 영상에 대한 모델의 생산; 또한 기본 점 프로세스에 대해 기하학적으로 영감을 받은 모델의 생성(예를 들어, 점 패턴 분포는 면적을 포함하는 지수 인자에 의해 편향될 수 있음) 물체의 결합. 이는 통계 역학의 Widom-Rowlinson 모델과[1] 관련이 있다.

임의 객체

임의의 물체가 의미하는 것은 무엇인가? 이 문제에 대한 완전한 답은 무작위 폐쇄 집합의 이론이 필요하며, 이것은 측정 이론으로부터 발전된 개념들과 접촉하게 한다. 핵심 아이디어는 주어진 무작위 폐쇄 세트 타격의 확률에 초점을 맞추는 것이다. 무작위 집합에 적용할 수 있는 추론(예: 주어진 점 패턴을 둘러싸는 집합 추정)과 수단의 일반화 이론 등이 제기된다. 현재 이 후자의 작품과 일반 미터법 공간과 그 기하학에 관한 기하학적 수학적 분석의 최근 발전 사이에 연관성이 만들어지고 있다. 특정 랜덤 집합의 좋은 파라메트리제이션은 무작위 객체 프로세스를 마크 포인트 프로세스의 이론에 참조할 수 있게 해준다; 객체-포인트 쌍은 원래 공간의 산물로 형성된 더 큰 제품 공간에서 포인트로 간주된다.

라인 및 하이퍼 플랫 프로세스

더 이상 소형 물체가 아니라 평면상의 선이나 3-공간 내의 평면과 같이 공간적으로 확장된 물체와 관련이 있다고 가정합시다. 이는 라인 프로세스와 플랫 또는 하이퍼 플랫의 프로세스를 고려하게 된다. 더 이상 각 사물에 대해 선호하는 공간적 위치가 있을 수는 없지만, 적절한 표현 공간에서 각 사물을 한 점씩 표현함으로써 이론이 포인트 프로세스 이론으로 다시 매핑될 수도 있다. 예를 들어, 평면 내 지시선의 경우 실린더가 되는 표현 공간을 사용할 수 있다. 복잡한 것은 유클리드 운동 대칭이 표현 공간에 다소 특이한 방식으로 표현된다는 것이다. 더욱이 계산은 흥미로운 공간적 편향(예를 들어 선 부분은 거의 평행에 가까운 임의의 선에 부딪힐 가능성이 적다)을 고려할 필요가 있으며, 이것은 스테레오학의 매우 중요한 영역과 흥미롭고 유의미한 연결을 제공하는데, 어떤 면에서는 아직 스토어의 또 다른 테마로 볼 수 있다.체조의 기하학 표현 공간에서의 작업보다는 다양한 시험 세트에 부딪히는 선의 묶음 측면에서 계산이 가장 잘 수행되는 경우가 많다.

선과 초평판 공정은 자체적인 직접 응용이 있지만, 공간을 나누는 테셀레이션을 만드는 한 가지 방법으로 응용을 찾는다. 예를 들어, 포아송 선 테셀레이션을 말할 수 있다. 주목할 만한 최근의 결과는[2] 푸아송 선 테셀레이션의 원점에 있는 세포가 큰 것으로 조건화되었을 때 대략적으로 원형이라는 것을 증명한다. 확률 기하학의 테셀레이션은 물론 보로노이 및 변형 건축물을 사용하고 또한 다양한 시공 수단을 반복하여 다른 방법으로 제작될 수 있다.

이름의 유래

이 이름은 데이비드 켄달과 클라우스 크릭케버그가[3] 1969년 6월 Oberwolfach 워크숍을 준비하면서 만든 것으로 보이지만, 이 이론의 선행자들은 기하학적 확률이라는 이름 아래 훨씬 더 멀리까지 뻗어 있다. "스토크스틱 기하학"이라는 용어는 1963년[4] 프리슈와 해머슬리가 퍼콜레이션 이론에서 영감을 받은 "랜덤 불규칙 구조" 이론의 이름에 대한 두 가지 제안 중 하나로도 사용되었다.

적용들

이 간략한 서술은 대상의 구조를 볼 수 있는 확률 기하학 이론에[3][5] 초점을 맞추었다. 하지만 문제의 삶과 관심 및 응용 프로그램 아주 넓은 영역의 예를 들어는 사실 그것의 원래 구상 중, 많은 흐름, 많은:astronomy,[6]공간적으로 분산 telecommunications,[7]무선 네트워크 모델링과 채널 fading,[9][10]의 analysis,[8]모델 sshape,[12]물질의 통계 이론 forestry,[11]cience,[13] multivariate영상 분석과[14] 스테레오의 문제들. 통계 역학,[15] 마르코프 체인 몬테 카를로, 통계 컴퓨팅에서 이론의 구현(예: R의 스패트스타트[16])에 대한 연계가 있다. 가장 최근의 결정요인과 영속성 점 과정(임의행렬 이론에 연결)이 역할을 하기 시작하고 있다.[17]

참고 항목

참조

  1. ^ Chayes, J. T.; Chayes, L.; Kotecký, R. (1995). "The analysis of the Widom-Rowlinson model by stochastic geometric methods". Communications in Mathematical Physics. 172 (3): 551–569. Bibcode:1995CMaPh.172..551C. doi:10.1007/BF02101808.
  2. ^ Kovalenko, I. N. (1999). "A simplified proof of a conjecture of D. G. Kendall concerning shapes of random polygons". Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 12 (4): 301–310. doi:10.1155/S1048953399000283.
  3. ^ a b 다음에서 서문 보기
  4. ^ Frisch, H. L.; Hammersley, J. M. (1963). "Percolation processes and related topics". SIAM Journal on Applied Mathematics. 11 (4): 894–918. doi:10.1137/0111066.
  5. ^ Schneider, R.; Weil, W. (2008). Stochastic and Integral Geometry. Probability and Its Applications. Springer. doi:10.1007/978-3-540-78859-1. ISBN 978-3-540-78858-4. MR 2455326.
  6. ^ Martinez, V. J.; Saar, E. (2001). Statistics of The Galaxy Distribution. Chapman & Hall. ISBN 1-58488-084-8.
  7. ^ Baccelli, F.; Klein, M.; Lebourges, M.; Zuyev, S. (1997). "Stochastic geometry and architecture of communication networks". Telecommunication Systems. 7: 209–227. doi:10.1023/A:1019172312328.
  8. ^ M. 행기. 무선 네트워크를 위한 확률적 기하학. 케임브리지 대학 출판부, 2012.
  9. ^ Piterbarg, V. I.; Wong, K. T. (2005). "Spatial-Correlation-Coefficient at the Basestation, in Closed-Form Explicit Analytic Expression, Due to Heterogeneously Poisson Distributed Scatterers". IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. 4 (1): 385–388. Bibcode:2005IAWPL...4..385P. doi:10.1109/LAWP.2005.857968.
  10. ^ Abdulla, M.; Shayan, Y. R. (2014). "Large-Scale Fading Behavior for a Cellular Network with Uniform Spatial Distribution". Wireless Communications and Mobile Computing. 4 (7): 1–17. arXiv:1302.0891. doi:10.1002/WCM.2565.
  11. ^ Stoyan, D.; Penttinen, A. (2000). "Recent Applications of Point Process Methods in Forestry Statistics". Statistical Science. 15: 61–78.
  12. ^ Kendall, D. G. (1989). "A survey of the statistical theory of shape". Statistical Science. 4 (2): 87–99. doi:10.1214/ss/1177012582.
  13. ^ Torquato, S. (2002). Random heterogeneous materials. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95167-9.
  14. ^ Van Lieshout, M. N. M. (1995). Stochastic Geometry Models in Image Analysis and Spatial Statistics. CWI Tract, 108. CWI. ISBN 90-6196-453-9.
  15. ^ Georgii, H.-O.; Häggström, O.; Maes, C. (2001). "The random geometry of equilibrium phases". Phase transitions and critical phenomena. Vol. 18. Academic Press. pp. 1–142.
  16. ^ Baddeley, A.; Turner, R. (2005). "Spatstat: An R package for analyzing spatial point patterns". Journal of Statistical Software. 12 (6): 1–42. doi:10.18637/jss.v012.i06.
  17. ^ McCullagh, P.; Møller, J. (2006). "The permanental process". Advances in Applied Probability. 38 (4): 873–888. doi:10.1239/aap/1165414583.