차원 이론(알지브라)

수학에서 차원 이론은 대수적 다양성의 개념 차원에 대한 상호 대수의 관점에서 연구된다.이와 같이 명백하게 단순한 개념에 대한 이론의 필요성은 가장 일반적인 경우에서만 동등한 차원의 많은 정의가 존재하기 때문에 발생한다(대수적 다양성의 차원 참조).치수 이론의 큰 부분은 몇 개의 차원이 동일한 조건을 연구하는 데 구성되며, 많은 중요한 분류의 정류 링은 2차원이 동일한 링으로 정의될 수 있다. 예를 들어, 일반 링은 호몰로지 치수가 Krull 치수와 같도록 정류 링이다.

이 이론은 필드 위에서 미세하게 생성되는 알헤브라의 조합형 고리에 대해 더 간단하며, 이 고리는 필드 위에 한정된 수의 인디테마인에서 다항식 고리의 지수형 고리이기도 하다.아핀 대수 집합의 경우 대수적 상대인 이 경우 치수의 정의는 대부분 등가물이다.일반적인 교감반지의 경우 기하학적 해석의 부족은 이론의 발달에 장애가 된다. 특히 비노메테리아반지는 거의 알려져 있지 않다. (카플란스키의 교감반지는 비노메테리아적인 경우를 잘 설명해 준다.)

글 전체에서 ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \dim$}은$($는) 링의 Krull 치수 및 ${\displaystyle \mathrm{ht}}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$ht}}$프라임 이상(즉, 해당 프라임 이상에서 현지화의 Krull 치수)을 가리킨다.링은 비고정 링의 치수에 관한 마지막 부분을 제외하고 서로 다른 것으로 가정한다.

기본결과

R을 노메트리안 링이나 가치평가 링이 되게 하라.그러면

R이 노메테리아라면, 이는 아래의 기본 정리(특히 크룰의 주된 이상 정리)에서 따르게 되지만, 보다 정밀한 결과의 결과이기도 하다.R의 모든 주요 $이상적{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $mathfrak {\displaystyle$ {$q}\supsetneq {\mathfrak${${\displaystyle p\}\backslash }$mathfrak ${\displaystyle R[x]}$에서 p ${\$displaystyle ${\matfrak {p}$에 수축되는 모든$$ 주요 이상 ${\displaystyle q}$$.$이는 기본 링 이론(cf) 내에서 알 수 있다.카플란스키, 교환 고리).또한 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ spec${\displaystyle }$R[${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$→ 사양 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ \$operatorname {Spec}$R$[x]\to$ \$operatorname {Spec} R}$의 각 섬유에서 ${\displaystyle \mathrm{길이}}$ $\ge {\displaystyle }$ 2 ${\displaysty \geq 2}$의 프라임 이상 체인을 가질 수 없다$.$

아르티니아 반지(예: 들판)는 치수 0을 가지기 때문에 유도에 의해 공식을 얻는다: 아르티니아 반지 R,

국부 반지

기본 정리

레트${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$, $){\$$mathfak{m$$}}}은(는)$ 노메트리안 로컬 링이고$$ $나$는 m$${\$displaystyle${\$mathfak {m}$ - primary$$ 이상(즉, $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$${\m$$}})$의 어느$정도{\displaystyle \mathfrak{}}$ 파워 사이에 위치한다$.$Let ${\displaystyle F(t)}$ be the Poincaré series of the associated graded ring ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.그것은

여기서 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$은(는) 모듈의 길이를 가리킨다$$(Artinian 링$({\displaystyle {GR}_{}}$gr ${\displaystyle R{}_{}}$) ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle R}$ /${\displaystyle }$I ${\displaystyle(\opername {gr} _{I}R)_{0}=R/I}).$If ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ generate I, then their image in ${\displaystyle I/I^{2}}$ have degree 1 and generate ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ as ${\displaystyle R/I}$-algebra.힐베르트-세레 정리(Hilbert-Serre organization)에 따르면 F는 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle$ $t=1}$의 $순서$에${\displaystyle }$$정확히$ 하나의 극을 갖는 합리적인 함수다$.$ 이후$F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle t^{}}$ ) = ( 1 - ${\displaystyle t{}^{}}$) D (${\displaystyle }$) ${\displaystyle F}$( )${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1{}^{}}$-${\displaystyle }$t )${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ $displaystyle F($t)=($1-t)^{d}F(t$)(1-t$)^{-d}$의 계수가$$$형식임$을 알게$$ 되었다.That is to say, ${\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})}$ is a polynomial ${\displaystyle P}$ in n of degree ${\displaystyle d-1}$. P is called the Hilbert polynomial of ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$.

$d{\displaystyle }$ (${\displaystyle R}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d$${\displaystyle (}$$R)=d}.$ 또한 ${\displaystyle \Delta (}$R $){\$displaystyle \delta(R)}을(를) $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -primary$$ 이상 R을 생성할 수 있는 R의 최소 원소수로 설정했다$$.우리의 야망은 근본적인 정리를 증명하는 것이다.

s를 $\Delta {\displaystyle }$($){\displaystyle \delta (R$로 취할 수 있기 때문에, 이미 위로부터$$ $\Delta {\displaystyle }$(${\displaystyle R}$) Δ (R ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle d}$($){\displaystyle \delta (R)\geq d(R)}$가 있다.Next we prove ${\displaystyle d(R)\geq \dim R}$ by induction on ${\displaystyle d(R)}$. Let ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$ be a chain of prime ideals in R.$D{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$/ ${\displaystyle p{\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$을(를) 두고 D에서 0이 아닌 비단위 원소를 x로 한다.x는 0분위가 아니기 때문에, 우리는 정확한 순서를 가지고 있다.The degree bound of the Hilbert-Samuel polynomial now implies that ${\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})}$. (This essentially follows from the Artin-Rees lemma; see Hilbert-Samuel function for the statement and the proof.)$R$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p{\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$}에서$$체인 ${\displaystyle p_{}}$ i ${\$$displaystyle$ ${\mathfak$${$$p}_{i$}}}는 길이$$ $m{\displaystyle }$-$$의 체인이 되어$$ 귀납 가설과 정도 추정에 의해 다시 한 번,그 주장은 다음과 같다.이제 ${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 ${\displaystyle R\Delta }$ (${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \dim R\geq \delta (R$)를 보여줘야 한다$.$$}$ 더 정확히$$ 말하면 다음과 같다.

(공지사항$:{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$d )$${\$displaystyle (x_{1},\dots,x_{d}}}$은(는) $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -primary$$)증거가 누락되다.예를 들어 아티야-맥도날드에서 나타난다.그러나 그것은 또한 개인적으로 공급될 수 있다; 그 아이디어는 최고의 회피 방법을 사용하는 것이다.

근본정리의 결과

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$, $){\displaystyle (R,{\mathfrak{m}})$은 노에테리아 로컬 링으로$$ $k{\displaystyle }$= R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle m\mathfrak{}}$ ${\$을(를) 넣는다$.$ 그런 다음

• ${\displaystyle \dim R\leq \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, since a basis of ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ lifts to a generating set of ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ by Nakayama.평등이 유지되면 R을 일반 국부 링이라고 한다.
• ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= $\dim \dim$ {\$widehat {R}=\$${\displaystyle \dim }$ R${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathrm{gr}}$ $⁡$ $^$ {\$displaystyle \operatorname${gr} R=\$operatorname {gr}$ {\$widehat {R$
• (Krull의 주요 이상 정리)노에테리아 링에서$$ 원소 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의해 생성되는 이상적 높이는 최대 s이다.반대로, 높이 s의 기본 이상은 s 요소에 의해 생성된 이상보다 최소이다. (증거:$p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 그러한 이상에 비해 가장 이상적인 최소값으로$$ 두자.그런 다음 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$ R ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle ht\mathfrak{}}$ ${\displaystyle }$ p ${\$s\$geq \dim$ R_${\mathfrak{p$}=\operatorname ${ht}{\mathfrak$$p}}}}.$그 반전은 근본적인 정리를 증명하는 과정에서 보여졌다.)

Proof: Let ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ generate a ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}}$-primary ideal and ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$ be such that their images generate a ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_$${A}B}$ - 1차$$ 이상.그런 다음 $m$ B ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\matrix{m}}^{s}}\subset (y_{1},\dots,y_{m}}+{\mathfrak {{m}_{A}B}}}}}}}.$Raising both sides to higher powers, we see some power of ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$ is contained in ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})}$; i.e., the latter ideal is ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$-primary; thus, ${\displaystyle m+}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m+n\geq \dim$ B$\}.$평등은 아래로 내려가는 성질의 직접적인 적용이다. Q.E.D.

Proof: If ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ are a chain of prime ideals in R, then ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]}$ are a chain of prime ideals in ${\displaystyle R[x]}$$p{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}_{n}R[x]}$이(가) 최대 이상은 아니다$$.Thus, ${\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]}$. For the reverse inequality, let ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ be a maximal ideal of ${\displaystyle R[x]}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}}$. Clearly, ${\displaystyle R[x{]}_{\mathfrak{m}}=R_{\mathfrak{p}}[x}$${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}[x]_{\mathfrak {m}}}$. Since ${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R[x]_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})[x]_{\$$mathfrak {m}}}$ is then a localization of a principal ideal domain and has dimension at most one, we get ${\displaystyle 1+\dim R\geq 1+\dim R_{\mathfrak {p}}\geq \dim R[x]_{\mathfrak {m}}}$ by the previous inequality.$m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은 임의적이기$$ 때문에 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$ R${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \dim }$ dim dim dim dim dim dim dim ${\displaystyle \dim [}$ R $[\displaystyle$ 1$+\dim R\geq \dim R[x$E.D.

나가타의 고도식

교정:^[2] $먼저{\displaystyle {}^{}}$ R ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 다항식 링이라고 가정해 보십시오.변수 수에 대한 유도에 의해 사례 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle R}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle$ R$'=R[x]}$을(를) 충분히 고려할 수 있다$.$ R'은 R에 대해 평탄하므로,

노에더의 정상화 보조정리법에 의해 오른쪽의 두 번째 임기는 다음과 같다.다음으로, $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ R$'}$이(가) 단일 요소에 의해 생성되므로$$ R ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle R}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$/ I ${\displaystyle R'=R[x]/I}$이$($가) 0이면 우리는 이미 끝난 것이다.그렇지 않다고 가정하자.Then ${\displaystyle R'}$ is algebraic over R and so ${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}$. Since R is a subring of R', ${\displaystyle I\cap R=0}$ and so ${\displ$$aystyle \operatorname {ht} I=\dim R[x]_$${I}=\dim Q(R)[x]_$${I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1}$ since ${\displaystyle \kappa (I)=Q(R')}$ is algebraic over ${\displaystyle Q(R)}$. Let ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{\prime c}}$ denote the pre-image in ${\displaystyle R[x]}$ of ${\displaystyle {\mathfra$$k {p$그런 다음 다항식 사례로$$$by{\displaystyle (p^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$ c${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \kappa (p}$) ${\displaystyle \kappa({p}^{\primate c}}=\kappa({\mathfrak{p}})}}},$여기서, R'이 caterial일 경우 불평등이 평등하다는 것을 주목하라.마지막으로, 일련의 주요한 이상을 가지고 작업하는 것은 일반적인 경우를 위의 사례로 줄이는 것이 간단하다.Q.E.D.

동질적 방법

일반 반지

R을 노메트리안 반지가 되게 하라.The projective dimension of a finite R-module M is the shortest length of any projective resolution of M (possibly infinite) and is denoted by ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$. We set ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd}$$_{R}M\mid {\text{M은 유한모듈}\}\}}$; R의 글로벌 차원이라고 한다.

R이 잔류장 k를 가진 국부라고 가정한다.

증거: 우리는 주장한다: 모든 유한한 R-모듈 M에 대해,

By dimension shifting (cf. the proof of Theorem of Serre below), it is enough to prove this for ${\displaystyle n=0}$. But then, by the local criterion for flatness, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Righta$$rrow M{\text{free }}\$오른쪽 $화살표 \operatorname {pd} _{R}(M)\leq$ 0$.}$ 자$$,증빙서류를 완성하는 것.Q.E.D.

비고: 또한 그 증거는 만약 M이 자유롭지 않고 K ${\displaystyle K}$이(가) 무료 모듈에서 M으로 일부 분사된 커널이라면$$, ${\displaystyle {\mathrm{Pd}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ = K${\displaystyle }$=$$ \displaysty $\operatorname {pd} _{R}$M-1$}$이(가) Pd R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K}$ = ${\displaystyle {Pd}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$- ${\displaystyle 1}$인$$것을 $보여준다$.

증명: 만약 ${\displaystyle {\mathrm{pd}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$이$($가) 있다면, M은 R이 없는 것이고 ${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}은$$$R{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$}이다$$$$.다음으로 ⁡ > ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}$을(를) 가정해 보십시오그렇다면: ${\displaystyle {위}_{}}$의 설명과 ${\displaystyle \mathrm{같이}}$ PD ${\displaystyle R_{}}$⁡ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle {\mathrm{PD}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$- 1 ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$따라서 유도에 의해 사례 ${\displaystyle \mathrm{pd}}$ R${\displaystyle {}_{}=}$ M =$$ {\$displaystyle \operatorname {pd}$${\displaystyle {}_{}}$${$${\displaystyle {}_{}}$$}M$=1$\}.$ 그러면 $투사{\displaystyle \mathrm{}}$ 분해능${\displaystyle :}$ 0 →${\displaystyle {}_{}{P\mathrm{}}_{}}$ 1 →${\displaystyle {}_{}{P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle \mathrm{M}}$ →$$0 [\$displaystyle 0_{1}\}\to P_{0}\to$ M$\to$ 0$\}:\}$을 고려해도 충분하다.

But ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M\mid fm=0\}=0.}$ Hence, ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})}$ is at most 1. Q.E.D.

증명:^[3] R이 규칙적인 경우, $우리$는 k${\displaystyle }$= R${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle f_{}}$n ) ${\displaystyle$ k$=R/(f_{1},\dots,f_{n$ ${\displaystyle f_{}}$ i$${\$displaystyf f_{i}}}},$ 규칙적인$$ 매개변수 체계를 작성할 수 있다.An exact sequence ${\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$, some f in the maximal ideal, of finite modules, ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$, gives us:

그러나 여기서 f는 k를 죽이기 때문에 0이다.Thus, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}$ and consequently ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M}$. Using this, we get:반전의 증거는 ${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \dim$ R$}$에 대한 유도에 의한 것이다$.$ 우리는 유도 단계부터 시작한다.${\displaystyle {파라미터\mathrm{}}_{}}$ 시스템 중 $R{\displaystyle {}_{}}$$$ 1${\displaystyle {}_{}}$= R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle f{}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1}를 설정하십시오.R이 정규임을 나타내려면 R ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}이 정규임을$$ 표시하면 충분하다.그러나, R < {\$displaystyle \dim R_{1}<dim$ R은 귀납 가설과 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle m\mathfrak{}}$ ${\$을(를) 가진 선행 보조기법에 의해,$$딤 R < dim R ${\$dimfrak{m},

기본적인 단계는 남아 있다.${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \dim R=0}$을(를) 가정해 보십시오$.$ 유한한 경우$$ $g{\displaystyle \mathrm{}}$. ${\displaystyle \mathrm{d}}$ i ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{R}}$= 0 ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=0}$을(를) 클레임합니다.(이것은 R이 반이 구현된 지역 고리, 즉 필드라는 것을 의미한다.)그렇지 않을 경우 다음 0개체와 함께 한정된 모듈 M{M\displaystyle};pd R⁡ M<>∞{\displaystyle 0<, \operatorname{pd}_{R}M<, \infty}고 따라서 사실 우리는pd R⁡ M=}M1{\displaystyle \operatorname{pd}_{R}M=1을 찾을 수 있다. 나카야마 문부상의 부명제까지, 전사 함수 F→ M{\displ이다.F\taystyle$o M}$ from a free module F to M whose kernel K is contained in ${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$. Since ${\displaystyle \dim R=0}$, the maximal ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ is an associated prime of R; i.e., ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)}$ f또는 R의 일부 nonzero s.$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset m\mathfrak{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K\subset {\m}F$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{K}}$= 0 ${\displaystyle sK=0$ K는 0이 ${\displaystyle \mathrm{아니고}}$ 자유롭기 때문에 $s{\displaystyle }$= 0 ${\displaysty s=0$을 암시하는데, 이것은 불합리하다. Q.E.D.

증명: R을 일반 지역 링이 되게 하라.그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{gr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \simeq }$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} R\simeq k[x_{1},\dots ,x_{d}],$ 통합적으로 닫힌 도메인이다$.$R이 통합적으로 폐쇄된 영역이라는 것을 암시하는 것을 보여주는 것은 표준 대수학 연습이다.이제 우리는 모든 분열적 이상이 주체가 된다는 것을 보여줄 필요가 있다. 즉, 분열된 R 계층 집단은 사라진다.그러나 Bourbaki, Algébre communative, Chaptre 7, § 4. Corolary 2 ~ Proposition 16에 따르면, 한정된 자유 분해능을 인정하는 경우, 분립 이상은 주체가 되는데, 이는 실제로 정리에 의해 해당된다.Q.E.D.

깊이

R은 링이 되고 M은 그 위에 있는 모듈을 놓아라.A sequence of elements ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ in ${\displaystyle R}$ is called an M-regular sequence if ${\displaystyle x_{1}}$ is not a zero-divisor on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle x_{i}}$ is not a zero divisor on ${\displaystyle M/(x_1,\dots ,x_{i-1}}$${\displaystyle M/(x_{1},\dots,x_{i-1}$$각$ $i$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ ${\displaystyle M}$$}$${\displaystyle }$= 2${\displaystyle }$,${\displaystyle \dots ,}$ n ${\displaystyle i=2,\dots,n$ 선행, 정규 시퀀스의 순열화가 여전히 정규적인지는 명확하지 않다(일부 긍정적인 답변은 아래 절 참조).

Let R be a local Noetherian ring with maximal ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ and put ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$. Then, by definition, the depth of a finite R-module M is the supremum of the lengths of all M-regular sequences in ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. For example, we have${\displaystyle \mathrm{깊이}=\mathrm{M}}$ =${\displaystyle 0\mathfrak{}}$ ${$m {\$displaystyle \operatorname {depth}M=0$\좌우타로우 {\$mathfrak$ {m$}}}$은(는) M${\displaystyle }${ m ${\${\$mathfrak {m}$에 있는 제로디버로 구성된다$$.유도를 통해 우리는

M의 모든 관련 primes $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak{p}}$에 대해.특히 ${\displaystyle \mathrm{깊이}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle }$ dim ${\displaystyle \dim }$ dim dim dim dim${\displaystyle \dim }$ M ${\displaystyle \operatorname {deep}M\leq \dim M$ 동일성이 M = R을 유지하면 R을 코헨-맥컬레이 링이라고 한다.

예: 정규 노메테리아 로컬 링은 코헨-매컬레이(Cohen-Macolay)이다(정규 파라미터 시스템은 R-정규 시퀀스이기 때문에).

일반적으로 노메테리아 링은 코헨-매컬레이의 지역화가 코헨-매컬레이라면 코헨-매컬레이 링이라고 불린다.우리는 코헨-맥컬레이 링이 보편적으로 기념품이라는 것을 주목한다.이것은 예를 들어 다항식 $고리{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots,x_{d}}}}$이(가) 일반적이기 때문에 보편적으로$$ caterial임을 암시한다.

증명: 우리는 먼저 다음 문장에 유도를 통해 증명한다: $모든$ R-모듈 M과 모든 M-정규 시퀀스 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$$displaystyle x_{1},\dots,x_{$$n},$m {\$displaystyle{\m$},

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n}M).}$$

(⁎)

기본 단계 n = 0은 사소한 것이다.Next, by inductive hypothesis, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)}$. But the latter is zero since the annihilator of N contains some power of ${\displaystyle x_{n}$$\}\}$ 따라서 정확한 $시퀀스{\displaystyle \mathrm{}}$0 →${\displaystyle \stackrel{}{}M}$ → ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$→ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$1 → ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ 0$\to$ M${x_{1}{{1}{\\\to M_{1$}\}}과(와) $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}\$1$}\}$을$($를) 통해 N을 죽이고$$, 귀납 가설을 다시 얻는다.

증빙(증빙)우리는 n보다 더 많은(⁎)로 길이의M-regular을 이제, 만약 n<>, 심층 ⁡ M{\displaystyle n<, \operatorname{깊이}M},)}외부의 Rn⁡(N, M)는 0(_ᆮ^ᆯ(N,M)=0 보는 것을 외부의 Rn⁡(N, M){\displaystyle \operatorname{외부의}_{R}^{n}≠ 0을 보여 주고 있다.(N,M)$\neq 0}$ $만약{\displaystyle }$n = ${\displaystyle \mathrm{깊이}\mathrm{if<img\; alt="\backslash operatorname\; \{Ext\}\_\{R\}^\{n\}(N,M)\backslash neq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9f525e0305604987d58272260695dd5d30ab91a8"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:16.805ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="584">}}$ M ${\displaystyle$ n$=\operatorname {depth}M$ by (iii)에 의해 n = 0으로 가정할 수 있다.그런 $다음{\displaystyle \mathfrak{}}$ m ${\${\$mathfrak{$m}}이(가) M과 연관되므로$$ M을 지원한다.On the other hand, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).}$ It follows by linear algebra that there is a nonzero homomorphism from N to M modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$; hence, one from N to M by Nakayama's lemma.Q.E.D.

아우슬란더-뷔흐스바움 공식은 깊이와 투영적 차원과 관련이 있다.

증명: ${\displaystyle {\mathrm{우리}}_{}}$는 PD ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$을(를) 유도하여 주장하는데$,$ 이는 기본적인 경우(즉, M free)가 사소한 것이다.By Nakayama's lemma, we have the exact sequence ${\displaystyle 0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0}$ where F is free and the image of f is contained in ${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$. Since ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}$$$ 우리가 보여줘야 할 것은 ${\displaystyle \mathrm{깊이}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle \mathrm{깊이}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$ + 1 ${\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {deep}M+1$ f가 k를 죽이기 때문에 정확한 순서가 산출된다: 모든 i,

만약 내 &lt은left-most의 임기는 0, 귀납적 가설에 의해 깊이 ⁡ R{\displaystyle i<, \operatorname{깊이}R}. 만약 제가 <, 심층 ⁡ K− 1{\displaystyle i<, \operatorname{깊이}K-1}, 그 때 이후로 깊이 ⁡ K≤ 깊이 ⁡ R{\displaystyle \operatorname{깊이}K\leq \operatorname{깊이}R}, 우리는 외부의 R참조하십시오 나는(k. ⁡습니다M)=0.${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$ If ${\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}$, then ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}$ and it must be ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}$ Q.이디

표기상의 문제로서, 어떤 R-모듈 M에 대해서도, 우리는,

${\displaystyle {\gamma m\mathfrak{}}_{}}$ ${\$이(가) 좌익 exact functor임을 어렵지 않게 확인한 다음, ${\displaystyle {Hm\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle J^{}}$ ${\displaystyle {\gamma m\mathfrak{}}_{}}$ ${\$라고 한다.$R^{j}\Gamma$_{\$mathfrak{$m}}은(는) R의 국부 코호몰로지라고 불리는 그것의 j번째 우측 파생 펑터가 된다$$.${\displaystyle {\gamma m}_{}}$(${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle R}$/ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle j{\mathfrak{}}^{}}$, M$){\displaystyle \Gamma _{\mathfrak{m}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R/{\mathm^{j$ $추상적$인 난센스를 통해.이 관찰은 아래의 정리의 첫 부분을 증명한다.

증명: 1. 이미 언급되어 있다(M의 깊이와 동일한 정도의 비반사성을 보여주는 것은 제외한다; 이것을 보기 위해 유도를 사용한다.)와 3.은 추상적인 허튼소리에 의한 일반적인 사실이다. 2. 코즐 콤플렉스를 이용하여 지역 공동체를 명시적으로 계산한 결과(아래 참조)이다(아래 참조).${\displaystyle \square }$

코스줄 콤플렉스

R을 링으로 하고 그 안에 x 원소가 되게 하라.우리는 K ( x${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K(x)_{i}=$R$}$ = i$$ = 0, $1{\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle K}$( x${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$= 0 ${\displaystyle$ K$(x)_{i}=0}$에 의해 주어지는 체인 콤플렉스 K(x)를 형성한다.

For any R-module M, we then get the complex ${\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}$ with the differential ${\displaystyle d\otimes 1}$ and let ${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$ be its homology.참고:

보다 일반적으로 링 R에 있는 원소의 유한$$ $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 고려할 때, 우리는 다음과 같은 콤플렉스의 텐서 제품을 형성한다.

and let ${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))}$ its homology.아까처럼.

우리는 이제 규칙적인 순서에 대한 동질적 특성을 가지고 있다.

코즐 콤플렉스는 강력한 계산 도구다.예를 들어, 그것은 정리와 관상으로부터 따르게 된다.

(여기서는 코즐 콤플렉스의 자기 이중성을 사용한다. 아이젠버드의 제안서 17.15 참조, 대수 기하학을 향한 관점을 갖는 정류 대수학)

또 다른 예는 다음과 같다.

비고: 그 정리는 세레의 정리를 증명하는 두 번째 빠른 증거로 사용될 수 있는데, R은 한정된 지구적 차원을 가지고 있는 경우에만 규칙적이라는 것이다.Indeed, by the above theorem, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0}$ and thus ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\geq s}$. On the other hand, as ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k}$, the Auslander–Buchsbaum formula gives ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$. Hence, ${\displaystyle \dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$.

우리는 다음에는 코즐 호몰로지를 사용하여 완전한 교차로 고리를 정의하고 연구한다.R을 노메테리아 지방 반지가 되게 하라.정의에 따르면 R의 첫 번째 편차는 벡터 공간 차원이다.

여기서 $x{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle d_{}}$) ${\displaystyle {\x}=(x_{1},\reason ,x_{d})$는 매개 변수의 시스템이다.정의상 조광${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle R}$+ ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \dim R+\epsilon _{1}(R)}$이 접선 공간의 치수라면 R은 완전한 교차로 링이다.( 기하학적 의미는 Hartshorne을 참조하십시오.)

주입 치수 및 Tor 치수

R을 링이 되게 하라.${\displaystyle {id}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$⁡$$ {$id} _{R}$M}이$($가) 나타내는 R-모듈 M의 주입 치수는 투영 치수처럼 정의된다$$. ${\displaystyle {Mod}_{}}$ R ${\$은(는) R-modules 범주로 한다$$.

교정: $g{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}.}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \le }$ n ${\displaystyle \operatorname {gl.dim}$ R$\leq$ n$}$을(를) 가정해 보십시오$.$ M을 R-모듈로 하고 해상도를 고려하십시오.

${\displaystyle {여기}_{}}$서 I ${\$는 주입 모듈이다$$.어떤 이상적 I을 위해서즉, ${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle R}$/ I${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R$$/$$I,-)$은 $R{\displaystyle /I}$ {\$displaysty R/I}$의 투영 분해능을 통해 계산되기$$ 때문에 0$.$ 따라서 Baer의 기준으로 N은 주입이다.${\displaystyle supp}${id ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle r{}_{}}$M M }${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle \sup\{\opername {id} _{R}M$ M$\}\leq n$ 본질적으로 화살표를 반대로 하면 그 함의를 증명할 수도 있다는 결론이다.Q.

그 정리는 우리가 일종의 글로벌 차원의 이중화를 고려한다는 것을 시사한다.

원래는 R의 약한 지구 치수라고 불렸지만 오늘날에는 R의 토르 치수라고 더 흔히 불린다.

비고: 모든 링 R, $w{\displaystyle \mathrm{}.}$ g ${\displaystyle \mathrm{l}.}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}g\mathrm{}}$ g g ${\displaystyle \mathrm{g}}$\ \ \ \ \ $\$ ${\displaystyle R}$ {\$displaystyle \operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R$

다중성 이론

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈을 하면 도움이 된다. (2015년 5월)

비 커밋 링의 치수

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈을 하면 도움이 된다. (2015년 5월)

A를 필드 k에 걸쳐서 등급이 매겨지게 한다.V가 A의 유한한 차원 생성 하위 공간이라면, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {dim}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$ f$(n)=\dim _{k}V^{n}}}}}$을(를) 넣고,

A의 겔판드-키릴로프 차원이라고 한다.${\displaystyle \mathrm{gk}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {gk} (A)}$이(가) V 선택과 무관하다는 것을 쉽게 알 수 있다.

예:A가 유한한 차원이라면 gk(A) = 0. A가 아핀 링이라면 gk(A) = A의 Krull 치수.

참고 항목

• 베이스 번호
• 퍼펙트 콤플렉스
• 진폭

메모들

참조

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• 의 제2부.
• 의 제10장.
• Kaplansky, Irving, Communative 링, Alyn과 Bacon, 1970.
• H. 마츠무라 정류 링 이론.일본어에서 M이 번역했다.리드, 두 번째 판이요케임브리지 고등수학 연구, 8.
• Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 11, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Weibel, Charles A. (1995). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge University Press.