에미 노에더

에미 노에더
노에테르 c. 1900~1910
태어난	아말리 에미 노에더 (1882-03-23)1882년 3월 23일 바이에른 주 에를랑겐
죽은	1935년 4월 14일 (1935-04-14) (53세) 브린 모어(Bryn Mawr), 미국 펜실베이니아주
국적.	독일의
모교	얼랑겐 대학교
로 유명함	추상대수 노에테르 정리 노에테리언 링 라스커-노테르 정리
시상식	아커만-튜브너 기념상 (1932)
과학경력
필드	수학과 물리학
기관	괴팅겐 대학교 브린 모어 칼리지
논문	3원 2차형 불변량의 완전한 체계에 관한 연구 (1907)
박사 자문위원	폴 고단
박사과정생	맥스 듀링 한스 피팅 그레테 헤르만 제이콥 레비츠키 장쯔C. 텐 오토 실링 베르너 베버 에른스트 비트

아말리 에미 노에더(미국: /ˈ n ʌ t ə r/, 영국: /ˈ n ɜː t ə/; 독일어:ˈ ː(, 1882년 3월 23일 ~ 1935년 4월 14일)는 독일의 수학자로 추상대수학에 많은 공헌을 했습니다. 그녀는 수학 물리학의 기본인 노에테르의 첫 번째 정리와 두 번째 정리를 증명했습니다.^[1] 그녀는 파벨 알렉산드로프, 알베르트 아인슈타인, 장 디외도네, 헤르만 바일, 노르베르트 위너에 의해 수학 역사상 가장 중요한 여성으로 묘사되었습니다.^[2][3] 당대 최고의 수학자 중 한 명으로, 그녀는 고리, 장, 대수학 이론을 발전시켰습니다. 물리학에서 노에테르의 정리는 대칭과 보존 법칙의 연관성을 설명합니다.^[4]

노르에테르는 프랑코니아의 마을 에를랑겐의 유대인 가정에서 태어났습니다. 그녀의 아버지는 수학자 막스 노르에테르였습니다. 그녀는 원래 필수 시험을 통과한 후 프랑스어와 영어를 가르치기로 계획했지만, 대신 그녀의 아버지가 강의했던 에를랑겐 대학에서 수학을 공부했습니다. 1907년^[5] 폴 고단의 지도 아래 박사과정을 마친 후, 그녀는 7년 동안 무보수로 에를랑겐의 수학 연구소에서 일했습니다. 당시에는 여성들이 학계에서 크게 배제되어 있었습니다. 1915년, 그녀는 데이비드 힐베르트와 펠릭스 클라인의 초대를 받아 세계적으로 유명한 수학 연구 센터인 괴팅겐 대학교의 수학과에 들어갔습니다. 그러나 철학 교수진은 반대했고, 그녀는 힐베르트의 이름으로 4년 동안 강의했습니다. 1919년에 그녀의 고용이 승인되었고, 그녀는 Privatdozent의 지위를 얻을 수 있었습니다.^[5]

노에테르는 1933년까지 괴팅겐 수학과의 주요 멤버로 남아 있었고, 그녀의 학생들은 때때로 "노에테르 소년들"이라고 불렸습니다. 1924년, 네덜란드의 수학자 B. L. 반 데르 베르덴은 그녀의 서클에 가입했고 곧 노에테르의 아이디어를 가장 잘 드러내는 인물이 되었습니다. 그녀의 연구는 그의 영향력 있는 1931년 교과서인 현대 대수학의 두 번째 권의 기초가 되었습니다. 1932년 취리히에서 열린 국제 수학자 대회에서 그녀의 전체 연설이 있을 무렵, 그녀의 대수적 통찰력은 전 세계적으로 인정받았습니다. 이듬해 독일 나치 정부는 유대인들을 대학에서 해임했고, 노에테르는 미국으로 건너가 펜실베이니아의 브린 모어 칼리지에서 마리 요한나 바이스, 루스 스타우퍼, 그레이스 쇼버 퀸, 올가 타우스키-토드 등 박사 및 대학원생 여성들을 가르쳤습니다. 동시에, 그녀는 뉴저지주 프린스턴에 있는 고등연구소에서 강의를 하고 연구를 수행했습니다.^[5]

노에테르의 수학적 작업은 세 개의 "에포크"로 나누어졌습니다.^[6] 첫 번째(1908-1919)에 그녀는 대수 불변량과 정수장 이론에 기여했습니다. 미분 불변량에 대한 그녀의 연구인 노에더 정리는 "현대 물리학의 발전을 이끄는 데 있어 지금까지 증명된 가장 중요한 수학적 정리 중 하나"라고 불립니다.^[7] 두 번째 시대(1920-1926)에 그녀는 "[추상] 대수학의 얼굴을 바꾸는" 작업을 시작했습니다.^[8] 1921년 그녀의 고전적인 논문인 이상론(Theory of Ideal theory in Ring domains)에서 노에테르는 교환 고리의 이상론을 광범위한 응용 분야를 가진 도구로 발전시켰습니다. 그녀는 상승 사슬 조건을 우아하게 활용했고, 이를 만족시키는 대상은 그녀를 기리기 위해 노에테리아누스라고 이름 지었습니다. 제3기(1927-1935)에 그녀는 비상호 대수와 초복소수에 대한 연구를 발표하고 군의 표현 이론을 모듈 및 이상 이론과 통합했습니다. 자신의 출판물 외에도, 노에더는 자신의 아이디어에 관대했고 대수적 위상수학과 같이 자신의 주요 연구에서 멀리 떨어진 분야에서도 다른 수학자들이 발표한 여러 연구 분야에서 인정받고 있습니다.

요절기

에미 노에더는 1882년 3월 23일 유대인 상인 가정에서 수학자 막스 노에더와 아이다 아말리아 카우프만의 네 자녀 중 첫째로 태어났습니다.^[9] 그녀의 첫 번째 이름은 어머니와 친할머니의 이름을 딴 "아말리"였지만, 그녀는 어린 나이에 중간 이름을 사용하기 시작했고, 그녀는 항상 성인 생활과 출판물에서 "Emy Noether"라는 이름을 사용했습니다.^[a]

젊은 시절, 노에테르는 영리하고 친절한 것으로 알려져 있지만 학문적으로 두각을 나타내지 못했습니다. 그녀는 어린 시절에 근시안적이었고 사소한 입으로 이야기했습니다. 한 가족 친구는 어린 노에더가 어린 나이에 논리적인 통찰력을 보여주며 어린이 파티에서 빠르게 두뇌 티저를 푸는 것에 대한 몇 년 후의 이야기를 들려주었습니다.^[10] 그녀는 대부분의 소녀들과 마찬가지로 요리와 청소를 배웠고 피아노 레슨을 받았습니다. 그녀는 춤을 좋아했지만 열정을 가지고 이러한 활동을 하지 않았습니다.^[11]

그녀에게는 세 명의 남동생이 있었습니다. 최고령자인 알프레드 노에테르는 1883년에 태어나 1909년에 에를랑겐에서 화학박사 학위를 받았지만 9년 후에 사망했습니다.^[12] 프리츠 노에테르는 1884년에 태어나 뮌헨에서 공부하고 응용수학에 공헌했습니다. 그는 1941년 소련에서 처형당했습니다.^[13] 가장 어린 구스타프 로버트 노에더는 1889년에 태어났습니다. 그의 삶에 대해서는 알려진 바가 거의 없습니다; 그는 지병을 앓았고 1928년에 사망했습니다.^[14][15]

교육

노에더는 프랑스어와 영어에 일찍 능숙한 모습을 보였습니다. 1900년 봄, 그녀는 이 언어들의 선생님들을 위한 시험을 치렀고 전체적인 세어 굿 점수를 받았습니다 (매우 좋음). 그녀의 성적은 그녀가 여학생들을 위한 학교에서 언어를 가르칠 수 있는 자격을 주었지만, 그녀는 대신 그녀의 아버지가 교수로 있던 ^[16]에를랑겐 대학교에서 공부를 계속하기로 선택했습니다.^[17]

이것은 파격적인 결정이었습니다; 2년 전, 이 대학의 학술 상원은 혼혈 교육을 허용하는 것은 "모든 학문적 질서를 뒤엎는 것"이라고 선언했습니다.^[18] 986명의 학생들로 이루어진 대학에서 단지 두 명의 여성들 중 한 명인 노에더는 완전히 참여하는 것이 아니라 수업들을 감사하는 것만을 허락 받았고, 그녀는 그녀가 참석하기를 원하는 개인 교수들의 허락을 요구했습니다. 이러한 장애에도 불구하고, 1903년 7월 14일 그녀는 뉘른베르크의 한 체육관에서 졸업 시험을 통과했습니다.^[16][19][20]

1903-1904년 겨울 학기 동안 그녀는 괴팅겐 대학교에서 천문학자 카를 슈바르츠실트와 수학자 헤르만 민코프스키, 오토 블루멘탈, 펠릭스 클라인, 다비드 힐베르트의 강의를 들었습니다.^[21]

1903년에는 바이에른 대학에서 여성의 완전한 입학에 대한 제한이 폐지되었습니다.^[22] 노에테르는 에르랑겐으로 돌아와 1904년 10월에 공식적으로 대학에 다시 입학하여 수학에만 전념하겠다는 의사를 밝혔습니다. 그녀는 그녀의 학년에 6명의 여성(감사관 2명) 중 한 명이었고, 그녀가 선택한 학교에서 유일한 여성이었습니다.^[23] 폴 고단의 지도 아래, 그녀는 1907년에 그녀의 논문 "Uber die Bildung des Formens Systems der ternären biquadratischen Form" (3원 2원 2원 형식을 위한 불변량의 완전한 체계에 관하여)를 썼고, 그 해 말에 졸업했습니다.^[24] Gordan은 불변량 연구자들의 "계산" 학파의 일원이었고, Noether의 논문은 300명이 넘는 명백하게 해결된 불변량들의 목록으로 끝이 났습니다. 불변량에 대한 이 접근법은 나중에 힐베르트가 개척한 보다 추상적이고 일반적인 접근법으로 대체되었습니다.^[25][26] 비록 그것은 좋은 반응을 얻었지만, 노에더는 나중에 그녀의 논문과 그녀가 제작한 몇몇 유사한 논문을 "크랩"이라고 묘사했습니다.^[26][27][b]

교습기간

얼랑겐 대학교

1908년부터 1915년까지 노에테르는 에를랑겐의 수학 연구소에서 무보수로 가르쳤고, 아버지가 너무 아파서 강의를 할 수 없을 때 가끔 아버지를 대신했습니다.^[28] 1910년과 1911년에 그녀는 자신의 논문 작업을 세 개의 변수에서 n개의 변수로 확장하여 발표했습니다.^{[citation needed]}

고르단은 1910년에 은퇴했고,^[29] 노에테르는 1911년에 후임자인 에르하르트 슈미트와 에른스트 피셔 밑에서 가르쳤습니다.^[30] 그녀의 동료 헤르만 바일과 그녀의 전기 작가 오귀스트 딕에 따르면, 피셔는 특히 다비드 힐베르트의 작품을 그녀에게 소개함으로써 노에테르에게 중요한 영향을 미쳤다고 합니다.^[31][32] 1913년부터 1916년까지 노이더는 힐베르트의 방법을 유리함수의 장과 유한군의 불변량과 같은 수학적 대상에 확장하여 적용한 여러 논문을 발표했습니다. 이 단계는 그녀가 획기적인 기여를 할 수학 분야인 추상 대수학에 대한 그녀의 참여의 시작을 나타냅니다.^{[citation needed]}

Noether와 Fischer는 수학에 대한 활기찬 즐거움을 공유했고 종종 강의가 끝난 후에도 오랫동안 논의했습니다. Noether는 Fischer에게 그녀의 수학적 생각을 계속하는 엽서를 보낸 것으로 알려져 있습니다.^[33][34]

괴팅겐 대학교

1915년 봄, 노에테르는 다비드 힐베르트와 펠릭스 클라인에 의해 괴팅겐 대학교로 돌아오도록 초대받았습니다. 그녀를 영입하려는 그들의 노력은 처음에 철학 교수들 중 문헌학자들과 역사학자들에 의해 차단되었는데, 그들은 여성들이 사적인 신분이 되어서는 안 된다고 주장했습니다. 한 교직원은 "우리 군인들이 대학에 돌아와서 여자의 발밑에서 배워야 한다는 것을 알게 되면 어떻게 생각할 것인가?"^[35][36][37]라고 항의했습니다. 이에 힐베르트는 분개하며 "후보자의 성별이 그녀의 사립대 입학에 반대하는 주장이라고 생각하지 않습니다. 결국 우리는 목욕탕이 아니라 대학입니다."^[35][36][37]

4월 말에 괴팅겐으로 떠났고, 2주 후에 그녀의 어머니는 에르랑겐에서 갑자기 죽었습니다. 그녀는 이전에 눈 상태로 인해 치료를 받았지만, 눈 상태의 본질과 사망에 미치는 영향은 알려져 있지 않습니다. 거의 같은 시기에 노에테르의 아버지는 은퇴했고 그녀의 오빠는 제1차 세계대전에 참전하기 위해 독일군에 입대했습니다. 그녀는 몇 주 동안 에를랑겐으로 돌아왔는데, 주로 나이 든 아버지를 돌보기 위해서였습니다.^[38]

괴팅겐에서 가르치는 첫 해 동안 그녀는 공식적인 직위를 갖지 못했고 급여도 받지 못했습니다. 그녀의 가족은 그녀의 숙식비를 지불하고 그녀의 학업을 지원했습니다. 그녀의 강의는 종종 힐베르트의 이름으로 광고되었고, 노에테르는 "도움"을 제공했습니다.^{[citation needed]}

그러나 괴팅겐에 도착한 직후, 그녀는 보존 법칙이 물리계의 미분 가능한 대칭과 관련이 있다는 것을 보여주는 현재 노에더 정리로 알려진 정리를 증명함으로써 그녀의 능력을 입증했습니다.^[37] 이 논문은 1918년 7월 26일 괴팅겐에서 열린 왕립과학회 회의에서 동료 F. 클라인(F. Klein)에 의해 발표되었습니다.^[39] 그녀가 그 사회의 일원이 아니었기 때문에 아마도 노에더는 그것을 직접 제시하지 않았을 것입니다.^[40] 미국의 물리학자 레온 M. 리더맨과 크리스토퍼 T. 힐은 그들의 책 대칭과 아름다운 우주에서 노에테르의 정리가 "현대 물리학의 발전을 이끄는 데 있어 확실히 가장 중요한 수학적 정리 중 하나이며, 아마도 피타고라스 정리와 동등할 것"이라고 주장합니다.^[7]

제1차 세계대전이 끝났을 때, 1918-1919년의 독일 혁명은 여성에 대한 더 많은 권리를 포함한 사회적 태도에 중대한 변화를 가져왔습니다. 1919년 괴팅겐 대학교는 노에테르가 그녀의 재활(재임 자격)을 진행하는 것을 허락했습니다. 그녀의 구강 검진은 5월 말에 열렸고, 1919년 6월에 그녀의 재활 강의를 성공적으로 수행했습니다.^{[citation needed]}

3년 후, 그녀는 프로이센의 과학, 예술, 공교육부 장관 오토 보엘리츠로부터 편지를 받았는데, 그 편지에서 그녀에게 니치트 빔테터 오서러덴탈리처 교수(내부 관리권과 기능이^[41] 제한된 무자격 교수)라는 칭호를 수여했습니다. 이것은 무급의 '비정규직' 교수직이었고, 공무원 직위인 상급의 '비정규직' 교수직은 아니었습니다. 비록 그녀의 일의 중요성을 인식했지만, 그 자리는 여전히 급여를 제공하지 않았습니다. 노에테르는 1년 후에 르르보프트라그트퓌르 대수학의 특별직에 임명될 때까지 그녀의 강의에 대한 보수를 받지 못했습니다.^[42][43]

추상대수학 연구

비록 노에더의 정리가 고전역학과 양자역학에 중요한 영향을 미쳤지만, 수학자들 사이에서 그녀는 추상대수학에 대한 공헌으로 가장 잘 기억되고 있습니다. 나단 제이콥슨은 노에더의 수집된 논문에 대한 소개에서 다음과 같이 썼습니다.

20세기 수학의 가장 독특한 혁신 중 하나인 추상 대수학의 발전은 주로 출판된 논문, 강의, 그리고 그녀의 동시대 사람들에게 개인적인 영향을 미친 그녀 덕분입니다.^[44]

그녀는 때때로 그녀의 동료들과 학생들이 그녀의 아이디어에 대한 학점을 받도록 하여, 그들이 자신의 희생으로 그들의 진로를 개발하도록 도왔습니다.^[45]

노에테르의 대수학 연구는 1920년에 시작되었습니다. 그리고 나서 그녀는 W. Schmeidler와 협력하여 좌우의 이상을 고리로 정의하는 이상 이론에 관한 논문을 발표했습니다.^{[citation needed]}

다음 해에 그녀는 (수학적) 이상과 관련하여 상승 사슬 조건을 분석하는 ^[46]Ringbereichen의 이상 이론이라는 논문을 발표했습니다. 저명한 대수학자 어빙 카플란스키(Irving Kaplansky)는 이 연구를 "혁명적"이라고 불렀습니다.^[47] 이 출판물은 "노에트리안 링"이라는 용어를 만들어냈고 다른 여러 수학적 대상을 노에트리안으로 명명했습니다.^[47][48]

1924년 네덜란드의 젊은 수학자 B.L. van der Waerden이 괴팅겐 대학에 도착했습니다. 그는 즉시 추상적 개념화의 귀중한 방법을 제공한 노에테르와 함께 일하기 시작했습니다. 반 데어 베르덴(Van der Waerden)은 나중에 그녀의 독창성이 "비교할 수 없을 정도로 절대적"이라고 말했습니다.^[49] 1931년에 그는 이 분야의 중심 텍스트인 현대 대수학을 출판했습니다. 그것의 두 번째 권은 노에테르의 연구로부터 많이 차용되었습니다. 노에더는 인정을 구하지 않았지만, 그는 "E의 강의에 부분적으로 기반을 둔" 일곱 번째 판에 메모로 포함시켰습니다. 아르틴과 E. 아니더.^[50][51][45]

반 데어 베르덴의 방문은 괴팅겐에 전 세계 수학자들이 모여 수학 및 물리학 연구의 주요 중심지가 된 것의 일부였습니다. 1926년부터 1930년까지 러시아의 지형학자 파벨 알렉산드로프가 이 대학에서 강의를 했고, 그와 노에테르는 금세 좋은 친구가 되었습니다. 그는 존경을 표하기 위해 남성적인 독일어 기사를 사랑의 용어로 사용하면서 그녀를 노에테르(Noether)라고 부르기 시작했습니다. 그녀는 그가 괴팅겐에서 정규 교수직을 얻을 수 있도록 주선하려고 했지만, 록펠러 재단으로부터 장학금을 받는 데 도움을 줄 수 있었습니다.^[52][53] 그들은 정기적으로 만났고 대수학과 위상수학의 교차점에 대한 토론을 즐겼습니다. 1935년 추모 연설에서 알렉산드로프는 에미 노에더를 "역사상 가장 위대한 여성 수학자"로 선정했습니다.^[54]

대학원생 및 영향력 있는 강의

수학적 통찰력 외에도, 노에테르는 다른 사람들을 배려하는 것으로 존경을 받았습니다. 비록 그녀는 때때로 자신에게 동의하지 않는 사람들에게 무례하게 행동했지만, 그럼에도 불구하고 그녀는 신입생들의 끊임없는 도움과 인내심 있는 지도로 명성을 얻었습니다. 수학적 정밀성에 대한 그녀의 충성심으로 인해 한 동료는 그녀를 "엄청난 비평가"라고 이름 지었지만, 그녀는 정확성에 대한 이러한 요구와 양육 태도를 결합했습니다.^[55] 한 동료는 나중에 그녀를 이렇게 묘사했습니다.

완전히 무교적이고 허영심이 없는 그녀는 자신을 위해 어떤 것도 주장하지 않았지만, 무엇보다도 그녀의 학생들의 작품을 홍보했습니다.^[56]

에를랑겐

에를랑겐에서 지내는 동안, 노에더는 두 명의 박사과정 학생들에게 다음과 같이 조언했습니다. 1911년과 1916년에 각각 자신들의 논문을 변호한 한스 팔켄베르크와 프리츠 사이델만. 노에더의 중요한 역할에도 불구하고, 둘 다 공식적으로 그녀의 아버지 막스 노에더의 감독 아래 있었습니다. 박사학위를 마친 팔켄베르크는 브라운슈바이크와 쾨니히스베르크에서 시간을 보낸 후 기센 대학교 교수가 되었고, 자이델만은 뮌헨 교수가 되었습니다.^[57]

괴팅겐

괴팅겐에서 노에테르는 12명 이상의 박사과정 학생들을 지도했습니다. 그녀의 첫 번째 학생은 그레테 헤르만으로 1925년 2월에 그녀의 논문을 변호했습니다. 그녀는 나중에 그녀의 "불만-어머니"에 대해 경건하게 말했습니다.^[58] 노에테르는 또한 막스 듀링을 지도하였는데, 그는 학부생으로서 두각을 나타내었고 산술 기하학 분야에 공헌하였다. Tsen)의 정리를 증명한 영어의 Tsen). 그녀는 또한 그의 Hauptidealsatz와 교환 고리에 대한 치수 이론으로 교환 대수를 크게 발전시킨 Wolfgang Krull과 긴밀히 협력했습니다.^[59]

처음에 그녀의 검소한 생활 방식은 그녀가 일에 대한 대가를 지불하지 않았기 때문이었지만, 1923년에 대학이 그녀에게 적은 월급을 주기 시작한 후에도 그녀는 소박하고 소박한 삶을 계속 살았습니다. 그녀는 나중에 더 후하게 월급을 받았지만 조카인 고트프리트 E에게 물려주기 위해 월급의 절반을 저축했습니다. 아니요.^[60]

전기 작가들은 그녀가 공부에 집중하면서 외모와 매너에 대해 대부분 관심이 없었다고 말합니다. 올가 타우스키 토드(Olga Taussky-Todd)는 브린 모어 칼리지(Bryn Mawr College)에서 노에더가 가르친 저명한 대수학자로, 수학에 대한 토론에 완전히 몰두한 노에더가 식사할 때 "제스쳐를 마구 취했고" "음식을 끊임없이 쏟고 드레스에서 완전히 지워버렸다"고 설명했습니다.^[61] 그녀가 블라우스에서 손수건을 꺼내면서 외모에 신경을 쓰는 학생들이 웅얼거렸고, 강의 도중 점점 머리가 흐트러지는 것을 무시했습니다. 2시간 수업 중 쉬는 시간에 여학생 두 명이 다가와 걱정을 토로한 적이 있지만, 다른 학생들과 나누던 활기찬 수학 토론을 뚫지 못했습니다.^[62]

반 데어 베르덴(Van der Waerden)의 에미 노에더(Emmy Noether) 부고에 따르면, 그녀는 강의를 위한 수업 계획을 따르지 않았으며, 이는 일부 학생들을 좌절시켰습니다. 대신에, 그녀는 그녀의 강의를 그녀의 학생들과 즉흥적으로 토론하는 시간으로 사용했고, 수학의 중요한 문제들을 생각하고 명확히 했습니다. 그녀의 가장 중요한 결과들 중 일부는 이 강의들에서 발전되었고, 그녀의 학생들의 강의 노트들은 반 데르 베르덴과 디우링의 강의 노트들과 같은 몇몇 중요한 교과서들의 기초를 형성했습니다.^[63]

그녀의 몇몇 동료들이 그녀의 강의에 참석했고, 그녀는 그녀의 아이디어 중 일부를 다른 사람들에 의해 출판되도록 허락했습니다. 예를 들어, 연관 대수의 교차 곱(독일어로 verschränktes Prodkt). 괴팅겐에서 적어도 5학기 동안 강의를 한 것으로 기록된 노에테르:^[64]

• 1924/1925년 겨울: Gruppen theory und hyperkomplexe Zahlen [집단 이론과 초복소수]
• 1927/1928년 겨울: 하이퍼콤플렉스 그뢰센과 다스텔룽스 이론 [초복잡한 양과 표현 이론]
• 1928년 여름 : 닉트 가환 대수 [비가환 대수]
• 1929년 여름: 닉트 가환 산술[비가환 산술]
• 1929/30년 겨울: 초복잡량 대수학(Algria der hyperkomplexen Gössen)

이러한 과정은 종종 동일한 주제에 대한 주요 출판물보다 앞서 있습니다.

많은 사람들은 생각의 속도를 반영하여 노에더가 빠르게 말했고 학생들에게 엄청난 집중력을 요구했다고 말했습니다. 그녀의 스타일을 싫어하는 학생들은 종종 소외감을 느꼈습니다.^[65][66] 어떤 학생들은 그녀가 즉흥적인 토론에 너무 많이 의존한다고 느꼈습니다. 그러나 그녀의 가장 헌신적인 학생들은 특히 그녀의 강의가 종종 그들이 함께 했던 초기 작업을 기반으로 했기 때문에 그녀가 수학에 접근하는 열정을 즐겼습니다.^{[citation needed]}

그녀는 비슷한 노선을 따라 생각하고 그렇지 않은 사람들을 배제하는 경향이 있는 동료와 학생들의 긴밀한 서클을 발전시켰습니다. 이따금 노에테르의 강의를 들렀던 '외부인'들은 답답하거나 혼란스러운 채 방 안에서 30분만 시간을 보낸 뒤 자리를 떠납니다. 한 일반 학생은 그런 경우에 대해 이렇게 말했습니다: "적이 패배했습니다. 그는 도망쳤습니다."^[67]

노에더는 자신의 과목과 학생들에게 학업일을 넘어서는 헌신을 보여주었습니다. 한번은 주휴일로 건물이 문을 닫았을 때, 그녀는 밖의 계단에 학급을 모아 숲 속을 안내하고 지역 커피 하우스에서 강의를 했습니다.^[68] 나중에, 나치 독일이 그녀를 가르치는 것을 그만두게 한 후, 그녀는 학생들을 미래에 대한 계획과 수학적 개념에 대해 논의하기 위해 그녀의 집으로 초대했습니다.^[69]

모스크바

1928-1929년 겨울, 노에테르는 모스크바 주립 대학교에 초청을 수락했고, 그곳에서 그녀는 PS와 계속 일했습니다. 알렉산드로프. 그녀는 연구를 계속하는 것 외에도 추상 대수학과 대수 기하학 수업을 가르쳤습니다. 그녀는 위상학자 레프 폰트랴긴(Lev Pontryagin)과 니콜라이 체보타료프(Nikolai Chebotaryov)와 함께 일했는데, 그는 나중에 갈루아 이론의 발전에 그녀의 기여를 칭찬했습니다.^[70][71][72]

비록 정치가 그녀의 삶의 중심은 아니었지만, 노에테르는 정치 문제에 깊은 관심을 가졌고, 알렉산드로프에 따르면 러시아 혁명에 상당한 지지를 보였습니다. 그녀는 특히 볼셰비키 프로젝트에 의해 가능해진 새로운 기회를 나타내는 과학과 수학 분야에서 소련의 발전을 보게 되어 기뻤습니다. 이러한 태도는 학생 지도자들이 "마르크스주의 성향의 유대인"과 함께 사는 것에 대해 불평한 후 독일에서 그녀의 문제를 일으켰고, 그녀는 펜션 숙박 건물에서 퇴거하는 것으로 끝이 났습니다.^[73]

노에테르는 알렉산드로프의 지원을 받기 위해 모스크바로 돌아갈 계획이었습니다. 1933년 그녀가 독일을 떠난 후, 그는 소련 교육부를 통해 그녀가 모스크바 국립 대학교에서 의자를 가질 수 있도록 도와주려고 노력했습니다. 비록 이 노력이 성공하지 못한 것으로 판명되었지만, 그들은 1930년대 동안 자주 서신을 주고받았으며, 1935년에 그녀는 소련으로의 복귀를 위한 계획을 세웠습니다.^[73] 한편, 그녀의 오빠 프리츠는 독일에서 직장을 잃은 후 러시아 시베리아 연방구 톰스크에 있는 수학 및 역학 연구소의 자리를 수락했습니다.^[74] 그는 이후 메드베데프 숲 대학살 중에 처형되었습니다.^[75]

나치 독일에 의한 괴팅겐 추방

1933년 1월 아돌프 히틀러가 독일 제국의 황제가 되었을 때, 나치의 활동은 극적으로 증가했습니다. 괴팅겐 대학에서 독일 학생회는 유대인에게 귀속된 "비독일 정신"에 대한 공격을 주도했고 노에테르의 학생이었던 베르너 베버라는 사립 학생의 도움을 받았습니다. 반유대주의적 태도는 유대인 교수들에게 적대적인 분위기를 조성했습니다. 한 젊은 시위자는 "아리안 학생들은 유대인 수학이 아닌 아리아인 수학을 원한다"고 요구했다고 합니다.^[76]

히틀러 행정부의 첫 번째 조치들 중 하나는 1차 세계 대전에 복무함으로써 "독일에 대한 충성심을 입증"하지 않았다면 유대인과 정치적으로 의심스러운 공무원 (대학 교수를 포함한)을 그들의 직업에서 제외시킨 직업 공무원 복무 회복을 위한 법이었습니다. 1933년 4월 노에테르는 한 "1933년 4월 7일 공무원 법전 제3항에 의거하여, 나는 괴팅겐 대학교에서 강의할 권리를 당신으로부터 철회합니다."^[77][78]라고 쓰여진 프로이센 과학, 예술 및 공교육부의 통지. 막스 본과 리처드 쿠랑을 포함한 노에더의 몇몇 동료들도 그들의 직위가 취소되었습니다.^[77][78]

노에더는 이 어려운 시기에 다른 사람들을 지원하면서 침착하게 결정을 받아들였습니다. 헤르만 바일은 나중에 "에미 노에테르, 그녀의 용기, 솔직함, 그녀 자신의 운명에 대한 무관심, 그녀의 회유 정신은 우리를 둘러싼 모든 증오와 비열함, 절망과 슬픔, 도덕적 위안"이라고 썼습니다.^[76] 전형적으로, 노에더는 수업 현장 이론을 논의하기 위해 그녀의 아파트에 학생들을 모으면서 수학에 집중했습니다. 그녀의 학생들 중 한 명이 나치 준군사조직인 슈투르맙테일룽(SA)의 유니폼을 입고 나타났을 때, 그녀는 동요하는 기색을 보이지 않았고 심지어 나중에 그것에 대해 웃었다고 보도되었습니다.^[77][78]

미국의 브린 모어와 프린스턴에 있는 피난처

새로 실업한 수십 명의 교수들이 독일 밖에서 일자리를 찾기 시작하면서, 미국에 있는 그들의 동료들은 그들에게 도움과 일자리를 제공하려고 노력했습니다. 알버트 아인슈타인과 헤르만 바일은 프린스턴 고등연구소에 의해 임명되었고, 다른 사람들은 합법적인 이민에 필요한 후원자를 찾기 위해 일했습니다. 노에더는 미국의 Bryn Mawr College와 영국의 옥스퍼드 대학의 Somervil College 두 교육 기관의 대표자들로부터 연락을 받았습니다. 록펠러 재단과 일련의 협상 끝에, 브린 모어에게 주는 보조금이 노에더를 위해 승인되었고, 1933년 말부터 그녀는 그곳에 자리를 잡았습니다.^[79][80]

브린 모어(Bryn Mawr)에서 노에테르는 괴팅겐(Göttingen)에서 공부한 안나 휠러(Anna Wheeler)를 만나 친구가 되었습니다. 이 대학의 또 다른 지원원은 브린 모어(Bryn Mawr) 총장인 마리온 에드워즈 파크(Marion Edwards Park)로, 이 대학의 수학자들에게 "박사님을 만나라"고 열렬히 요청했습니다. 작전 중인 사람은 없습니다!"^[81][82] 노에테르와 소규모 학생 팀은 1930년 판 데르 베르덴의 책 모던 대수 1과 에리히 헤케의 대수학 이론의 일부를 통해 빠르게 연구했습니다.^[83]

1934년 노에더는 에이브러햄 플렉스너와 오스왈드 베블렌의 초청으로 프린스턴 고등연구소에서 강의를 시작했습니다.^[84] 그녀는 또한 아브라함 알버트와 해리 밴디버와 함께 일하고 감독했습니다.^[85] 그러나 그녀는 프린스턴 대학에 대해 "여성이 입학하지 않는 남자 대학"에서는 환영받지 못한다고 말했습니다.^[86]

그녀의 미국에서의 시간은 그녀가 지지해주는 동료들에게 둘러싸여 있었고, 그녀가 좋아하는 과목들에 몰두했던 것처럼 즐거웠습니다.^[87] 1934년 여름, 그녀는 톰스크로 떠나기 전 에밀 아르틴과 그녀의 오빠 프리츠를 보기 위해 잠시 독일로 돌아갔습니다. 비록 그녀의 예전 동료들 중 많은 이들이 대학에서 쫓겨났지만, 그녀는 "외국인 학자"로서 도서관을 이용할 수 있었습니다.^[88][89] 사건 없이, 노에더는 미국으로 돌아왔고 브린 모어에서 공부했습니다.

죽음.

1935년 4월 의사들은 노에더의 골반에서 종양을 발견했습니다. 수술로 인한 합병증을 걱정한 그들은 우선 이틀간의 침대 휴식을 주문했습니다. 수술 중에 그들은 "큰 캔털루프 크기의" 난소 낭종을 발견했습니다.^[90] 그녀의 자궁에 있는 두 개의 작은 종양은 양성으로 보였고 수술의 장기화를 피하기 위해 제거되지 않았습니다. 3일 동안 정상적으로 회복된 것으로 보였고, 4일에 순환기 붕괴에서 빠르게 회복되었습니다. 4월 14일, 노에테르는 의식을 잃고 쓰러졌고, 그녀의 체온은 109°F (42.8°C)까지 치솟았고, 그녀는 사망했습니다. "[저는] 닥터에게 무슨 일이 일어났는지 말하기가 쉽지 않습니다. 아니더"라고 의사 중 한 명이 썼습니다. "열 센터가 있어야 할 뇌의 기저부에 어떤 형태로든 특이하고 독성이 강한 감염이 있었을 가능성이 있습니다."^[90] 향년 53세.^[5]

노에더가 죽은 지 며칠 후, 그녀의 친구들과 브린 모어의 동료들은 대학 박 대통령의 집에서 작은 추모식을 열었습니다. 헤르만 바일과 리차드 브라우어는 프린스턴에서 여행을 왔고 휠러와 타우스키와 함께 그들의 떠난 동료에 대해 이야기했습니다. 그 후 몇 달 동안, 글로 쓰인 헌사가 전 세계에 나타나기 시작했습니다. 알버트 아인슈타인은 반 데르 베르덴, 바일, 파벨 알렉산드로프와 함께 경의를 표했습니다.^[2] 그녀의 시신은 화장되었고 재는 브린 모어에 있는 M. 캐리 토마스 도서관 회랑 주변 통로 아래에 묻혔습니다.^[91][92]

수학과 물리학에 대한 공헌

이 섹션은 확인을 위해 추가 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 미가공 재료는 도전하여 제거할 수 있습니다. (2020년 7월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 알아보기)

추상 대수학과 위상수학에서 노에더의 연구는 수학에 영향을 미쳤고, 노에더의 정리는 이론 물리학과 동역학 시스템에 광범위한 영향을 미칩니다. 에테르는 추상적 사고에 대한 날카로운 경향을 보여주었고, 이것은 그녀가 수학의 문제에 신선하고 독창적인 방식으로 접근할 수 있게 해주었습니다.^[33] 그녀의 친구이자 동료인 헤르만 바일(Hermann Weyl)은 그녀의 학술적 성과를 세 가지 시대로 나누어 설명했습니다.

(1) 상대적 의존의 시기, 1907–1919.

(2) 1920–1926의 이상에 관한 일반론을 중심으로 한 조사.

(3) 비가환 대수, 선형 변환에 의한 그 표현, 그리고 가환수장과 그 산술의 연구에 대한 적용에 대한 연구.

— Weyl 1935

첫 번째 시대(1907-1919)에 노에테르는 폴 고단 아래에서 논문을 시작으로 미분 및 대수 불변량을 주로 다루었습니다. 그녀의 수학적 지평은 넓어지고, 그녀의 작품은 고단의 후계자인 에른스트 지기스문트 피셔와의 긴밀한 상호작용을 통해 다비드 힐베르트의 작품을 알게 되면서 더 일반적이고 추상적이 되었습니다. 1915년 괴팅겐으로 이사한 직후, 그녀는 물리학에 대한 그녀의 유일하면서도 근본적인 기여인 두 노에테르의 정리를 증명했습니다.^[7]

두 번째 시대(1920-1926)에 노에테르는 수학적 고리 이론을 개발하는 데 전념했습니다.^[93] 제3기(1927-1935)에 노테르는 비가환 대수학, 선형 변환 및 가환수 분야에 중점을 두었습니다.^[94] 비록 노에테르의 첫 번째 시대의 결과가 인상적이고 유용했지만, 수학자들 사이에서 그녀의 명성은 헤르만 바일과 반 데어 베르덴이 그녀의 부고에서 언급한 바와 같이 그녀가 두 번째와 세 번째 시대에 했던 획기적인 연구에 더 달려 있습니다.

이러한 시대에 그녀는 단순히 초기 수학자들의 아이디어와 방법을 적용하는 것이 아니라 미래의 수학자들이 사용할 수학적 정의의 새로운 시스템을 만들고 있었습니다. 특히, 그녀는 반지의 이상에 대한 완전히 새로운 이론을 개발하여 리차드 데데킨드의 초기 연구를 일반화했습니다. 그녀는 또한 그녀의 손에서 강력한 결과를 산출하는 단순한 유한 조건인 상승 사슬 조건을 개발하는 것으로 유명합니다. 그러한 조건과 이상 이론은 노에테르가 많은 오래된 결과를 일반화하고 아버지가 연구했던 제거 이론과 대수적 다양성과 같은 새로운 관점에서 오래된 문제를 다룰 수 있게 해주었습니다.

역사적 맥락

1832년부터 1935년 노이더가 사망할 때까지 한 세기 동안, 수학 분야, 특히 대수학 분야는 심오한 혁명을 겪었고, 그 잔향은 여전히 느껴지고 있습니다. 이전 세기의 수학자들은 나침반과 직선을 사용하여 규칙적인 다각형을 구성하는 관련 문제뿐만 아니라 입방체, 4차 방정식, 5차 방정식과 같은 특정 유형의 방정식을 풀기 위한 실용적인 방법을 연구했습니다. 칼 프리드리히 가우스가 가우스 정수에 5와 같은 소수를 인수분해할 수 있다는 1832년의 증명을 시작으로,^[95] 에바리스테 갈루아가 1832년에 순열군을 도입한 것(그의 사망으로 인해 그의 논문은 1846년에야 리우빌에 의해 발표되었다), 윌리엄 로완 해밀턴이 1843년에 사분위수를 발견한 것, 그리고 1854년 Arthur Cayley의 보다 현대적인 그룹 정의에 대한 연구는 점점 더 보편적인 규칙에 의해 정의되는 점점 더 추상적인 시스템의 속성을 결정하는 것으로 돌아섰습니다. 수학에 대한 노에테르의 가장 중요한 공헌은 이 새로운 분야인 추상대수학의 발전에 있었습니다.^[96]

추상대수학과 베글리쉬 수학에 관한 배경(개념수학)

추상대수학에서 가장 기본적인 대상 중 두 가지는 군과 고리입니다.

그룹은 요소 집합과 첫 번째 요소와 두 번째 요소를 결합하고 세 번째 요소를 반환하는 단일 연산으로 구성됩니다. 연산은 그룹을 결정하기 위한 특정 제약 조건을 충족해야 합니다. (연관 집합의 요소 쌍에 적용할 경우 생성된 요소도 해당 집합의 구성원이어야 함), 연관성이 있어야 함, 동일성 요소(연산을 사용하여 다른 요소와 결합할 경우 해당 요소)가 있어야 함. 숫자에 1을 곱한 것과 같이 원래의 요소가 생성되며, 모든 요소에 대해 역 요소가 있어야 합니다.^[97][98]

마찬가지로 링에도 요소 집합이 있지만 현재는 두 가지 작업이 있습니다. 첫 번째 작업은 집합을 교환 그룹으로 만들어야 하며, 두 번째 작업은 첫 번째 작업과 관련하여 연관성과 분배성을 갖습니다. 교환식일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 즉, 첫 번째 요소와 두 번째 요소에 연산을 적용한 결과가 두 번째 요소와 첫 번째 요소와 동일하다는 것을 의미합니다. 요소의 순서는 중요하지 않습니다.^[99] 0이 아닌 모든 원소가 곱셈적 역수(x = x a = 1이 되는 원소 x)를 갖는 경우, 그 고리를 나눗셈 고리라고 합니다. 필드는 교환 분할 링으로 정의됩니다. 예를 들어, 정수는 요소가 정수이고 결합 연산은 덧셈과 곱셈인 교환 고리를 형성합니다. 임의의 정수 쌍은 덧셈 또는 곱셈이 가능하여 항상 다른 정수가 생성되며, 첫 번째 연산인 덧셈은 가환, 즉 고리의 임의의 원소 a와 b에 대해 a + b = b + a입니다. 두 번째 연산인 곱셈도 가환적이지만 다른 고리의 경우에는 그럴 필요가 없으며, 이는 b와 결합된 a가 a와 결합된 b와 다를 수 있음을 의미합니다. 비상호환의 예로는 행렬과 쿼터니언이 있습니다. 두 번째 연산이 항상 반전될 수 없기 때문에 정수는 분할 고리를 형성하지 않습니다. 예를 들어 3a = 1과 같은 정수는 없습니다.

정수는 모든 교환 고리에 일반화되지 않는 추가 속성을 갖습니다. 중요한 예는 모든 양의 정수를 소수로 고유하게 인수분해할 수 있다는 산술의 기본 정리입니다.^[102] 유일한 소인수분해가 다른 고리에 항상 존재하는 것은 아니지만, 노에테르는 많은 고리의 이상에 대해 현재 라스커-노에테르 정리라고 불리는 독특한 소인수분해 정리를 발견했습니다. 노에테르의 연구의 대부분은 모든 고리에 대해 어떤 성질이 성립하는지 결정하고, 오래된 정수 정리의 새로운 유사체를 고안하고, 고리의 특정 성질을 산출하는 데 필요한 최소한의 가정 집합을 결정하는 데 있습니다.

그룹은 그룹 표현을 통해 자주 연구됩니다. 가장 일반적인 형태에서는 그룹, 집합 및 집합에 대한 그룹의 작업 선택, 즉 그룹의 요소와 집합의 요소를 취하고 집합의 요소를 반환하는 작업으로 구성됩니다. 가장 일반적으로 집합은 벡터 공간이며 그룹은 벡터 공간의 대칭을 나타냅니다. 예를 들어, 공간의 경직된 회전을 나타내는 그룹이 있습니다. 이것은 공간의 대칭의 한 종류인데, 왜냐하면 공간 안에 있는 물체들의 위치가 바뀌어도 공간 자체는 변하지 않기 때문입니다. 어떤 사람도 물리학의 불변량에 대한 연구에서 이러한 종류의 대칭성을 사용하지 않았습니다.

반지를 연구하는 강력한 방법은 모듈을 통해서입니다. 모듈은 일반적으로 링의 기본 세트와 구별되고 모듈의 기본 세트라고 불리는 링의 선택, 모듈의 기본 세트의 요소 쌍에 대한 연산, 그리고 링의 요소와 모듈의 요소를 취하고 모듈의 요소를 반환하는 연산으로 구성됩니다.^[103]

모듈의 기본 세트와 모듈의 작동은 그룹을 구성해야 합니다. 모듈은 그룹 표현의 링 이론 버전입니다. 두 번째 링 연산과 모듈 요소 쌍에 대한 연산을 무시하면 그룹 표현이 결정됩니다. 모듈의 진정한 유용성은 존재하는 모듈의 종류와 그 상호 작용이 링 자체에서 명확하지 않은 방식으로 링의 구조를 드러낸다는 것입니다. 이것의 중요한 특별한 경우는 대수입니다. (대수학이라는 단어는 대수학이라는 과목에서 공부되는 대상뿐만 아니라 수학 내의 한 과목을 의미합니다.) 대수학은 두 개의 고리의 선택과 각 고리의 원소를 가져와 두 번째 고리의 원소를 반환하는 연산으로 구성됩니다. 이 작업을 통해 두 번째 링이 첫 번째 링보다 모듈이 됩니다. 종종 첫번째 반지는 들판입니다.

"요소", "결합 연산"과 같은 단어는 매우 일반적이며, 많은 실제 및 추상적인 상황에 적용할 수 있습니다. 한 가지(또는 두 가지) 연산에 대한 모든 규칙을 따르는 모든 집합은 정의에 따라 그룹(또는 링)이며 그룹(또는 링)에 대한 모든 정리를 따릅니다. 정수와 덧셈과 곱셈의 연산은 하나의 예에 불과합니다. 예를 들어, 요소는 컴퓨터 데이터 워드일 수 있습니다. 여기서 첫 번째 결합 작업은 배타적이거나 두 번째 결합 작업은 논리적 결합입니다. 추상대수의 정리는 일반적이기 때문에 강력합니다; 그들은 많은 시스템을 지배합니다. 그렇게 적은 속성으로 정의된 물체에 대해 거의 결론을 내릴 수 없다고 상상할 수 있지만, 정확히는 주어진 속성 집합에서 결론을 내릴 수 있는 최대치를 발견하거나, 반대로 특정 관찰을 담당하는 필수 속성인 최소 집합을 식별하기 위한 노에테르의 선물이 놓여 있습니다. 대부분의 수학자들과 달리, 그녀는 알려진 예들을 일반화하여 추상화를 만든 것이 아니라 추상화를 직접 작업했습니다. 그녀의 제자 반 데르 베르덴은 노에테르의 부고에서 다음과 같이 회상했습니다.

에미 노에더가 그녀의 연구를 통해 지도한 격언은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다: "숫자, 함수, 연산 사이의 모든 관계는 그들의 특정 대상으로부터 격리되고 보편적으로 유효한 개념으로 공식화된 후에만 투명하고, 일반적으로 적용 가능하며, 완전히 생산적이 됩니다."^[104]

이것이 바로 노에테르의 특징이었던 경건한 수학(순수 개념수학)입니다. 이 수학 스타일은 결과적으로 다른 수학자들, 특히 추상 대수학 분야에서 채택되었습니다.^[105]

제1기(1908~1919)

대수 불변론

그녀의 경력 첫 시대에 노에더의 많은 연구는 불변 이론, 주로 대수 불변 이론과 관련이 있습니다. 불변 이론은 변환 그룹 하에서 일정하게 유지되는 표현(불변)과 관련이 있습니다. 일상적인 예로, 강체 잣대를 회전시키면 끝점의 좌표(x, y, z)와 (x, y, z)가 변하지만 공식 L = δx + δy + δz로 주어진 길이 L은 그대로 유지됩니다. 불변 이론은 19세기 후반에 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 의해 촉발된 활발한 연구 분야였으며, 이에 따라 다양한 유형의 기하학은 투영 기하학의 교차 비율과 같은 변환 하에서 불변성으로 특징지어져야 합니다.

불변량의 예로는 이진 이차 형식 x·A x+y·B x+y·Cy의 판별식² B - 4 AC가 있습니다. 여기서 x와 y는 벡터이고 "·"는 벡터의 내적 또는 내적입니다. A, B 및 C는 벡터의 선형 연산자(일반적으로 행렬)입니다.

판별식은 행렬식이 d - bc = 1인 선형 치환 x → a x + by, y → c x + dy에 의해 변하지 않으므로 "invariant"라고 불립니다.

SL의₂ 작용에 의해 변하지 않는 A, B, C의 모든 다항식을 요구할 수 있습니다. 이를 이진 이차 형식의 불변량이라고 하며 판별식에서 다항식으로 밝혀집니다.

보다 일반적으로, 동차 다항식 Axy₀^r0 + ...의 불변량을 요구할 수 있습니다. + 계수_r^0r A₀, ..., A_r, 그리고 더 일반적으로 두 개 이상의 변수에서 동차 다항식에 대해 유사한 질문을 할 수 있습니다.

불변 이론의 주요 목표 중 하나는 "무한 기저 문제"를 해결하는 것이었습니다. 임의의 두 불변량의 합 또는 곱은 불변이며 유한 기저 문제는 생성기라고 하는 유한한 불변량 목록에서 시작하여 생성기를 함께 더하거나 곱하여 모든 불변량을 얻을 수 있는지 물었습니다. 예를 들어, 판별자는 이진 이차 형식의 불변량에 대해 유한한 기초를 제공합니다.

노에테르의 조언자 폴 고단은 "불변 이론의 왕"으로 알려져 있었고, 수학에 대한 그의 주요 공헌은 두 변수의 동차 다항식의 불변량에 대한 유한 기저 문제를 1870년에 해결한 것입니다.^[107][108] 그는 모든 불변량과 생성자를 찾는 건설적인 방법을 제공함으로써 이를 증명했지만, 세 개 이상의 변수에서 불변량에 대한 이 건설적인 접근법을 수행할 수 없었습니다. 1890년 데이비드 힐버트는 임의의 수의 변수에서 동차 다항식의 불변량에 대해 유사한 진술을 증명했습니다.^[109][110] 또한 그의 방법은 특수 선형 그룹뿐만 아니라 특수 직교 그룹과 같은 하위 그룹의 일부에도 효과가 있었습니다.^[111]

갈루아 이론

갈루아 이론은 방정식의 근을 치환하는 수장의 변환에 관한 것입니다.^[112] 실수, 유리수, 정수 모듈로 7과 같은 어떤 기저장에서 계수를 추출한 n차 변수 x의 다항식을 생각해 보자. 이 다항식을 0으로 평가하게 하는 x의 선택이 있을 수도 있고 없을 수도 있습니다. 그러한 선택들이 존재한다면, 그것들은 뿌리라고 불립니다. 예를 들어, 다항식이 x² + 1이고 필드가 실수라면, x를 선택하면 다항식이 1 이상이 되기 때문에 다항식은 근이 없습니다. 그러나 필드가 확장되면 다항식이 뿌리를 얻을 수 있으며 충분히 확장되면 항상 차수와 동일한 수의 뿌리를 갖게 됩니다.

앞의 예를 계속해서, 만약 필드를 복소수로 확대하면, 다항식은 두 근 +i와 -i를 얻게 되는데, 여기서 i는 허수 단위, 즉 i = -1입니다. 더 일반적으로 다항식을 근에 인수분해할 수 있는 확장 필드를 다항식의 분할 필드라고 합니다.

다항식의 갈루아 군은 접지장과 다항식의 근을 보존하는 분할장의 모든 변환의 집합입니다.^[114] (이러한 변환을 오토모피즘이라고 합니다.) x² + 1의 갈루아 군은 다음과 같은 두 가지 요소로 구성됩니다. 모든 복소수를 자기 자신에게 보내는 항등식 변환과 +i를 -i로 보내는 복소수 컨쥬게이션. Galois 그룹은 접지 필드를 변경하지 않으므로 다항식의 계수를 변경하지 않으므로 모든 근의 집합을 변경하지 않아야 합니다. 그러나 각 루트는 다른 루트로 이동할 수 있으므로 변환은 n개 루트의 순열을 결정합니다. 갈루아 그룹의 중요성은 갈루아 이론의 기본 정리에서 비롯되며, 이는 지면과 분할 필드 사이에 놓여 있는 필드가 갈루아 그룹의 하위 그룹과 일대일 대응 관계에 있음을 증명합니다.^[115]

1918년, 노에테르는 역갈루아 문제에 대한 논문을 발표했습니다.^[116] 노에테르는 주어진 장의 변환과 그 확장의 갈루아 군을 결정하는 대신, 주어진 군을 그 갈루아 군으로 하는 장의 확장을 항상 찾을 수 있는지 물었습니다. 그녀는 이것을 k(x₁, ..., x_n) 필드에 작용하는 치환군 S의_n 부분군 G의 고정된 필드가 항상 k 필드의 순수한 초월론적 확장인지를 묻는 "Neether's problem"으로 축소했습니다. (그녀는 1913년 논문에서 이 문제를 처음 언급했고,^[117] 동료 Fischer에게 문제를 돌렸습니다.) 그녀는 이것이 n = 2, 3 또는 4에 대해서 사실임을 보여주었습니다. 1969년 리처드 스완은 노에테르 문제에 대한 역 example을 발견했는데, n=47과 G는 47차수의 순환군입니다. 역 갈루아 문제는 여전히 해결되지 않은 채로 남아 있습니다.^[119]

물리학

1915년 데이비드 힐베르트와 펠릭스 클라인은 그녀의 불변 이론에 대한 전문 지식이 알베르트 아인슈타인에 의해 개발된 중력의 기하학적 이론인 ^[120]일반 상대성 이론을 이해하는 데 도움이 되기를 원했습니다. 힐베르트는 중력 에너지 자체가 중력을 일으킬 수 있기 때문에 일반 상대성 이론에서 에너지 보존이 위배되는 것처럼 보인다는 것을 관찰했습니다. 노르에테르는 1915년에 증명한 노르에테르의 첫 번째 정리와 함께 이 역설의 해결책과 현대 이론 물리학의 기본 도구를 제공했지만 1918년까지 발표하지 않았습니다.^[121] 그녀는 일반 상대성 이론의 문제를 해결했을 뿐만 아니라, 어느 정도 연속적인 대칭성을 가지고 있는 모든 물리 법칙의 계에 대해 보존되는 양을 결정했습니다.^[122] 그녀의 작품을 받은 아인슈타인은 힐베르트에게 다음과 같이 편지를 썼습니다.

어제 저는 노에더 양으로부터 불변량에 관한 매우 흥미로운 논문을 받았습니다. 그런 것들이 그렇게 일반적으로 이해될 수 있다는 것에 감명을 받았습니다. 괴팅겐의 늙은 경비원은 노에더 양에게 몇 가지 교훈을 받아야 합니다! 그녀는 자신의 물건을 알고 있는 것 같습니다.^[123]

예를 들어, 물리계가 공간에서 어떻게 방향을 잡는지에 관계없이 동일하게 행동한다면, 이를 지배하는 물리 법칙은 회전 대칭입니다. 이 대칭성으로부터 시스템의 각운동량은 보존되어야 한다는 것을 노에더의 정리가 보여줍니다.^[124] 물리계 자체가 대칭일 필요는 없습니다. 우주에서 들쭉날쭉한 소행성은 비대칭임에도 불구하고 각운동량을 보존합니다. 오히려 시스템을 지배하는 물리 법칙의 대칭성이 보존 법칙에 책임이 있습니다. 또 다른 예로, 어떤 물리적 실험이 어떤 장소에서 언제든지 같은 결과를 가져온다면, 그 법칙은 공간과 시간의 연속적인 변환 하에서 대칭입니다. 노에더의 정리에 따르면, 이 대칭들은 각각 이 계 내에서 선운동량과 에너지의 보존 법칙을 설명합니다.^[125]

노에테르의 정리는 보존 법칙에 대한 통찰력 때문에 현대 이론 물리학의 기본 도구가 되었고, 또한 실용적인 계산 도구가 되었습니다.^[4] 그녀의 정리를 통해 연구자들은 물리적 시스템의 관찰된 대칭으로부터 보존된 양을 결정할 수 있습니다. 반대로, 그것은 가상의 물리 법칙의 클래스에 기초한 물리적 시스템의 설명을 용이하게 합니다. 예를 들어, 새로운 물리적 현상이 발견되었다고 가정해 보겠습니다. 노에테르의 정리는 현상의 이론적 모델에 대한 테스트를 제공합니다.

이론이 연속적인 대칭성을 가지고 있다면, 노에테르의 정리는 이론이 보존된 양을 가지고 있음을 보장하며, 이론이 옳기 위해서는 실험에서 이러한 보존을 관찰할 수 있어야 합니다.

제2기(1920~1926)

상승 및 하강 체인 조건

이 시대에 노에테르는 상승(Teilerkettensatz) 또는 하강(Vielpachenkettensatz) 사슬 조건을 능숙하게 사용한 것으로 유명해졌습니다. 집합 S의 비어 있지 않은 부분집합 A₁, A₂, A 등의₃ 수열은 보통 오름차순이라고 하는데, 각각이 다음 부분집합일 경우에는 오름차순이라고 합니다.

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots.}$

반대로, S의 부분집합의 수열은 각각 다음 부분집합을 포함하는 경우 내림차순이라고 합니다.

${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots .}$

${\displaystyle {An}_{}}$ = ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{n$}= 이 되는 경우, 유한한 단계를 거쳐 체인이 일정해집니다.모든 m개의 $≥$ n에 대하여 $A_{m}.$ 주어진 집합의 부분집합들의 집합은 유한한 수의 단계 후에 오름차순이 일정해지면 오름차순 조건을 만족합니다. 어떤 내림차순이 유한한 수의 단계 후에 일정해지면 내림차순 조건을 만족합니다.

상승 및 하강 연쇄 조건은 일반적이며, 이는 다양한 유형의 수학적 객체에 적용할 수 있으며, 표면적으로는 그다지 강력하지 않은 것처럼 보일 수 있음을 의미합니다. 그러나 그와 같은 조건을 최대한 활용하는 방법을 보여준 사람은 없었습니다.

예: 체인 조건을 사용하여 모든 하위 개체 집합에 최대/최소 요소가 있거나 더 적은 수의 요소로 복잡한 개체를 생성할 수 있음을 보여주는 방법. 이러한 결론은 종종 증명의 중요한 단계입니다.

추상대수학의 많은 종류의 대상은 사슬 조건을 만족할 수 있으며, 보통 오름차순 조건을 만족하면 그녀를 기리기 위해 노에테리안이라고 불립니다. 정의에 따르면, 노에트리안 고리는 왼쪽과 오른쪽 이상에서 상승 사슬 조건을 만족하는 반면, 노에트리안 그룹은 부분군의 모든 엄격한 상승 사슬이 유한한 그룹으로 정의됩니다. Noesterian 모듈은 유한한 수의 단계를 거친 후에 엄격하게 상승하는 하위 모듈의 모든 체인이 일정해지는 모듈입니다. 노에스테리아 공간은 열린 부분 공간의 모든 엄격하게 오름차순인 사슬이 유한한 수의 단계 후에 일정해지는 위상 공간입니다. 이 정의는 노에스테리아 고리의 스펙트럼을 노에스테리아 위상 공간으로 만듭니다.

체인 상태는 종종 하위 개체에 의해 "상속"됩니다. 예를 들어, 노에트리안 공간의 모든 부분 공간은 노에트리안 자체이며, 노에트리안 그룹의 모든 부분군과 몫군도 마찬가지로 노에트리안이며, 또한 노에트리안 모듈의 부분군과 몫군도 마찬가지입니다. 노에테리아 고리의 모든 몫 고리는 노에테리아 고리이지만, 그것이 반드시 하위 고리에 해당하는 것은 아닙니다. 체인 조건은 노에테리언 개체의 조합 또는 확장에 의해 상속될 수도 있습니다. 예를 들어, 유한한 직접합의 노에트리안 고리는 노에트리안 고리이며, 공식적인 멱급수의 고리도 노에트리안 고리입니다.

이러한 연쇄 조건의 또 다른 응용은 수학적 귀납법의 일반화인 노에테리언 귀납법(full-founded induction)에 있습니다. 개체 컬렉션에 대한 일반 문을 해당 컬렉션의 특정 개체에 대한 문으로 줄이는 데 자주 사용됩니다. S가 부분적으로 순서화된 집합이라고 가정합니다. S의 대상에 대한 진술을 증명하는 한 가지 방법은 반례의 존재를 가정하고 모순을 추론함으로써 원래 진술의 모순을 증명하는 것입니다. 노에테리언 귀납법의 기본 전제는 S의 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 최소 원소를 포함한다는 것입니다. 특히 모든 반례의 집합에는 최소 요소인 최소 반례가 포함되어 있습니다. 따라서 원래의 진술을 증명하려면, 겉으로 보기에는 훨씬 약한 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 모든 카운터 예에 대해 더 작은 카운터 예가 있습니다.

교환 고리, 이상 및 모듈

노에테르의 논문인 이상론(^[46]Ideal theory in Ringbereichen, 1921)은 일반적인 교환 고리 이론의 기초이며, 교환 고리에 대한 최초의 일반적인 정의 중 하나를 제공합니다.^[126] 그녀의 논문 이전에, 교환 대수학의 대부분의 결과는 장 위의 다항식 고리나 대수적 정수의 고리와 같은 교환 고리의 특별한 예로 제한되었습니다. 이상에서 상승 사슬 조건을 만족하는 고리에서는 모든 이상이 유한하게 생성된다는 것을 증명했습니다. 1943년 프랑스 수학자 클로드 체발리는 이 성질을 묘사하기 위해 노에테리안 고리라는 용어를 만들었습니다.^[126] 1921년 노에테르의 논문에서 중요한 결과는 라스커-노에테르 정리인데, 이 정리는 다항식 고리의 이상들의 일차 분해에 관한 라스커 정리를 모든 노에테르 고리로 확장한 것입니다. 라스커-노테르 정리는 임의의 양의 정수는 소수의 곱으로 표현될 수 있고, 이 분해는 유일하다는 산술의 기본 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있습니다.

노에테르의 업적인 대수학에서의 이상론(Abstrakter Aufbau der Ideal theory in algigaischen Zahl-und Funktionenkörpern, 1927)^[127]은 이상들이 주요 이상들로 독특한 인수분해를 갖는 고리들을 데데킨트 영역으로서 특징지었습니다: 노에테리안인 적분 영역, 0차원 또는 1차원이며 해당 몫 필드에 통합적으로 닫혀 있습니다. 이 논문에는 또한 현재 동형 정리라고 불리는 것이 포함되어 있으며, 이 정리는 몇 가지 기본적인 자연 동형 정리와 노에테리아 및 아르티니아 모듈에 대한 다른 기본 결과를 설명합니다.

탈락설

1923-1924년, 노에테르는 자신의 이상적인 이론을 자신의 제자인 커트 헨첼트에게 귀속시킨 공식으로 제거 이론에 적용했습니다. 그녀는 다항식의 인수분해에 대한 기본 정리가 직접 수행될 수 있음을 보여주었습니다.^{[128][129][130]} 전통적으로 제거 이론은 다항식 체계에서 하나 이상의 변수를 제거하는 것과 관련이 있으며, 일반적으로 결과값의 방법에 의해 제거됩니다.

예를 들어, 행렬(또는 선형 변환) M(변수 x 없이)과 벡터 v(x의 0이 아닌 거듭제곱만 갖는)이 영벡터 0과 같은 경우, 방정식 체계는 종종 M v = 0의 형태로 작성될 수 있습니다. 따라서 행렬 M의 행렬식은 변수 x가 제거된 새로운 방정식을 제공하는 0이어야 합니다.

유한군 불변론

유한 기저 문제에 대한 힐베르트의 비건설적인 원래 해법과 같은 기술은 집단 행동의 불변량에 대한 정량적인 정보를 얻는 데 사용될 수 없었고, 더 나아가 모든 집단 행동에 적용되지 않았습니다. 1915년 논문에서 ^[131]노에더는 유한 차원 벡터 공간에 작용하는 유한 그룹의 변환 G에 대한 유한 기저 문제에 대한 해결책을 특성 0 필드에서 찾았습니다. 그녀의 해는 불변량의 고리가 유한 그룹의 차수보다 작거나 같은 균일한 불변량에 의해 생성된다는 것을 보여줍니다. 그녀의 논문은 노에테르의 결합에 대한 두 가지 증명을 제공했는데, 두 증명 모두 장의 특성이 G!(그룹 G의 차수 G의 계승)에 대해 코프프라임인 경우에도 작동합니다. 장의 특성이 숫자 G를 나눌 때 발전기의 정도는 노에테르의 경계를 만족시킬 필요가 없지만,^[132] 노에테르는 장의 특성이 G!를 나누지만 G를 나누지 않을 때 이 경계가 옳은지를 결정할 수 없었습니다. 수년 동안, 이 특정 사건에 대한 이 경계의 진실 또는 거짓을 결정하는 것은 "노에테르의 틈"이라고 불리는 미해결 문제였습니다. 마침내 2000년 플라이슈만과 2001년 포가티에 의해 독립적으로 해결되었으며, 둘 다 경계가 여전히 유효하다는 것을 보여주었습니다.^[133][134]

1926년 논문에서 ^[135]노이더는 힐베르트 정리를 어떤 장에 대한 유한한 군의 표현으로 확장했습니다. 힐베르트의 연구에서 따르지 않은 새로운 경우는 장의 특성이 군의 순서를 나누는 것입니다. 노에테르의 결과는 나중에 윌리엄 하부시에 의해 뭄포드 추측에 대한 그의 증명으로 모든 환원 그룹으로 확장되었습니다.^[136] 이 논문에서 노에테르는 노에테르 정규화 보조정리도 소개했는데, 필드 k에 대해 유한하게 생성된 도메인 A가 대수적으로 독립적인 요소의 집합 {x₁, ..., x_n}을 가지며 A는 k[x₁, ..., x_n]에 대해 적분된다는 것을 보여줍니다.

토폴로지

파벨 알렉산드로프와 헤르만 바일이 그들의 부고에서 언급했듯이, 위상수학에 대한 노에테르의 기여는 아이디어에 대한 그녀의 관대함과 그녀의 통찰력이 수학의 전체 분야를 어떻게 변화시킬 수 있는지를 보여줍니다. 위상수학에서 수학자들은 변형에도 불변하는 물체의 성질, 연결과 같은 성질을 연구합니다. 오래된 농담은 "토폴로지학자는 도넛과 커피 머그잔을 구별할 수 없다"는 것인데, 도넛은 서로 계속 변형될 수 있기 때문입니다.

노에테르는 초기의 조합 위상수학, 특히 상동성 그룹의 아이디어에서 대수 위상수학의 발전을 이끈 기본 아이디어로 인정받고 있습니다.^[137] 알렉산드로프의 기록에 따르면, 노에테르는 1926년과 1927년 여름에 하인츠 홉프와 그가 강의한 강의에 참석했고, 그곳에서 "그녀는 종종 깊고 미묘한 관찰을 계속했습니다"^[138] 그리고 그는 계속합니다.

언제... 그녀는 처음에 조합 토폴로지의 체계적인 구성에 대해 알게 되었습니다. 그녀는 베티 수에 대한 일반적인 정의 대신에 주어진 다면체의 대수적 복합체와 사이클의 그룹과 0과 동일한 사이클로 구성된 사이클 그룹의 부분군을 직접 연구하는 것이 가치가 있을 것이라는 것을 즉시 관찰했습니다. 그녀는 즉시 베티 그룹을 0과 상동성인 사이클의 하위 그룹에 의해 모든 사이클의 그룹의 보완적인(계수) 그룹으로 정의할 것을 제안했습니다. 이 관찰은 이제 자명해 보입니다. 그러나 그 몇 년(1925-1928) 동안 이것은 완전히 새로운 관점이었습니다.^[139]

위상수학을 대수적으로 연구하라는 노에테르의 제안은 호프, 알렉산드로프 등에 의해 곧바로 채택되었고,^[139] 괴팅겐의 수학자들 사이에서 자주 논의되는 주제가 되었습니다.^[140] 노에테르는 베티 군에 대한 그녀의 아이디어가 오일러-푸앵카레 공식을 더 쉽게 이해할 수 있게 한다는 것을 관찰했고, 이 주제에^[141] 대한 호프 자신의 연구는 "에미 노에테르의 이러한 발언의 각인"을 담고 있습니다.^[142] 노에테르는 1926년 출판물에서 자신의 토폴로지 아이디어를 부대적으로만 언급하며,^[143] 여기서 그녀는 그룹 이론의 적용으로 이 아이디어를 인용합니다.^[144]

위상수학에 대한 이 대수적 접근법은 오스트리아에서도 독자적으로 개발되었습니다. 1926-1927년 빈에서 열린 강좌에서 레오폴드 비토리스는 1928년 발터 메이어가 개발한 상동성 그룹을 공리적 정의로 정의했습니다.^[145]

제3기(1927년 ~ 1935년)

초복소수와 표현이론

초복소수와 그룹 표현에 대한 많은 연구가 19세기와 20세기 초에 수행되었지만 여전히 이질적이었습니다. 어떤 사람도 이러한 결과를 통합하여 군과 대수에 대한 최초의 일반적인 표현 이론을 제시하지 않았습니다.^[146]

간략히 설명하자면 노에테르는 연상대수의 구조 이론과 군의 표현 이론을 상승 사슬 조건을 만족하는 고리의 모듈과 이상에 대한 단일 산술 이론으로 가정했습니다. 노에테르의 이 단일 작업은 현대 대수학의 발전에 근본적으로 중요했습니다.^[147]

비상호 대수

노에테르는 대수학 분야에서 다른 많은 발전을 담당했습니다. 에밀 아르틴, 리처드 브라우어, 헬무트 하세와 함께 그녀는 중심 단순 대수 이론을 세웠습니다.^[148]

나눗셈이 가능한 대수 체계인 ^[149]나눗셈 대수에 관한 노에더, 헬무트 하세, 리처드 브라우어의 논문. 그들은 두 가지 중요한 정리를 증명했습니다: 유한 차원의 중앙 분할 대수가 어떤 수장에 대해 국소적으로 모든 곳에서 분할되면 전역적으로 분할된다는 로컬-글로벌 정리입니다. 그리고 이로부터 그들의 하우프트사츠("주요 정리")를 추론했습니다.

대수적 수장 F 위의 모든 유한 차원 중심 분할 대수는 순환 순환 고리 확장 위에서 분할됩니다.

이러한 정리를 통해 주어진 수 필드에서 모든 유한 차원 중심 분할 대수를 분류할 수 있습니다. 노에더의 후속 논문은 더 일반적인 정리의 특별한 경우로서 분할 대수 D의 모든 최대 하위 필드가 분할 필드임을 보여주었습니다.^[150] 이 논문에는 필드 k를 k 위의 유한 차원 중앙 단순 대수로 확장하는 두 개의 임베딩이 공액이라는 스콜렘-노에테르 정리도 포함되어 있습니다. 브라우어-노에더 정리는^[151] 어떤 분야에 대한 중앙 분할 대수의 분할 분야에 대한 특성을 제공합니다.

인식

1932년 에미 노에더와 에밀 아르틴은 애커먼 상을 받았습니다.수학에 기여한 공로로 튜브너 기념상.^[152] 그 상은 500 ℛ ︁ ℳ ︁의 상금을 포함했고, 그녀가 그 분야에서 상당한 일을 한 것에 대한 오래 전에 공식적으로 인정받은 것으로 여겨졌습니다. 그럼에도 불구하고 그녀의 동료들은 그녀가 괴팅겐 게셀샤프트 데어 비센샤프트텐(과학 아카데미)에 선출되지 못했고 오덴트리허 교수^[153][154](정교수)로 승진하지 못했다는 사실에 좌절감을 나타냈습니다.^[41]

1932년, 노에테르의 동료들은 전형적인 수학자들의 스타일로 그녀의 50번째 생일을 축하했습니다. Helmut Hasse는 Matheische Annalen에서 그녀에게 글을 기고했는데, 그는 비가환 대수학의 일부 측면이 비가환 상호성 법칙을 증명함으로써 비가환 대수학의 일부 측면보다 간단하다는 그녀의 의심을 확인했습니다.^[155] 이것은 그녀를 매우 기쁘게 했습니다. 그는 또한 그녀에게 수학 수수께끼를 보냈는데, 그는 이것을 "음절의_μν 난잡함"이라고 불렀습니다. 그녀는 즉시 해결했지만 수수께끼는 사라졌습니다.^[153][154]

같은 해 9월, 노에테르는 취리히에서 열린 국제 수학자 대회에서 "가환 대수학과 정수론과의 관계에서 초복잡계"에 대한 전체 연설을 했습니다. 이 회의에는 노에테르의 동료 헤르만 바일, 에드먼드 란다우, 볼프강 크롤을 포함한 800명의 사람들이 참석했습니다. 420명의 공식 참석자와 21명의 본회의 연설이 있었습니다. 분명히, 노에더의 중요한 말을 하는 입장은 수학에 대한 그녀의 기여의 중요성을 인식한 것이었습니다. 1932년 대회는 때때로 그녀의 경력의 절정으로 묘사됩니다.^[154][156]

유산

노에테르의 연구는 이론 물리학과 수학의 발전과 계속 관련이 있으며 그녀는 20세기의 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 꾸준히 평가받고 있습니다. 그의 부고에서, 동료 대수학자 BL 반 데르 베르덴은 그녀의 수학적 독창성이 "비교할 수 없을 정도로 절대적"이었다고 말하고,^[157] 헤르만 바일은 노테르가 "그녀의 연구로 대수학의 얼굴을 바꾸었다"고 말했습니다.^[8] 노에테르는 일생 동안 그리고 오늘날까지도 파벨 알렉산드로프,^[159] 헤르만 바일,^[160] 장 디외도네와 같은 수학자들에^[3][158] 의해 기록된 역사상 가장 위대한 여성 수학자로 특징지어졌습니다.^[161]

알버트 아인슈타인은 뉴욕 타임즈에 보낸 편지에서 다음과 같이 썼습니다.^[2]

살아있는 가장 유능한 수학자들의 판단에 따르면, 여성의 고등교육이 시작된 이래 지금까지 배출된 가장 중요한 창조적 수학 천재는 프레울린 노에테르였습니다. 가장 재능 있는 수학자들이 수세기 동안 바쁘게 지내온 대수학 분야에서 그녀는 현재 젊은 세대의 수학자들의 발전에 엄청난 중요성을 입증한 방법들을 발견했습니다.

박사과정 학생 목록

노에더의 박사과정 학생들은 다음을 포함했습니다.^[162]

날짜.	학생명	논문제목 및 영문번역	대학.	출판된
1911-12-16	팔켄베르크 주	베르즈바이군겐 폰 뢰순겐 니치타러 디파탈글리춘겐 비선형 미분방정식의§ 해에 관한 연구	에를랑겐	라이프치히 1912
1916-03-04	세이델만, 프리츠	Die Gesamtheitter kubischen und biquadratischen Gleichungen em Affekt biebigem Rationalitätsbreich 임의의 합리성 영역에서§ 영향을 갖는 3차방정식과 2차방정식의 완전집합	에를랑겐	에를랑겐 1916
1925-02-25	헤르만, 그레테	Die Frage der endlich vielen Schritte in the Ordier Polynomyideal under Benutzung nachgelassener Säze von Kurt Henzelt 후기 쿠르트 헨첼의§ 정리를 이용한 다항식의 이상이론에서 유한단수의 문제	괴팅겐	베를린 1926
1926-07-14	그렐, 하인리히	베지헝겐 즈위셴덴 이상적인 엔베르쉬에너 링게 다양한§ 고리의 이상과의 관계	괴팅겐	베를린 1927
1927	도레테, 빌헬름	Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff 그룹의§ 일반화된 개념에 관한 연구	괴팅겐	베를린 1927
변호하기 전에 죽은	h저, 루돌프	주르 이론가 프리메렌 링게 원환이론에§ 관한 연구	괴팅겐	베를린 1927
1929-06-12	베버, 베르너	이상적인 이론은 Deutung der Darstellbarkeit believe biger natürlicher Zahlen durch cquadrachesch Formen 임의의 자연수의 2차형태에§ 의한 표현가능성에 관한 이상이론적 해석	괴팅겐	베를린 1930
1929-06-26	레비츠키, 야콥	위베르 볼슈테른디그저블 링언트 운터링거 완전히 축소 가능한 링 및 서브링에§ 대해	괴팅겐	베를린 1931
1930-06-18	듀링, 맥스	주라리스메티셴 이론수 대수학(Zurarithmetischen Order algigaischen Funktionen) 대수함수의§ 산술이론에 관한 연구	괴팅겐	베를린 1932
1931-07-29	피팅, 한스	Zur Ordier Automorphismenringe Abelscher Gruppen undihr Analogon beichtkommutiven Gruppen 비가환군에서§ 아벨 군의 자기동형이론과 그 유사성에 관한 연구	괴팅겐	베를린 1933
1933-07-27	비트, 에른스트	리만-로슈어 사츠와 제타-펑크티온 임 하이퍼콤플렉스엔 초복소수에서의§ 리만-로치 정리와 제타 함수	괴팅겐	1934년 베를린
1933-12-06	츠엔 시, 장쯔 시	알제브렌 über Funktionenkörpern 함수 필드§ 위의 대수	괴팅겐	괴팅겐 1934
1934	실링, 오토	위베르게위스 베지헝겐 즈위셴 데 아리스메틱 하이퍼콤플렉스러 자흐시스템과 대수학자 자흐쾨르퍼 초복소수계 연산과 대수적 수장의§ 관계에 관한 연구	마르부르크	브라운슈바이크 1935
1935	스타우퍼, 루스	분리 가능한 연장분야에서의 정상기저 구축	브린 모어	볼티모어 1936
1935	보르벡, 베르너	니흐트갈루아셰 제르펠룽스코르페르 에인파처 시스템 단순 시스템의§ 비갈루아 분할장	괴팅겐
1936	비흐만, 볼프강	앙웬등엔더 p-adischen Origie im Nichtkommutiven 비가환대수학에서의§ p-adic이론의 응용	괴팅겐	Monatshefte für Matheik und Physik (1936) 44, 203-24.

참고 항목

• 에미 노에더의 이름을 딴 목록
• 과학계의 여성 연대표

메모들

참고문헌

에미 노에더(Emmy Noether) 선정 작품(독일어)

원천

추가읽기

라이브러리 리소스정보 에미 노에더
라이브러리의 리소스 다른 라이브러리의 리소스
에미 노에더 지음
온라인 도서 라이브러리의 리소스 다른 라이브러리의 리소스

기사들

• Angier, Natalie (26 March 2012). "The Mighty Mathematician You've Never Heard Of". The New York Times. Retrieved 27 January 2024.
• Phillips, Lee (26 May 2015). "The female mathematician who changed the course of physics—but couldn't get a job". Ars Technica. California: Condé Nast. Retrieved 27 January 2024.
• "Special Issue on Women in Mathematics" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Providence, RI: American Mathematical Society. 38 (7): 701–773. September 1991. ISSN 0002-9920.

책들

• Rowe, David E.; Koreuber, Mechthild (2020). Proving it her way: Emmy Noether, a life in mathematics. Cham, Switzerland: Springer. ISBN 978-3-030-62811-6.

온라인 전기

• Byers, Nina (16 March 2001), "Emmy Noether", Contributions of 20th Century Women to Physics, UCLA, archived from the original on 12 February 2008, retrieved 27 January 2024.
• Taylor, Mandie (22 February 2023), "Emmy Noether", Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott College, retrieved 27 January 2024.

외부 링크

• 수학 계보 프로젝트의 에미상 수상자
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Emmy Noether", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
• 역사학자 코둘라 톨미엔의 웹사이트에서 작성한 노에더의 얼랑겐 대학교 입학 지원서와 그녀의 교육과정 3개의 이력서.
• Bryn Mawr College 총장인 Dr. Park에게 보낸 Noether의 편지 – Bryn Mawr College Library Special Collection
• 한나 쿤슈가 찍은 노더 사진 – 브린 모 대학 도서관 특별 컬렉션
• Noether – Oberwolfach Mathematisch Forschungs Institute of Oberwolfach 사진 모음
• 클라크 킴벌링 웹사이트에서 노에더의 동료들과 지인들의 사진.
• 우리 시대의 에미상 수상자 BBC