정규 분포 및 상관 관계가 없는 것이 독립성을 의미하지 않음

확률론에서, 단순한 예들이 두 랜덤 변수의 선형 비관계성이 일반적으로 그들의 독립성을 의미하지 않는다는 것을 보여주지만, 때때로 그것은 두 랜덤 변수가 정규적으로 분포되어 있을 때 그것을 의미한다고 잘못 생각되기도 한다.이 글에서는 이변량 정규 분포를 포함한 다변량 정규 분포를 가정하더라도 정규 분포를 가정하는 것은 그러한 결과를 가져오지 않는다는 것을 보여준다.null

To say that the pair ${\displaystyle (X,Y)}$ of random variables has a bivariate normal distribution means that every linear combination ${\displaystyle aX+bY}$ of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ for constant (i.e. not random) coefficients ${\displaystyle a}$ and ${\displays$$tyle b}$은(는) 일변량 정규 분포를 가지고$$ 있다.$이{\displaystyle }$ 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 Y ${\displaystyle$ Y$}$이(가) 상관 관계가$$ 없으면 독립적이다.^[1]그러나 두 개의 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$과 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 너무 공동으로 분포되어$$ 각 변수만 약간 정규 분포를 따르고 상관관계가 없지만 독립적이지 않은 경우, 아래에 예를 제시한다.null

예

대칭 예제

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 정규 분포가 기대 값 0과 분산 1이라고 가정해 보십시오.Let ${\displaystyle W}$ have the Rademacher distribution, so that ${\displaystyle W=1}$ or ${\displaystyle W=-1}$, each with probability 1/2, and assume ${\displaystyle W}$ is independent of ${\displaystyle X}$. Let ${\displaystyle Y=WX}$. Then

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$은(는) 상관 관계가 없다.
• 둘 다 동일한 정규 분포를 가지고 있다.
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 독립적이지 않다.^[2][3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) 상관 관계가 없음을 확인하려면 공분산 ${\displaystyle \mathrm{cov}(X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaysty \operatorname {cov}(X,Y)}$: 정의상 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)=\operatorname {E}(X)-\operatorname {E}(Y).}$

그런 다음 임의 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$및 W ${\displaystyle W}$을$($를) 정의하고$,$ X {\$displaystyle$ X$}$에서 W {\$displaystyle$ W}을$($를$)$ 독립적으로 정의하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-0=\operatorname {E} (X^{2}W)=\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (W)=\operatorname {E} (X^{2})\cdot 0=0.}$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과(와) 동일한 정규 분포를 갖도록$$ 하려면$$을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin}\Pr(Y\leq x)&#{}=\operatorname {E}(\Pr(Y\leq x\mid W))\\&{}=\Pr(X\leq x)\Pr(W=1)+\Pr(-X\leq x)\Pr(W=-1)\\&{}=\Phi (x)\cdot {\frac {1}{2}}+\Phi (x)\cdot {\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -X}$이(가) 모두 동일한 정규 분포를 갖기 때문에 여기서 ${\displaystyle ((x}$ )은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수인 $\$displaystyle \$displaystyle \Phi(x)}$null

To see that ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are not independent, observe that ${\displaystyle Y = X }$ or that ${\displaystyle \operatorname {Pr} (Y>1 X=1/2)=\operatorname {Pr} (X>1 X=1/2)=0}$.

Finally, the distribution of the simple linear combination ${\displaystyle X+Y}$ concentrates positive probability at 0: ${\displaystyle \operatorname {Pr} (X+Y=0)=1/2}$. Therefore, the random variable ${\displaystyle X+Y}$ is not normally distributed, and so also ${\displaystyle X}$$$ 및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(위의 정의에 따라) 공동으로 정규 분포를 따르지 않는다.null

비대칭 예제

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 정규 분포가 기대 값 0과 분산 1이라고 가정해 보십시오.내버려두다

${\displaystyle Y=\left\{\begin{matrix}X&{\text}}}}\왼쪽 X\right \leq c\\-X&{\text}}}}}}\오른쪽 X\right >c\end{matrix}\right}\right.}$

$여기$서 c ${\displaystyle c}$은(는) 아래에서 지정할 양수다.If ${\displaystyle c}$ is very small, then the correlation ${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)}$ is near ${\displaystyle -1}$ if ${\displaystyle c}$ is very large, then ${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)}$ is near 1.상관 관계는 c ${\displaystyle$ c$}$의$$연속 함수이므로 중간 값 정리는 상관 관계를 0으로 만드는$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 특정 값이 있음을 암시한다.그 값은 대략 1.54이다.^{[note 1]}이 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 상관 관계가 없지만$$, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 완전히$$ 결정하므로 독립적이지 않은 것이 분명하다$.$

Y ${\displaystyle Y}$이(가) 정규 분포를 따르도록 하려면(사실, 해당 분포가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 분포와 동일해야 함수를 계산할 수 있다.$$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y\leq x)&=\Pr(\{ X \leq c{\text{ and }}X\leq x\}{\text{ or }}\{ X >c{\text{ and }}-X\leq x\})\\&=\Pr( X \leq c{\text{ and }}X\leq x)+\Pr( X >c{\text{ and }}-X\leq x)\\&=\Pr( X \leq c{\text{ and }}X\leq x)+\Pr( X >c{\text{ and }}X\leq x)\\&=\Pr(X\leq x),\end{aligned}}}$

$여기$서 다음부터 마지막까지의 $평등$은 X {\$displaystyle$ X} 분포의 대칭과$$ $display$ c {\$displaystyle$ X \leq $c}$ 조건의 대칭에서 나타난다$.$

이 예에서 $X{\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y}$의 차이는 0과 같은 상당한 확률(약 0.88)을 가지므로 정규 분포에 가까운 것은 아니다$$.대조적으로, 연속 분포인 정규 분포는 이산형 부분이 없다. 즉, 어떤 단일 지점에서 0보다 큰 확률을 농축하지 않는다.따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 별도로 정규 분포를 따르더라도 공동 정규 분포를 따르지 않는다$$.^[4]null

ℝ의² 거의 모든 곳에서 지원을 받는 예

두 개의 독립적인 표준 정상 랜덤의 비율$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$와 ${\displaystyle {Yi}_{}}${\$displaysty Y_{i}}}$이(가) Cauchy 분포를 갖는$$ 것은 잘 알려져 있다.Cauchy $variable$ C {\$displaystyle$ C$}$과(와) 동등하게 시작하고 Y$$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 조건부 분포를 도출하여$$ X ${\displaystyle i_{}}$= C ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 요구사항을 만족시킬 수 있다.${$$i},$ X$$$$ i {\displaystyle $X_{i},$ ${\displaystyle {Yi}_{}}$ {\$displaystyle Y_{i},$ 독립적이고$$ 표준적인 정상.계산을 치르다 보면

${\displaystyle Y_{i}=W_{i}{\sqrt {\frac {\chi _{i}^{2}\왼쪽(k=2\오른쪽){1+C^{2}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {Wi}_{}}$ ${\$는 Rademacher 랜덤 변수이고$$ $and{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}k}$= ${\displaystyle 2}$) ${\$오른쪽$)$은 자유도가 2인 카이 제곱 랜덤 변수다.null

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\$의 두 세트를 고려하십시오.$Y_{i}\right)}$, ${\displaystyle i\in \left\{1,2\right\}}$. Note that ${\displaystyle C}$ is not indexed by ${\displaystyle i}$ – that is, the same Cauchy random variable ${\displaystyle C}$ is used in the definition of both ${\displaystyle \left(X_{1},Y_{1}\right)}$ and${\displaystyle }$( ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\$$Y_{2}\오른쪽)}$.This sharing of ${\displaystyle C}$ results in dependences across indices: neither ${\displaystyle X_{1}}$ nor ${\displaystyle Y_{1}}$ is independent of ${\displaystyle Y_{2}}$. Nevertheless all of the ${\displaystyle X_{i}}$ and ${\displaystyle Y_{i}}$ are uncorrelated이변량 분포는 모두 축에 걸쳐 반사 대칭을 가진다.null

그림에는 위의 분포에서 추출한 표본의 산점도 나와 있다.이것은 상관관계가 없고 정상적인 한계분포를 가지지만 독립적이지 않은 이변량 분포의 두 가지 예를 제공한다.왼쪽 패널에는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 분포는 원점을 제외한 모든 곳에서 지지된다.오른쪽 패널에는 Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 분포는 축을 제외한 모든 곳에 지지대가 있고 원점에 불연속성이 있다: 축을 제외한 모든 직선 경로를 따라 원점에 접근하면 밀도가 분산된다.null

참고 항목

• 상관관계와 의존성

참조

메모들