분수장

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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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추상대수학에서 적분영역의 분수영역은 적분영역이 포함될 수 있는 가장 작은 영역이다.분수분야의 구성은 정수의 적분영역과 합리적인 수의 분야 사이의 관계를 모델로 한다.직관적으로, 통합 도메인 요소들 사이의 비율로 구성된다.

The field of fractions of ${\displaystyle R}$ is sometimes denoted by ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ or ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$, and the construction is sometimes also called the fraction field, field of quotients, or quotient field of ${\displaystyle R}$. All four은 일반적으로 사용되지만, 이상에 의한 반지의 지수와 혼동해서는 안 되는데,이것은전혀 다른 개념이다.통합 영역이 아닌 정류 링의 경우, 유사한 구조를 인수의 국산화 또는 링이라고 한다.

정의

Given an integral domain and letting ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$, we define an equivalence relation on ${\displaystyle R\times R^{*}}$ by letting ${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$ whenever ${\displaystyle nb=md}$. We denote the equivalence class of${\displaystyle (n}$, $){\d$$}$ by$$ $n{\displaystyle \frac{}{}}$ d {\d ${\displaystyle \frac{\mathrm{디스플레이}}{}}$ $스타일 {\frac$ {$n}{d$이러한 동등성의 개념은 기초 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$}}$의 $정수$에 대해 동일한 속성을 가진 합리적인 숫자 Q ${\$에 의해 동기 부여된다.

그런 다음 분수의 필드는 설정된 ${\displaystyle \text{Frac}}$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*}/\sim$})이며, 추가$$ 정보는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {n}{d}+{\frac {m}{b}={\frac {nb+md}{db}}}}}$

그리고 곱셈은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}={\frac {nm}{db}}}.}$

이러한 작업이 제대로 정의되어 있는지, 그리고 모든 통합 $도메인{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에 대해$$${\displaystyle \text{Frac}}$ ${\displaystyle (R}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{Frac}(R)}$이(가) 실제로 필드인지$$ 확인할 수 있다.특히 $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\dplaystyle n,d\neq 0}$의 $경우{\displaystyle \frac{}{}}$$,$ n ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\${\$frac{n}{d}}}$의 승법 역은 예상대로$$:${\displaystyle \frac{d}{}}$ n ${\displaystyle \cdot \frac{n}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac{d}}}\frac{d$$1$}.

The embedding of ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ maps each ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle R}$ to the fraction ${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$ for any nonzero ${\displaystyle e\in R}$ (the equivalence class is independent of the choic$e{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$ $$.${\displaystyle \frac{\mathrm{ID}}{}}$ $n{\displaystyle \frac{}{}}$ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac{n}{1}=n}$을(를) 기반으로 모델링$.$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 분수 분야는 다음과$$ 같은 범용 속성으로 특징지어진다.

$h{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ F ${\displaystyle h$일 경우$:$$R\to F}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $R$$}$에서 $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle$ $F$$}($${\displaystyle 으}$)로$$ 주입된 링 동형성 g${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{Frac}}$ac (${\displaystyle }$R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$ ${\$$displaysty$ g$:\operatorname {Frac}(R$$)\$$to$ F$}$이(가$)$로 $확장$된 고유한 링 $동형성$이 있다$.$

이 구조에는 단정적인 해석이 있다.$C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 통합 도메인 및 주입 링 맵의 범주로 설정하십시오$$.부분$$필드의 모든 통합 영역을 차지하는 필드의 범주(범용 속성에 의해 존재하는 필드)에 대한 C {\$displaystyle$ $\$$mathbf {C}$의 functor는 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ 범주에서$$C {\$displaystyle$ \$mathbf {C}$에 이르는 포함 펑터의 왼쪽 정렬이다$.$$$. 따라서 필드 범주(전체 하위 범주)는 $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 반사 하위 범주 입니다$.$

적분 영역의 역할에는 승수 ID가 필요하지 않다. 이 구성은 0이 아닌 분점 없이$$ 0이 아닌 모든 역분점 $Rng{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$에 적용할 수 있다.임베딩은 0이 아닌${\displaystyle s}$에 대해$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \frac{}{}}$s ${\$$displaystyle$ r\$mapsto {\frac${$rs}{s$$}}}$에 의해 주어진다$.$^[1]

예

• 정수 링의 분수 영역은 이성 영역: $Q{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Frac}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathb {Z} )}$이다$.$
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ R$:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathb {Z}}}}}}$을(를) 가우스 정수의 링으로 한다$$.그러면 ${\displaystyle \mathrm{프락}}$ ${\displaystyle (R}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle c}$+ d ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mid }$ c${\displaystyle }$, d ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\daystyle \operatorname {Frac}(R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathb{Q}$\}}}}} 가우스 이성계의 분야인 것이다$.$
• 한 필드의 분수장은 그 필드 자체에 대해 표준적으로 이형성이 있다.
• 감안할 때 밭 K{K\displaystyle}, 다항식환의 분수의 하나 부정 K[X]{K[X]\displaystyle}(그것은 정역은)의 분야,>:합리적인 기능의 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}field, 이성적인 분수의 필드 또는 합리적인 옛 사랑이 필드는 .mw-parser-output .vanchor&gt라고 불린다.Pressions[2][3][4][5]고 표시됩니다. K(X){K(X)\displaystyle}.

일반화

현지화

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 모든 $정류{\displaystyle }$ 링 R {\displaystyle R$}$ 및 모든 승법 $세트{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$ $S$$}$에 대해 로컬리제이션 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty$ S$^{-1R}$은 분수로 구성된 정류 링입니다$.$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

with ${\displaystyle r\in R}$ and ${\displaystyle s\in S}$, where now ${\displaystyle (r,s)}$ is equivalent to ${\displaystyle (r',s')}$ if and only if there exists ${\displaystyle t\in S}$ such that ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$.

이에 대한 두 가지 특별한 사례가 눈에 띈다.

• S ${\displaystyle S}$이(가) P ${\displaystyle P}$의 보완이라면 S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$S^{-$1}R}$도 R P ${\$로 표시된다$.$
  $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 통합 영역이고 P ${\displaystyle P}$이(가) 0 이상일$$ 때, ${\displaystyle R_{}}$ P ${\$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystystyle R}$의 분수 영역이다$.$
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 비제로-divisor 집합이라면 S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$을(를) 총 몫 링이라고 한다$$$.$
  통합 영역의 총 지수 링은 분수 영역이지만, 총 지수 링은 모든 조합 링에 대해 정의된다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 0을 ${\displaystyle {}^{}}$할 수 있지만 이 경우 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$은(는) 사소한 링이 된다$$.

분수의 반필드

분수가 0인 정류적 의미 분수의 반필드는 분수가 포함될 수 있는 가장 작은 반필드다.

정류적 의미 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 분율의 반필드 요소는 다음과 같이 작성된 동등성 등급이다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 있는 경우$.$

참고 항목

• 광석 조건, 비확정 사례에서 분율 구성과 관련된 조건.
• 링 위의 투영 선, 통합 도메인에 국한되지 않는 대체 구조.

참조