랭글랜드 프로그램

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표현 이론과 대수적 수 이론에서, 랭글랜드 프로그램은 수 이론과 기하학 사이의 연결에 대한 광범위하고 영향력 있는 추측의 거미줄입니다.Robert Langlands(1967, 1970)에 의해 제안된, 그것은 대수적 수 이론의 갈로아 군을 국소장과 아델에 걸친 대수적 군들의 자기 형태와 표현 이론과 관련짓는 것을 추구한다.현대 수학 연구에서 가장 큰 프로젝트로 널리 알려진 랭글랜드 프로그램은 에드워드 프렌켈에 의해 "수학의 ^[1]거대한 통합 이론"이라고 묘사되어 왔다.

랭글랜드 프로그램은 매우 복잡한 이론적인 추상화들로 구성되어 있는데, 이것은 전문가 수학자들조차 이해하기 어려울 수 있다.지나치게 단순화하면, 프로젝트의 기본 보조항목이 유한 필드의 일반화된 기본 표현과 그것이 불변하는 자기 형태에 대한 그룹 확장 사이의 직접적인 연관성을 가정합니다.이는 대수의 절대적 확장으로서 특정 분석 그룹에 대한 등가성으로 고차원 적분으로의 추상화를 통해 달성된다.결과적으로, 이것은 숫자 필드에 대한 강력한 불변성 변환을 자체 대수 구조로 해석하는 함수 구성을 가능하게 한다.

이러한 구성의 의미는 미묘하지만, 그 구체적인 해결책과 일반화는 매우 강력합니다.그러한 이론적 물체에 대한 존재 증명의 결과는 사실상 모든 수 필드에 대한 기본 구조의 범주적 매핑을 구성할 때 분석 방법을 의미한다.소수의 가능한 정확한 분포에 대한 아날로그로서, 랭글랜드 프로그램은 일반화 대수 구조 수준에서 불변성을 해결하기 위한 잠재적 일반 도구를 가능하게 한다.이것에 의해, 산술 오브젝트의 자동 형태 함수를 통해서, 어느 정도 통일된 분석을 실시할 수 있습니다.간단히 말해서, 랭글랜드 철학은 숫자의 추상화를 구성하는 일반적인 분석을 가능하게 합니다.당연히 이 설명은 프로그램의 적절한 이론의 축소 및 과잉 일반화이지만, 이러한 수학적 유추는 개념화의 기초를 제공한다.

배경

매우 넓은 맥락에서, 프로그램은 기존 아이디어에 기반을 두었다: Harish-Chandra와 Gelfand(1963년), 반단순 거짓말 그룹에 대한 Harish-Chandra의 작업과 접근법, 그리고 기술적인 측면에서 Selberg와 다른 사람들의 추적 공식.

처음에 랭글랜즈의 작업에서 기술적인 깊이 외에도 매우 새로운 것은 숫자 이론과 함께 가설된 풍부한 조직 구조(이른바 기능성)와 직접적으로 연결되는 제안이었다.

예를 들어, Harish-Chandra의 연구에서 한 개의 반단순(또는 환원적) 거짓말 그룹에 대해 할 수 있는 것은 모두를 위해 이루어져야 한다는 원칙을 찾을 수 있다.따라서 모듈러 형식의 이론에서 GL(2)과 같은 일부 저차원 Lie 그룹의 역할이 인식되고 클래스 필드 이론에서 GL(1)이 나중에 확인되면, 일반 n > 2에 대한 GL(n)에 대한 추측에 대한 길이 열렸다.

첨두 형태 아이디어는 모듈러 곡선의 첨두에서 나왔지만 아이젠슈타인 계열의 "연속 스펙트럼"과 대조적으로 스펙트럼 이론에서 "이산 스펙트럼"으로 가시적인 의미를 가졌다.포물선 하위 그룹이 더 많기 때문에 Lie 그룹이 클수록 훨씬 더 전문적입니다.

이러한 모든 접근 방식에는 기술적 방법이 부족하지 않았습니다. 대개 귀납적이고 Levi 분해에 기초한 경우가 많았지만, 이 분야는 매우 ^[2]까다롭습니다.

모듈러형식의 측면에는 힐베르트 모듈러형식, 시겔 모듈러형식, 세타계열 등의 예가 있습니다.

물건들

랭글랜드에 관련된 추측들이 많이 있다.여러 분야에 걸쳐 다양한 그룹이 존재하며, 각 분야에 대해 여러 가지 다른 버전의 ^[3]추측이 있습니다.랭글랜드 추측의 일부 버전은^[which?] 모호하거나, 존재 여부가 증명되지 않은 랭글랜드 그룹이나, 여러 개의 불평등한 정의를 가진 L 그룹과 같은 개체에 의존합니다.게다가, 랭글랜드 추측은 1967년 랭글랜드가 처음 언급한 이후 발전해 왔다.

Langlands의 추측을 나타낼 수 있는 오브젝트에는 다음과 같은 종류가 있습니다.

• 국소장에 대한 환원 그룹의 표현(아르키메데스 국소장, p-adic 국소장 및 함수장의 완성에 대응하는 다른 서브 케이스 포함)
• 글로벌 필드(숫자 필드 또는 함수 필드에 대응하는 서브 케이스 포함) 상의 환원 그룹에 대한 자동 형태.
• 유한 필드랭글랜드는 원래 이 경우를 고려하지 않았지만, 그의 추측에는 유사점이 있다.
• 복잡한 번호 위에 있는 함수 필드 등 보다 일반적인 필드.

추측

랭글랜드 추측을 설명하는 데는 여러 가지 다른 방법이 있는데, 그것들은 밀접하게 관련되어 있지만 명백하게 동일하지는 않다.

상호주의

프로그램의 시작점은 2차 상호주의를 일반화하는 에밀 아르틴의 상호 법칙으로 볼 수 있다.아르틴 상호성 법칙은 갈로아군이 아벨인 대수적 수장의 갈로아 확장에 적용된다; 갈로아군은 이 갈로아군의 1차원 표현에 L-함수를 할당하고, 이러한 L-함수가 특정 디리클레 L-계열 또는 그 이상의 일반 급수와 동일함을 명시한다(즉, 리만 제타의 특정 아날로그).기능)은 헤케 문자로 구성됩니다.이러한 다른 종류의 L-함수들 사이의 정확한 대응은 Artin의 상호 법칙을 구성한다.

비벨리안 갈로아 군과 이들의 고차원적 표현에 대해서는 여전히 자연스러운 방법으로 L 함수를 정의할 수 있다: Artin L-함수.

랭글랜드의 통찰력은 디리클레 L-함수의 적절한 일반화를 찾는 것이었고, 이 보다 일반적인 상황에서 아르탱의 진술을 공식화할 수 있게 했다.헤케는 앞서 디리클레 L-함수와 자기형태(특정 함수식을 $만족$하는 C$\displaystyle$\mathbb${C}}($복소수)의 상반평면의 정칙함수)를 연관시켰다.그런 다음 랭글랜즈는 Q의$$아델링(유리수$)$에 걸쳐 일반 선형 그룹 GL$(n$)의 $특정{\displaystyle \mathbb{}}$ 무한 차원 축소 불가 표현인 자기 형태 교두보 표현으로 이를 일반화했다.(이 링은${\displaystyle }$Q의 $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ 완료를 동시에 추적합니다$.\displaystyle \mathbb {Q}$ , p-adic 숫자 참조).

Langlands는 이러한 자기정형 표현에 자기정형 L-함수를 부가하고, 수장의 갈로아군의 유한차원 표현에서 발생하는 모든 Artin L-함수가 자기정형 교두보 표현에서 발생하는 것과 같다고 추측했다.이것은 그의 "호기적 추측"으로 알려져 있다.

대략적으로 말하면, 상호성 추측은 환원군의 자기동형 표현과 랭글랜즈 군에서 L 군으로의 동형사상 사이의 대응관계를 제공한다.여기에는 수많은 변형이 있는데, 부분적으로 Langlands 그룹과 L-group의 정의가 고정되어 있지 않기 때문입니다.

국소 필드에 걸쳐 이것은 국소 필드에 걸쳐 환원 그룹의 허용되는 환원 불가능한 표현의 L-패킷의 매개 변수화를 제공할 것으로 예상된다.예를 들어, 실수에 대한 대응은 실제 환원 그룹의 표현에 대한 랭글랜드 분류이다.글로벌 필드에 걸쳐 자동 형태 매개 변수를 제공해야 합니다.

기능성

기능성 추측은 L-그룹의 적절한 동형성이 (글로벌의 경우) 또는 (로컬의 경우) 표현 사이의 대응성을 제공할 것으로 예상된다고 말한다.대략적으로 말해서, 랭글랜드 상호성 추측은 환원 그룹 중 하나가 사소한 경우 기능성 추측의 특별한 경우이다.

범용 기능성

Langlands는 일반적인 선형 그룹 GL(n) 대신 다른 연결된 환원 그룹을 사용할 수 있다는 기능성의 개념을 일반화했다.게다가 이러한 군 G가 주어졌을 때, 랭글랜즈는 랭글랜즈 쌍대군 G를 구성하고, 그 후 G의 모든 자기동형적 첨두부 표현 및 G의 모든 유한 차원 표현에 대해 L-함수를 정의한다.그의 추측 중 하나는 이러한 L-함수가 알려진 다른 L-함수의 함수를 일반화하는 특정 함수 방정식을 만족한다고 말한다.

그리고 나서 그는 매우 일반적인 "기능성 원칙"을 공식화한다.두 개의 환원 그룹과 해당 L-그룹 사이의 (잘 행동한) 형태론이 주어진다면, 이 추측은 그들의 L-함수와 양립할 수 있는 방식으로 그들의 자기 형태적 표현을 연관시킨다.이 기능성 추측은 지금까지 제시된 다른 모든 추측을 암시한다.이것은 유도된 표현 구성의 특성이다. 더 전통적인 자기 형태 이론에서는 특별한 경우에 알려진 '리프팅'이라고 불렀고 공변량(제한된 표현이 반변하는 경우)도 마찬가지이다.직접 구성을 지정하려는 시도는 일부 조건부 결과만 도출했습니다.

이러한 모든 추측은 Q$(\$ 대수적 숫자 필드(원래 가장 중요한 경우), 국소 필드 및 함수 필드(F(t)의_p 유한 확장자, 여기서_p p는 소수, F(t)는 p 요소를 가진 유한 필드 위의 유리 함수 필드) $대신{\displaystyle \mathbb{}}$ 보다 일반적인 필드에 대해 공식화할 수 있습니다.

기하학적 추측

블라디미르 드린펠트의 아이디어에 따라 제라르 라우몬이 제안한 소위 기하학적 랭글랜드 프로그램은 단순히 축소할 수 없는 표현 이상의 것을 관련시키려는 일반적인 랭글랜드 프로그램의 기하학적 재구성에서 비롯되었습니다.단순한 경우, 대수 곡선의 에테일 기본 그룹의 l-adic 표현을 곡선 위의 벡터 다발의 모듈리 스택에 있는 파생된 l-adic 시브의 객체와 관련짓는다.

현황

GL(1, K)에 대한 랭글랜드 추측은 클래스 필드 이론에서 따랐다(그리고 본질적으로 동등하다).

랭글랜드는 랭글랜드에 환원 불가능한 표현을 분류함으로써 아르키메데스 $국소장{\displaystyle \mathbb{}}$ R$($실수$)$ $및{\displaystyle \mathbb{}}$ C$(\$에 대한 그룹에 대한 랭글랜드 추측을 증명했다.

유한장에 대한 Lie 유형의 그룹의 축소 불가능한 표현에 대한 Lusztig의 분류는 유한장에 대한 랭글랜드 추측의 유사성으로 간주될 수 있다.

Andrew Wiles의 합리성에 대한 반안정 타원곡선의 모듈화 증명은 Langlands 상호성 추측의 한 예로 볼 수 있다. 왜냐하면 주요 아이디어는 타원곡선에서 발생하는 갈로아 표현들을 모듈러 형태와 관련짓는 것이기 때문이다.와일스의 결과는 상당히 일반화되어 있지만${\displaystyle ,}$ 여러 가지 방향에서 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ (${\displaystyle 2\mathbb{},}$ Q$)$ $({displaystyle {GL}}$ ($2,\mathbb {Q})$에 ${\displaystyle \text{대한}}$ 완전한 랭글랜드 추측은 아직 검증되지 않았다.

1998년, Laurent Lafforgue는 함수장 K에 대한 일반 선형군 GL(n, K)에 대한 Lafforgue의 추측을 검증하는 Lafforgue의 정리를 증명했다.이 연구는 1980년대에 GL(2, K) 사례를 입증한 Drinfeld의 초기 조사를 계속했다.

2018년에 Vincent Lafforgue는 글로벌 함수 분야에 ^[4][5][6]걸쳐 연결된 환원 그룹에 대한 글로벌 랭글랜드 대응(자동 형태에서 갈로아 표현으로의 방향)을 확립했습니다.

로컬 랭글랜드 추측

Philip Kutzko(1980)는 국소장에 대한 일반 선형 그룹 GL(2, K)에 대한 국소 랭글랜드 추측을 증명했다.

제라르 라우몽, 마이클 라포포르, 울리히 스투흘러(1993)는 양의 특성 국소장 K에 대한 일반 선형군 GL(n, K)에 대한 국소 랭글랜드 추측을 증명했다.그들의 증명은 전지구적 논거를 사용한다.

리처드 테일러와 마이클 해리스(2001)는 특성 0 국소장 K에 대한 일반 선형 그룹 GL(n, K)에 대한 국소 랭글랜드 추측을 입증했다.가이 헤니아트(2000)는 또 다른 증거를 제시했다.두 증명 모두 글로벌 인수를 사용합니다.피터 스콜즈(2013)는 또 다른 증거를 제시했다.

기본 보조항법

2008년 응고부오쩌우는 1983년 랭글랜드와 셸스타드에 의해 최초로 추측되었고 랭글랜드 ^[7][8]프로그램의 일부 중요한 추측의 증명에 필요한 "근본 보조 보조체"를 증명했다.

시사점

일반 독자나 비전문가 수학자에게도 랭글랜드 프로그램 내의 추상화는 다소 이해하기 어려울 수 있습니다.그러나 랭글랜드의 근본적인 추측에 대한 입증 또는 반증에는 강력하고 명확한 함의가 있다.

프로그램이 해석적 수 이론과 대수기하학의 일반화 사이에 강력한 연결을 가정할 때, 숫자 필드의 추상적 대수적 표현과 분석적 소수 구조 사이의 '함수성'의 개념은 소수 분포의 정확한 수량화를 가능하게 하는 강력한 기능적 도구를 낳습니다.이것은 차례로 디오판토스 방정식의 분류와 대수함수의 추가 추상화를 위한 능력을 산출한다.

게다가, 만약 배치된 물체에 대해 그러한 일반화 대수의 상호성이 존재한다면, 그리고 만약 그들의 해석 함수가 잘 정의된 것을 보여줄 수 있다면, 수학에서 몇몇 매우 깊은 결과들은 입증할 수 있는 범위 내에 있을 수 있다: 타원 곡선의 합리적인 해법, 대수적 다양성의 위상 구조, 그리고 유명한 리만 하이퍼.o합성^{[citation needed]}, 일반화된 분석 시리즈의 객체에서 추상적인 솔루션을 통해.여기서 각각은 숫자 필드 구조 내의 불변성과 관련이 있습니다.

추가적으로, 랭글랜드 프로그램과 M 이론 사이의 몇 가지 연관성은 그들의 이중성이 중요하지 않은 방식으로 연결되고, 초끈 이론에서 잠재적인 정확한 해결책을 제공하기 때문에 포지셔닝되었습니다(괴물 문샤인을 통해 그룹 이론에서 비슷하게 행해진 것처럼).

간단히 말해서, 랭글랜드 프로젝트는 기하학적 형태에 포함된 분석 함수와 함께 대수 방정식의 정확한 해법의 고차적 일반화를 통해 수학의 가장 기본적인 영역에 영향을 미치는 깊고 강력한 해법의 프레임워크를 의미합니다.그것은 많은 먼 수학 분야를 강력한 분석 방법의 형식주의로 통합할 수 있게 해준다.

「 」를 참조해 주세요.

자케트-랑글란드 대응

메모들

레퍼런스

• Arthur, James (2003), "The principle of functoriality", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 40 (1): 39–53, doi:10.1090/S0273-0979-02-00963-1, ISSN 0002-9904, MR 1943132
• Bernstein, J.; Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3211-2
• Gelbart, Stephen (1984), "An elementary introduction to the Langlands program", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6, ISSN 0002-9904, MR 0733692
• Frenkel, Edward (2005). "Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory". arXiv:hep-th/0512172.
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• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil
• Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 18–61, doi:10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
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• Scholze, Peter (2013), "The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields", Inventiones Mathematicae, 192 (3): 663–715, arXiv:1010.1540, Bibcode:2013InMat.192..663S, doi:10.1007/s00222-012-0420-5, S2CID 15124490

외부 링크

• 로버트 랭글랜드의 작품