비아벨론계급장론

Non-abelian class field theory

수학에서 비아벨라 계급장 이론은 캐치프레이즈로, 어떤 숫자 필드 K의 아벨리아 확장성에 대한 비교적 완전하고 고전적인 결과 집합인 계급장 이론의 결과를 일반 갈루아 확장 L/K로 확장하는 것을 의미한다. 1930년까지 계급장 이론이 본질적으로 알려진 반면, 그에 상응하는 비아벨리안 이론은 결정적이고 수용된 의미로 공식화된 적이 없다.[1]

역사

집단 코호몰로지 측면에서 계급장 이론의 발표는 주로 1940년대에 클로드 체발리, 에밀 아르틴 등이 수행했다. 이것은 이데클 클래스 그룹의 집단 코호몰리를 통해 중앙 결과를 공식화하는 결과를 낳았다. 코호몰로지 접근법의 이론은 L/K의 갈루아 그룹 G가 아벨리안인지 여부와는 무관하다. 이 이론은 지금까지 결코 추구되는 비아벨론적 이론으로 간주된 적이 없다. 그 이유로 인용될 수 있는 첫 번째 이유는 갈루아 연장에서 주요한 이상들의 분열에 관한 새로운 정보를 제공하지 않았기 때문이다; 비아벨라 계급장 이론의 목적을 설명하는 일반적인 방법은 그러한 분열 패턴을 표현하기 위한 보다 명시적인 방법을 제공해야 한다는 것이다.[2]

따라서 동족학적 접근법은 비아벨라 계급장 이론을 형성하는 데에도 제한적으로 사용되었다. 역사의 이면에는 디리클레 시리즈를 사용하지 않고, 즉 L-기능을 제거하기 위한 수업장 이론의 증명서를 써 달라는 체발리의 바람이 있었다. 계급장 이론의 중심적 이론에 대한 제1차 증명 파장은 두 개의 '비양점'(갈루아 이론의 근본 정리를 지금 주어진 증명과 동일한 구조)으로 구성되었다. 두 가지 불평등 중 하나는 L-기능과의 논쟁과 관련이 있었다.[3]

나중에 이러한 발전을 역전시키면서, 비아벨리안 사례에 대한 아르틴 상호주의를 일반화하기 위해서는 사실 아르틴 L-기능을 표현하는 새로운 방법을 모색하는 것이 필수적이라는 것이 실현되었다. 이 야망의 현대적 공식화는 랭글랜드 프로그램을 통해 이루어지는데, 이 프로그램에서 아르틴 L 기능 또한 자동화된 표현의 L 기능이라고 믿을 수 있는 근거가 주어진다.[4] 21세기 초를 기점으로, 이것은 전문가 수용도가 가장 넓은 비아벨라 계급장 이론의 개념의 정립이다.[5]

메모들

  1. ^ 비아벨리안 갈루아 그룹과의 정상적인 확장을 위해 비아벨리안 계급장 이론을 만드는 문제는 남아 있다. 보낸 사람 Kuz'min, L.V. (2001) [1994], "Class field theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
  2. ^ 통계적 수준에서 디리클레의 일반화에서 체보타리오프의 밀도 정리에 이르는 산술적 진행에 관한 고전적 결과는 2차 상호주의 같은 범위의 일반화다.
  3. ^ 오늘날의 용어로는 그것이 두 번째 불평등이다. 현대 프리젠테이션은 클래스 구성을 참조하십시오.
  4. ^ 제임스 W. 코그델, 펑커셜리티, 컨버스 이론 및 응용 프로그램(PDF)은 펑커셜성 자체가 비아벨리안 계급장 이론에 대한 랭글랜드의 비전의 발현이라고 말한다.
  5. ^ 비-아벨라 필드 확장에 대한 상호주의 법칙과 기호의 문제는 비-아벨라 계급장 이론과 랭글랜드 프로그램에 더 적절하게 들어맞는다.