노에더 정규화 보조정리

수학에서 노에더 정상화 보조마사는 1926년 에미 노에더가 도입한 정류 대수학의 결과물이다.^[1]그것은 모든 필드 k와 미세하게 생성된 공통 k-알제브라 A에 대해 A가 다항 링 S = k [y₁, y₂, ..., y_d]에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈인 비 음의 정수 d와 대수적으로 독립된 원소₁ y, y₂, y가_d A에 존재한다고 명시한다.

위의 정수 d는 고유하게 결정된다; 그것은 링 A의 Krull 치수다.A가 일체형 영역인 경우, d는 또한 A와 k의 분수 영역의 초월도가 된다.

그 정리는 기하학적 해석을 가지고 있다.A가 필수적이라고 가정하자.S를 d차원 아핀 공간 A $k{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$d $디스플레이$ 스타일 $\mathb {A} _{k}^{d$의 좌표 링으로 하고 A를 다른 d차원 아핀 버라이어티 X의 좌표 링으로 한다.그러면 포함지도 S → A는 $부속품종{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 스타일 X$\to \mathb{A} _{k}^{d}}}$의 굴절적 유한 형태론을 유도한다$.$결론은 모든 아핀 다양성이 아핀 공간의 분기형 덮개라는 것이다.k가 무한할 때는 X를 포함하는 아핀 공간에서 d차원 서브스페이스로 일반적인 투영법을 취함으로써 이러한 분기형 커버 맵을 구성할 수 있다.

보다 일반적으로, 체계 언어에서, 정리는 다음과 같이 동등하게 진술될 수 있다: 모든 아핀 k-scheme (유한 유형의) X는 아핀 n차원 공간에 걸쳐 유한하다.정리는 적절한 치수의 아핀 좌표 하위 공간 위에 유한한 R(동등하게, X의 닫힌 부분 집합)의 연쇄를 포함하도록 정제할 수 있다.^[2]

위에서 언급한 노에더 정상화 보조정리 형태는 힐베르트의 Nullstellensatz를 증명하는 중요한 단계로 사용될 수 있다.이것은 적어도 공식적으로, Nullstellensatz가 많은 고전 대수 기하학의 발달에 기초하고 있기 때문에 더 기하학적 중요성을 부여한다.이 정리는 또한 k-algebras에 대한 Krull 차원의 개념을 확립하는 데 중요한 도구다.

증명

다음의 증명은 나가타에 기인하며, 뭄포드의 레드북에서 가져간다.기하학적 맛의 증거는 또한 붉은 책 127쪽과 이 수학 오버플로우 실에 제시되어 있다.

보조정리기의 고리 A는, 예를 들어, $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$}, $...,y_{m}$에 의해 k-algebra로 생성된다$.$$m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle m=0$인 경우 주장은 사소한 것이다.지금 > ${\displaystyle m>0}$을(를) 가정해 보십시오A가 S에 대해 유한한 것처럼 $m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m-1}$ 요소에 의해 생성되는 A의 서브링 S가 있음을 보여주기에 충분하다.$실제로$ 귀납 가설에 의해 우리는 S가 $k{\displaystyle }$[ $x 1$,$.$$.$. . . . . . . .${\displaystyle }$. . . . . . . . . .${\displaystyle }$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$$. . . . . . .$.$ . . . .$$. . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

그렇지 않으면 증명할 것이 없을 것이기 때문에 k보다 m 변수에 0이 아닌 다항식 f가 있다고 가정할 수도 있다.

${\displaystyle f}$( y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{m}=0}$.

나중에 결정되는 정수 r이 지정되면

${\displaystyle z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r^{i-1},\req i\leq m.}$

그 다음 앞부분은 다음과 같다.

${\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1$$$$}^{r},z_{3}+y_{1$$}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+y_{1$$}^{r^{m-1}=0}$.

$이제{\displaystyle }$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}_{{}_{}}^{}}$ 2 m ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}{}_{}}$i + ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{r}}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {1{}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {{\alpha }_{}}^{}}$i {\$displaystyle ay_{1}^{$1}^{1}^{1}\$alpha _{1}\prod _{2}^{m}(z_{i}+y_{$1}){$1$}$}^{r^{i-1}^{\message _{i}}}$은(는) 위 방정식의 왼쪽에 나타나는 단수로서$$, 제품을 확장한$$ $후{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1에서 가장 높은 $용어인$${\displaystyle k}$ k$$${\$$displaystyle y_{1$}가 다음과 같이 보인다$.$

${\displaystyle ay_{1}^{1}^{\no_{1}+r\no_{2}+\cdots +\no_{m}r^{m-1}}}}$

위의 지수가 다른 일부 단수형에 의해 생성된 y ${\displaystyle 1_{}}$의 가장 높은 $지수$인 ${\$}에$$ 동의할 때마다, $f$의 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle y_{1}:{$1}에 $있는$ 가장 높은 용어$y$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}{}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {{y\mathrm{}}^{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}{}_{}}$, . .${\displaystyle }$. ${\displaystyle {}_{}{m}_{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1^{}}_{}^{}}$r - ${\displaystyle {1^{}}_{}^{}}$ )가 될${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$수 있다$.$$}}z_{2}+y_{1$$}^{r},z_{3}+y_{1$$}^{r^{2}}, ...,z_{m}+y_{1$$}}^{r^{m-1})}}}$은(는) 취소의 영향을 받을 수 있으므로 위의 형식이 아닐 것이다$$.그러나 r이 f에 나타나는 어떤 지수보다 크면 각 ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle }$α +${\displaystyle {\alpha m\mathrm{r}}^{}}$ - 1 ${\$가 고유한 기본 r 번호를 부호화하므로$$ 이 작업은 수행되지 않는다.$따라서{\displaystyle {}_{}}$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$$1$}은(는)${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle k}$ [${\displaystyle }$z ${\displaystyle {}_{}}$, .${\displaystyle }$. . ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S=k[z_{2$}, $..., z_{m$에 통합되어 있으므로$$ ${\displaystyle y_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i^{}}_{}^{}}$ - ${\displaystyle {1^{}}_{}^{}}$ ${\${i$}y$}y}y_{1$}y$}y_{1에 통합되어 있다.$}^{r^{i-1}}$ 또한 해당 링 위에 통합되어 있고$$, A는 S 위에 통합되어 있다.A를 따르는 것은 S에 대해 유한하며, S는 m-1 원소에 의해 생성되기 때문에 귀납 가설에 의해 우리는 완료된다.

A가 통합된 영역인 경우, d는 분수 영역의 초월도다.실제로 A와 $S{\displaystyle }$= k${\displaystyle }$[ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$]$${\$displaystyle$S=$k[y_{$1}, $..., y_{d}}}}$의 분수 영역이 S의 분수장보다 대수적이므로(A는 S보다 적분하기 때문에) 초월도(즉, 분수장의 정도)가$$ 같다.따라서 다항 링 S의 Krull 치수는 d. (이 또한 치수 이론의 결과)임을 보여 주는 것이 남아 있다.$사례{\displaystyle }$d = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle d=0}$은(는) 사소한 것으로$$ d에 귀속된다.Since ${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$ is a chain of prime ideals, the dimension is at least d.역추정을 얻으려면 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle ⊊}$ p ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}\cdots }$ p${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ p ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ 0$\subsetneq {p}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {p}{p}}}{m}}}}$이(가) 프라임 이상 사슬이 되도록$$ 한다.Let ${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$. We apply the noether normalization and get ${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$ (in the normalization process, we're free to choose the first variable) such that S is integral over T.By the inductive hypothesis, ${\displaystyle T/(u)}$ has dimension d - 1. By incomparability, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$ is a chain of length ${\displaystyle m}$ and then, in ${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$, it becomes a chain of length${\displaystyle m-1}$. Since ${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$, we have ${\displaystyle m-1\leq d-1}$. Hence, ${\displaystyle \dim S\leq d}$.

정제

아이젠부드의 저서에 다음과 같은 정교함이 나타나는데, 나가타의 사상을 바탕으로 한다.^[2]

Geometrically speaking, the last part of the theorem says that for ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$ any general linear projection ${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$ induces a finite morphism ${\displaystyle X\to \mathb$$f {A} ^{d}}($cf).납); 아이젠부드 이외에, [1]도 참조한다.

예시 적용: 일반 자유도

일반적 자유성의 증명(나중의 진술)은 표준화 보조정리법의 전형적이면서도 비종교적인 적용을 예시한다.The generic freeness says: let ${\displaystyle A,B}$ be rings such that ${\displaystyle A}$ is a Noetherian integral domain and suppose there is a ring homomorphism ${\displaystyle A\to B}$ that exhibits ${\displaystyle B}$ as a finitely generated algebra over ${\displaystyle A}$. Then there is some${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\neq g\in$ A$}:$ B$$${\displaystyle }$[$g{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle B[g^{-1}]}$이(가) 무료$$ $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystyle$A[$g^{-1}]$ -module이다$$.

Let ${\displaystyle F}$ be the fraction field of ${\displaystyle A}$. We argue by induction on the Krull dimension of ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$. The basic case is when the Krull dimension is ${\displaystyle -\infty }$; i.e., ${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$.This is to say there is some ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ such that ${\displaystyle gB=0}$ and so ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ is free as an ${\displaystyle A[g^{-1}]}$-module.유도 단계의 경우 노트 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$는 $미세$하게 생성된 F ${\displaystyle F}$ -algebra이다$$.Hence, by the Noether normalization lemma, ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ contains algebraically independent elements ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$ such that ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ is finite over the polynomial ring ${\displaystyle F$$[x_{1},\dots,x_{d$ 각 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$에 A ${\displaystyle A$}의 요소를$$곱하면, ${\displaystyle x_{}}$i {\$displaystyle x_{i}$이$($가) B {\$displaystystyle B}$에 있다고$$ 가정할 수 있다$.$ 이제 다음을 고려한다.

$(\displaystyle A'):=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ A$'}$보다 유한하다고$$ 할 필요는 없지만, 다음과 같이 하나의 원소를 뒤집은 후에 그럴 것이다$.$If ${\displaystyle b}$ is an element of ${\displaystyle B}$, then, as an element of ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$, it is integral over ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$; i.e., ${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a$$_{n}=0}$ for some ${\displaystyle a_{i}}$ in ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$. Thus, some ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ kills all the denominators of the coefficients of ${\displaystyle a_{i}}$ and so ${\displaystyle b}$ is integral over ${\displaystyle A^{\prime }[g^{-}}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$. Choosing some finitely many generators of ${\displaystyle B}$ as an ${\displaystyle A'}$-algebra and applying this observation to each generator, we find some ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ such that ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ is integral (thus finite)$A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ A$'[g^{-1$ $B{\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,A}$을(를) B${\displaystyle }$[ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle ],}$ ${\displaystyle A}$[${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystyle B[g^{-1}],$$A{\displaystyle }$$[g^{-1}]}$ 그러면$$ B {\$displaystyle B}$이(가$)$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle A}$ [${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A'$에 대해 유한하다고$$ 가정할 수 있다.$=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$. To finish, consider a finite filtration ${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$ by ${\displaystyle A'}$-submodules such that ${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\$$mathfrak {{p}_{i}}$ 프라임 이상 $p{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ {\$displaystyle {\mathfrak{p}$_$$${i$}}}$$ (관련 프라임 이론에 의해 그러한 여과가 존재한다.)For each i, if ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$, by inductive hypothesis, we can choose some ${\displaystyle g_{i}\neq 0}$ in ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$ is free as an ${\displaystyle A[g_i^{-1}}$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]$ -module$$, $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ A$'}$은 다항식 링이므로$$ 자유롭다.따라서 $g{\displaystyle }$= g = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $B[g^{-$1}]}}}은$($는$)$ $A{\displaystyle }$ [${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystystyle \square }$에 대한 무료 모듈이다$.$

메모들

참조

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960, Zbl 0819.13001
• 보조정리원이 최신 코멘트에"Noether theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] 있어
• Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 28–35, archived from the original on March 8, 2013

추가 읽기

• 로베르츠, D.: 원뿔 분해에 의해 유도된 에테르 정상화.J. 심볼 연산 44(10), 1359–1373(2009)