카우치 분포

카우치

확률밀도함수 보라색 곡선은 표준 Cauchy 분포다.
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 $displaystyle x_{0}\!}$ 위치$$(실제) > ${\displaystyle \gamma >0}$척도(실제)
지원	$\displaystyle x\in(-\flatty,+\flotty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \cHB\,\좌측[1+\좌측]\frac {x_{0}{0}}{x_}}}{{0}\우측)^{2}\우측]}}}\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\refractan \left\frac {x_{0}}{\fract }+{\frac {1}{1}{2}}\\!}$
퀀틸레	${\displaystyle x_{0}+\pi \,\tan[\pi(p-{\tfrac {1}{2}})]}$
평균	정의되지 않은
중앙값	${\displaystyle x_{0}\!}$
모드	${\displaystyle x_{0}\!}$
분산	정의되지 않은
왜도	정의되지 않은
엑스트라 쿠르토시스	정의되지 않은
엔트로피	${\displaystyle \log(4\pi \pi )\!}$
MGF	존재하지 않음
CF	$\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\display \, t )\!}$
피셔 정보	${\displaystyle {\frac {1}{2\reason ^{2}}$

아우구스틴 코치의 이름을 딴 카우치 분포는 연속 확률 분포다. 특히 물리학자들 사이에서는 로렌츠 분포(Hendrik Lorenz 이후), 카우치-로렌츠 분포, 로렌츠(ian) 함수 또는 브라이트-위그너 분포로도 알려져 있다. Cauchy 분포 $f{\displaystyle ({}_{}}$; ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )}$은 균일하게 분포된 각도로${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\gamma }$) ${\displaystyle (x_{0},\gamma )$에서 발행되는 광선의 x절차의 분포이다$$. 또한 평균이 0인 두 개의 독립 정규 분포 랜덤 변수의 비율 분포가 된다.

Cauchy 분포는 "병리학적" 분포의 표준적인 예로 종종 사용된다. 예상값과 분산 모두 정의되지 않았기 때문이다(그러나 아래의 § 정의되지 않은 순간의 설명 참조). Cauchy 분포는 1보다 크거나 같은 순서의 유한한 모멘트를 가지고 있지 않다. 단분수 절대 모멘트만 존재한다.^[1] Cauchy 분포는 순간 생성 기능을 가지고 있지 않다.

수학에서는 상반면 라플라스 방정식의 근본 해법인 포아송 커널과 밀접한 관계가 있다.

안정적이고 분석적으로 표현할 수 있는 확률밀도함수를 가진 몇 안 되는 분포 중 하나이며, 다른 분포는 정규 분포와 레비 분포다.

역사

카우치 분포의 밀도함수의 형태를 가진 함수들은 17세기 수학자들에 의해 연구되었지만, 다른 맥락에서 그리고 아그네시의 마녀라는 칭호로 연구되었다. 그 이름에도 불구하고, 카우치 분포의 성질에 대한 최초의 명시적 분석은 1824년 프랑스의 수학자 포아송에 의해 발표되었는데, 카우치는 1853년 학문적 논쟁 중에야 그것과 연관되게 되었다.^[2] 이와 같이 분배의 명칭은 에포니미(Eponymy)의 스티글러법(Stigler's Law of Eponymy)의 사례다. 포아송은 그러한 분포에 따른 관측치의 평균을 취했을 경우 평균 오차는 유한한 숫자로 수렴되지 않았다고 지적했다. 이와 같이 라플레이스가 그러한 분포와 함께 중심 한계 정리를 사용한 것은 유한한 평균과 분산을 가정했기 때문에 부적절했다. 그럼에도 불구하고, 포아송은 이 문제를 중요하게 여기지 않았다. 비엔에이메는 이 문제로 오랫동안 카우치를 논쟁에 끌어들이려고 했던 비엔에이메와는 대조적이다.

특성화

확률밀도함수

Cauchy 분포에는 확률밀도함수가 있다(PDF)^[1][3]

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $x{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$은 분포의 피크 위치를 지정하는 위치 매개변수이고, $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 반최대(HWHM)로 반 너비를 지정하는 척도 매개변수로서, 대안으로 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystystyle$ 2$\gma }$은 최대 너비(FWHM). $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaying$}$스타일 \cHB }$도 사분위간 범위의 절반과 같으며$$ 때때로 발생 가능한 오류라고 불린다. 아우구스틴-루이 코치는 1827년에 그러한 밀도 함수를 극소수 척도 매개변수로 이용하여 현재 디락 델타 함수로 불릴 것을 정의했다.

Cauchy PDF의 최대값 또는 진폭은 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\$이며$,$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 위치한다$.$

PDF를 복잡한 매개 $변수{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma$}의 관점에서 표현하는 것이 때로는 편리하다.

${\displaystyle f(x;\psi )={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Im}}\left({\frac {1}{x-\psi }}\right)={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Re}}\left({\frac {-i}{x-\psi }}\right)}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$= 1 ${\displaystyle \gamma =$1}이$($가) 있을 때 특별한 경우를 확률밀도함수를^[4][5] 가진 표준 Cauchy 분포라고 한다$$.

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi(1+x^{2})}.\!}$

물리학에서는 3-모수 로렌츠 함수를 흔히 사용한다.

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\precent[1+\left]{\frac {x-x_{0}}{\gamma }}}}^{2}\right]}}}}}}}}}}=I\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\오른쪽],}$

$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) 피크 높이 입니다. 표시된 3-모수 로렌츠안 함수는 일반적으로 확률밀도함수가 아니다. 단, 1에 통합되지 않기 때문이다. I${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\$ I$={\frac {1}{\pi \gamma}.$$\!}$

누적분포함수

Cauchy 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}}}\proctan \left.({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}}}+{\frac {1}{1}:{2}}:}}$

Cauchy 분포의 퀀텀 함수(역 cdf)는

${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{1}{2}}\오른쪽)\right].}$

이어 제1 사분위수와 제3 사분위는${\displaystyle }$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 -${\displaystyle {}_{}\gamma ,}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}\gamma }$) ${\displaystyle (x_{0}-\gamma,x_{0}+\gamma )}$이고$,$ 따라서 사분위간 범위는 2 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle$ 2$\gma }$이다$.$

표준 분포의 경우 누적 분포 함수는 arctangent 함수 ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \arctan(x)}$으로 단순화된다$.$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}}\arctan \left(x\오른쪽)+{\frac {1}{1}:{1}}}$

엔트로피

Cauchy 분포의 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}H(\gamma )&=-\int _{-\int _{-}^{}f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma )\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Cauchy 분포에 대한 퀀텀 함수인 퀀텀 밀도 함수의 파생상품은 다음과 같다.

${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \,\pi \,{\sec }^{2}\왼쪽[\pi \left(p-{\tfrac {1}{1}{2}}\오른쪽)\오른쪽]\!}$

분포의 차등 엔트로피는 그 분량 밀도,^[6] 특히 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle H(\gamma )=\int_{0}^{1}\log \, (Q'(p;\gamma )\,\mathrm {d}p=\log(4\pi \gamma )}$

Cauchy 분포는 다음과 같은 랜덤$$ 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 최대 엔트로피 확률 분포다.

${\displaystyle \operatorname {E} [\log(1+(X-x_{0})^{2}/\gamma ^{2}]=\log 4}$

또는 다음 중 임의 변수의 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해$$

${\displaystyle \operatorname {E} [\log(1+(X-x_{0})^{2}]=2\log(1+\gamma).}$

표준 형식에서 이 분포는 다음과 같은 랜덤^[7] 변수$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 최대 엔트로피 확률 분포다.

${\displaystyle \operatorname {E} \!\left[\ln(1+X^{2}\right]=\ln 4.}$

컬백-라이블러 발산

두 Cauchy 분포 사이의 Kullback-Leibler 차이에는 다음과 같은 대칭 닫힘 형태 공식이 있다.^[8]

${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{l_{1}, s_{1}:{1}:p_{2}, s_{2}}\\right)=\log {\frac(s_{1}+s_{2})}\오른쪽)^{2}+\왼쪽(l_{1}-l_{2}\오른쪽)^{2}}:{4s_{1}s_{2}}.}$

두 Cauchy 분포 사이의 모든 f-diversity는 대칭이며 카이-제곱 분산 함수로서 표현될 수 있다.^[9] 총 변동에 대한 폐쇄형 표현식, 젠슨-샤논 발산, 헬링거 거리 등을 이용할 수 있다.

특성.

Cauchy 분포는 평균, 분산 또는 더 높은 모멘트가 정의되지 않은 분포의 예다. 모드와 중위수가 잘 정의되어 있으며, ${\displaystyle {모두\mathrm{}}_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$x_${0$}과 같다$.$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ $및{\displaystyle }$ V$$ ${\displaystyle V}$이(가) 기대값 0과 분산 1을 갖는 독립 정규 분포 랜덤 변수인 경우$$ 비율 $U{\displaystyle /V}$ ${\displaystyle U/V}$이(가) 표준 Cauchy 분포를 가진다$$.

If ${\displaystyle \Sigma }$ is a ${\displaystyle p\times p}$ positive-semidefinite covariance matrix with strictly positive diagonal entries, then for independent and identically distributed ${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$ and any random ${\displaystyle p}$-vector ${\displaystyle$$w}$ independent of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ such that ${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$ and ${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$ (defining a categorical distribution) it holds that

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{{j}}}{{p}}}}{prc}{x_}Y_{j}}\심각 \mathrm {Cauchy} (0,1)}$^[10]

If ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ are independent and identically distributed random variables, each with a standard Cauchy distribution, then the sample mean ${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$ has the same standard Cauchy distribution. 이것이 사실인지 확인하려면 표본 평균의 특성 함수를 계산하십시오.

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}(t)=\mathrm {E}\left[e^{{\overline {X}t}\오른쪽]}$

여기서 $X$의${\$은(는) 표본 평균이다$$. 이 예는 중심 한계 정리에서 유한 분산의 조건을 떨어뜨릴 수 없음을 보여 주는 역할을 한다. 또한 모든 안정된 분포의 특징인 중앙 한계 정리를 보다 일반화한 버전으로, 그 중 카우치 분포가 특수한 경우다.

Cauchy 분포는 무한히 분할할 수 있는 확률 분포다. 그것은 또한 엄격히 안정된 분배다.^[11]

표준 Cauchy 분포는 학생의 t-분포와 1 자유도와 일치한다.

모든 안정적인 분포와 마찬가지로, Cauchy 분포가 속한 위치 척도 패밀리는 실제 계수를 갖는 선형 변환에 의해 닫힌다. 또한, Cauchy 분포는 실제 계수를 갖는 선형 분수 변환 하에서 폐쇄된다.^[12] 이 연결에서 Cauchy 분포에 대한 McCullagh의 파라메트리징을 참조하십시오.

특성함수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Cauchy 분산 랜덤 변수를 나타내도록$$ 하십시오. Cauchy 분포의 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E}\left[e^{iXt}\right]=\int_{-\inft }^{-\f(x_{0}\gamma )e^{ixt}\xt-\gamma t}}}}.$

그것은 확률밀도의 푸리에 변환일 뿐이다. 원래 확률 밀도는 본질적으로 역 푸리에 변환을 사용하여 특성 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }\int _{-\infit }^{\\barphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$

분포의 n번째 모멘트는 ${\displaystyle \mathrm{t}}$= 0 $[\displaystyle t=0}$에서 평가된 특성 함수의 n번째 파생물이다$.$ 특성 함수는 원점에서 다를 수 없다는 것을 주의하라: 이는 Cauchy 분포가 zeroth 모멘트보다 높게 잘 정의된 모멘트를 가지고 있지 않다는 사실에 해당한다.

정의되지 않은 순간의 설명

평균

확률 분포에 밀도 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 있는 경우 평균은 다음과 같이 주어진다$.$

$\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }probled(x)\,dx.\qquad \qquad (1)\!}$

우리는 두 개의 단측 부적절한 통합의 합계를 계산하여 이 양측 부적절한 통합물을 평가할 수 있다. 그것은

${\displaystyle \int_{-\infit \}^{a}}(x)\,dx+\int_{a}^{\infit }}(x)\,dx\qquad \qquad(2)\!}$

임의의 실제 $번호{\displaystyle }$ a ${\displaystyle$ a$\}.$

적분(무한값으로도)이 존재하기 위해서는 적어도 이 합에서 하나 이상의 항이 유한하거나 둘 다 무한해야 하며 부호가 같아야 한다. 그러나 카우치 분포의 경우 이 합(2)의 두 항은 모두 무한하며 반대 기호를 가진다. 따라서 (1)은 정의되지 않으며, 따라서 평균도 정의되지 않는다.^[13]

Cauchy 분포의 평균에 대한 Cauchy 기본값은 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{a\to \infit }\int_{-a}^{a}properties(x)\,dx\!}$

0이다. 한편, 관련 적분은

${\displaystyle \lim _{a\to \infit }\int_{-2a}^{a}properties(x)\,dx\!}$

적분을 계산해 보면 쉽게 알 수 있듯이 0이 아니다. 이는 다시 평균(1)이 존재할 수 없음을 보여준다.

대수의 강한 법칙과 같이 기대치에 대한 확률 이론의 다양한 결과는 Cauchy 분포에 대해 유지하지 못한다.^[13]

더 작은 순간들

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,$){\displaystyle p\in (-1,1)}$에 대한 절대 모멘트가 정의된다$$. $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle C\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ c ${\displaystyle \mathrm{h}}$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$의 경우

${\displaystyle \operatorname {E} [X ^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec}(\pi p/2)}$

더 높은 순간

Cauchy 분포는 어떤 순서의 유한한 모멘트를 가지고 있지 않다. 더 높은 원시 모멘트 중 일부는 존재하며, 예를 들어 원시 두 번째 모멘트:

${\displaystyle {\begin{ligned}\operatorname {E}[X^{2}]&\propto \int_{-\inflt }^{\fract{x^{2}}:{1+x^{2]}}}}\,dx=\int _{-\inflt }^{{{1-{\frac{1}{1+x^{2}}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\int }^{{-\int _{-\int _{-\inflt }{\frac {1}{1+x^{2}}}}\,dx=\int _{-\nft }^{\\nft }dx-\pi =\nfline}}}}$

공식을 다시 배열하면 두 번째 순간이 본질적으로 상수의 무한 적분(여기서 1)임을 알 수 있다. 고른 힘의 원시 순간도 무한대로 평가한다. 그러나 홀수 동력 원시 순간은 정의되지 않아 무한대의 가치를 지닌 기존과 확연히 다르다. 홀수 동력 원시 순간은 정의되지 않는데, 그 이유는 그 값이 본질적으로 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \inful$ -$\inful }$과 같기 때문이다. 왜냐하면 두 절반의 적분은 서로 갈라지고 반대되는 기호를 가지고$$ 있기 때문이다. 첫 번째 날 순간은, 이상하다는 것은 존재하지 않는 평균이다. (이 문제에 대한 위의 토론도 참조하십시오.) 이는 결국 모든 중심 순간과 표준화된 순간은 모두 평균에 기초하기 때문에 정의되지 않는다는 것을 의미한다. 두 번째 중심 모멘트인 분산도 마찬가지로 존재하지 않는다(원시 두 번째 모멘트가 무한 가치와 함께 존재함에도 불구하고).

더 높은 순간에 대한 결과는 쾰더의 불평등에서 따르며, 이는 더 높은 순간(또는 더 낮은 순간의 절반)이 더 낮은 순간의 불평등에서 나온다는 것을 의미한다.

잘린 분포의 모멘트

표준 Cauchy 분포를 구간으로 제한하여 정의된 잘린 분포를 고려하십시오 [-10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰]. 그러한 잘린 분포는 모든 순간을 가지고 있다(그리고 중심 한계 정리는 그것으로부터의 관측에 적용된다). 그러나 거의 모든 실제적인 목적에서 그것은 Cauchy 분포처럼 작용한다.^[14]

모수 추정

Cauchy 분포의 모수가 평균과 분산과 일치하지 않기 때문에 표본 평균과 표본 분산을 사용하여 Cauchy 분포의 모수를 추정하려고 시도하면 성공하지 못한다.^[15] 예를 들어, 크기 n의 I.i.d 표본을 Cauchy 분포에서 추출한 경우 표본 평균을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\bar}}={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}}}$

표본 값 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {중심\mathrm{}}_{}}$ 값 $x{\displaystyle {}_{}}$0 {\$displaystyle x_{$0$$}에 집중되지만, 절대값이 큰 표본 점을 접할 확률이 증가하기 때문에 관측치가 더 많이 취해질수록 표본 평균은 점점 더 가변적일 것이다$.$ 실제로 표본 평균의 분포는 관측치 자체의 분포와 동일할 것이다. 즉, 큰 표본의 표본 평균은 표본의 단일 관측치보다$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 추정치보다 (또는 더 나쁜) 더 나을 수 없다. 마찬가지로 표본 분산을 계산하면 더 많은 관측치가 취해질수록 값이 더 커진다.

따라서 중심값 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 추정할 수 있는 보다 강력한 수단 및 스케일링 매개 변수 $parameter{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}이$($가) 필요하다$$. 한 단순한 메서드 x0{\displaystyle x_{0}의 평가자}과γ{\displaystyle \gamma}의 견적인. 다른, 더, 확고한 정확한 방법[16][17]예를 들어, 견본 주문의 중학교 24%의 절단 평균 개발되었다 50%를 샘플interquartile 범위를 샘플의 중선 값 가는 것입니다. 국가 통제 주의자.ics는 표본 중위수 또는 전체 표본 평균을 사용하는 것보다 더 효율적인$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle x_{0}$에 대한 추정치를 산출한다.^[18][19] 단, Cauchy 분포의 지방 꼬리 때문에, 24% 이상의 표본을 사용할 경우 추정기의 효율이 저하된다.^[18][19]

최대우도변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$을(를) 추정하는 데도 사용할 수 있지만, 이는 고도 다항식의 뿌리를 찾아야 하고, 국소 최대치를 나타내는 여러 개의 뿌리가 있을 수 있기 때문에 복잡해지는 경향이 있다$.$^[20] 또한 최대우도 추정기는 점근법적으로 효율적이지만, 작은 표본에 대해서는 비교적 효율적이지 않다.^[21][22] 표본 크기 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 Cauchy 분포의 로그 우도 함수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\hat {\ell }}(x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle {첫\mathrm{}}_{}}$ 번째 파생상품을 취함으로써$$ x $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$에 대한 로그우도함수를 최대화하면 다음과 같은 방정식 시스템이 생성된다.

${\dx_{0}}{dx_{0}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0}}}}}}{\frac ^{2}+\n3}{\i}-\i}-!x_{0}\오른쪽)^{2}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{d\gamma }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma (\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2})}}-{\frac {n}{\gamma }}=0}$

참고:

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}{\frac {\좌측(x_{i}-x_{0}\우측)^{2}}:{{\n1}{2}+\좌측(x_{i}-x_{0}\우측)^{2}}:$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \property }$의 단일 함수로서 솔루션$$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \properties}$이(가) 충족되어야$$ 함

${\displaystyle \min x_{i}-x_{0} \leq \leq \max_{i}-x_{0} .}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해서만 해결하려면 ${\displaystyle º}$2 ${\displaystyle \mathrm{n}}$ - 1 {\$displaystyle 2n-1}$의 다항식을 풀어야 하며$$$,$^[20] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \,\\gamma}$에 대해서만 해결하려면 ${\displaystyle \mathrm{º2n}}$ ${\displaystystyle 2n}$의 다항식을 풀어야 한다$$$.$ 따라서 한 파라미터에 대해 해결하든, 두 파라미터에 대해 동시에 해결하든, 일반적으로 컴퓨터의 숫자 솔루션이 필요하다. 최대우도 추정의 장점은 점증적 효율이다. 표본 중위수를 사용하여$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을 추정하는 것은 최대우도로 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 추정하는 것과 같이 점증적으로 효율적이기 때문에 약 81%에 불과하다.^[19][23] 중간 24% 순서 통계를 사용하는 잘린 표본 평균은 최대우도 추정치인$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 추정기로서 무증상적으로 효율적인 약 88%이다.^[19] 뉴턴의 방법을 사용하여 최대우도추정에 대한 해결책을 찾으면 중간 24% 순서 통계를 x ${\$에 대한 초기 솔루션으로 사용할 수 있다$.$

The shape can be estimated using the median of absolute values, since for location 0 Cauchy variables ${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$, the ${\displaystyle \mathrm {median} ( X )=\gamma }$ the shape parameter.

다변량 코치 분포

임의 벡터 $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{}{}^{}}$k ) ${\displaystyle T^{}}${\$displaystyle$ X$=(X_{1},\ldots ,X_{k}}^{{}}}$$T{\displaystyle \}\}}$은 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ = 1 X 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ k ${\$}+\$cdots +a_{k}X_{k}}}}$의 선형 결합마다 Cauchy 분포를 갖는다고$$ 한다$$. 즉, 일정한 벡터${\displaystyle {}^{}}$ R $k{\displaystyle }$ ${\$ 랜덤 $변수{\displaystyle }$ Y${\displaystyle }$= ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Y=a^{{}}$$T}X}$은(는) 일변량 Cauchy 분포를$$ 가져야 한다.^[24] 다변량 Cauchy 분포의 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma(t)},\!}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}(}$ ${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle x_{0}(t)}$ 및$$ $\gamma {\displaystyle }$${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ $\property(t$$)}$은${\displaystyle (}$는) $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ $x_{0$$)}$의 동질 함수가 1인 실제 함수다$$.^[24] 좀 더 공식적으로:^[24]

${\displaystyle x_{0}(at)=ax_{0}(t),}$

$\displaystyle \cHB(at)= \cHB(t),}$

$모든{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 대해$.$

이바리산 Cauchy 분포의 예는 다음과 같다.^[25]

${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\filename )={1 \over 2\pi }\왼쪽[{\pi \over ((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0}}^{2}^{3/2}}\right].}$

이 예제에서 x ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 사이의 공분산이 0이지만$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$은(는) 통계적으로 독립적이지 않다는$$ 점에 유의하십시오.^[25]

우리는 또한 복잡한 변수에 대해 이 공식을 쓸 수 있다. 그러면 복합 코치의 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(z;z_{0},\filename )={1 \over 2\pi }\왼쪽[{\pi \over (z-z_{0}) ^{2}+\filename ^{2}^{3/2}}\right].}$

일변량 밀도와 유사하게 다차원 Cauchy 밀도는 다변량 학생 분포와도 관련이 있다. 자유도 매개변수가 1일 때 등가한다. 자유도가 1인 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$차원$$ 학생 분포의 밀도는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle f({\mathbf {x} };{\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } },k)={\frac {\Gamma \left({\frac {1+k}{2}}\right)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left {\mathbf {\Sigma } }\right ^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })^{T}{{\mathbf {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x}-{}-{{\mathbf {\mu }}}\right]^{\frac{1+k}{2}}}}}}.}$

이 밀도에 대한 특성 및 세부 사항은 다변량 학생 밀도의 특정 사례로 간주하여 얻을 수 있다.

변환 속성

• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\,}$ then ${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma k )}$^[26]
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})\,}$ and ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})\,}$ are independent, then ${\displaystyle X+Y\sim \operatorn$$ame {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})\,}$ and ${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})\,}$
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )\,}$ then ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})\,}$
• 이 코오 시 분배의 McCullagh의 parametrization:[27])한 복잡한 매개 변수 ψ의 측면에서 코시 분포 표현하는 것은 x0+나는 γ{\displaystyle\psi =x_{0}+i\gamma}, 정의하 X∼ 코시 ⁡(ψ){\displaystyle X\sim \operatorname{코시}(\psi)} 생각은 X번 국도 코시⁡(x0, γ){\displaystyle X\sim.\op$eratorname {Cauchy}(x_{0}, \gamma$ $)\}.$ $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Cauchy}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$) ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy}(\psi )$인 경우$$:

${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}\sim \operatorname {Cauchy}\좌측({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}\오른쪽)}$

$여기$서 a ${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$\},$ c ${\displaystyle c}$ 및$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 실제 숫자다$$.

• $X{\displaystyle }$ ~${\displaystyle \mathrm{Cauchy}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$ ) ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy}(\psi )}$을(를) 사용하는 경우:^[27]

${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}\sim \operatorname {CCauchy} \좌측({\frac {\psi -i}{\psi}\오른쪽)}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{CCauchy}}$ ${\displaystyle \operatorname {CCauchy}은($는) 원형 Cauchy 분포다.

레비 척도

Cauchy 분포는 지수 1의 안정적인 분포다. $X$ ~ ${\displaystyle \mathrm{Stabily}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 0}$) ${\$ \$operatorname {Stable}(\gamma ,0,0)\}$에 대해 다음과 같이$$ 안정적인 $분포$의 레비-킨치네 표현을 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{iX}\right)=\exp \left(\int_{\mathb {R}}}}}(e^{ixy}-1)\파이 _{\gamma }(dy)\right}$

어디에

${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{ y ^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$

및 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\$은(는) 명시적으로 표현할 수 있다$$.^[28] $au{\displaystyle }$ = 1 $displaystyle$ $\gamma$=$1}$ Cauchy 분포의 $경우,$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {\gamma }_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\$이 있다$.$

이 마지막 표현은 공식의 결과물이다.

${\displaystyle \pi x =\operatorname {PV} \int _{\mathb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {y^{2}}:$

관련 분포

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy}(0,1)\sim {\textrm {t}(\mathrm {df} =1)\,}$ 학생 t 분포
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy}(\mu ,\sigma )\sim {t}_{(\mathrm {df} =1)(\mu ,\sigma )\,}$ 비표준화 학생 t 분포
• $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$~ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle$ X$,Y\sim {\textrm {N}(0,1)\,$${\displaystyle \mathrm{X}}$$,Y}$이(가) 독립적이면 ${\displaystyle \frac{X}{}}$ $Y{\displaystyle \frac{}{}}$~ ${\displaystyle \text{Cauchy}}$(0${\displaystyle ,1}$) ${\$ {$X}{}{}$$Y}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• If ${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$ then ${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$ then ${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$ then ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gam$$ma ^{2}}:}\오른쪽)}$
• Cauchy 분포는 유형 4의^{[citation needed]} Pearson 분포의 제한적인 경우다.
• Cauchy 분포는 유형 7의 Pearson 분포의 특별한 경우다.^[1]
• The Cauchy distribution is a stable distribution: if ${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$, then ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$.
• Cauchy 분포는 쌍곡선 분포의^{[citation needed]} 단일 한계다.
• 원에 대한 값을 취하면서 포장된 카우치 분포는 원을 감싸서 카우치 분포에서 파생된다.
• If ${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$, ${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$, then ${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$. For half-Cauchy distribions, 관계는 ~ N( ) {X ${\displaystyle X\sim {\textrm{N}(0,1$)을 설정하여 유지된다$.$$I\{X>=0$

상대론적 Breit-Wigner 분포

핵 및 입자물리학에서 공명의 에너지 프로파일은 상대론적 Breit-Wigner 분포로 설명되는 반면, Cauchy 분포는 (비상대적) Breit-Wigner 분포로 설명된다.^{[citation needed]}

발생 및 적용

• 분광학에서 Cauchy 분포는 모든 원자가 선 모양에 포함된 주파수 범위와 동일한 방식으로 상호작용하는 균일한 확장에 따르는 스펙트럼 라인의 형상을 설명한다. 많은 메커니즘은 균질 확장을 유발하며, 가장 두드러지게 충돌 확대를 야기한다.^[29] 수명 또는 자연적 확장은 또한 Cauchy 분포에 의해 묘사된 선 모양을 만들어낸다.
• Cauchy 분포의 적용이나 그 변환은 지수성장과 함께 일하는 분야에서 찾을 수 있다. 흰[30]에 의한 1958년 종이}}은 방정식의)β ^{\displaystyle{\hat{\beta}의 estimators에 대한 시험 통계 파생 t+1)β)t+ε t+1,β 1{\displaystyle x_{t+1}=\beta{)}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta 1}, 어디서 최대 공산 추정자는 발견된를 사용하여 평범한 가장 맞아떨어지는군 sh.그 돈을 갚아야 통계량의 표본 분포는 Cauchy 분포다.

• Cauchy 분포는 회전하는 물체에 대한 관측치의 분포인 경우가 많다. 이것에 대한 고전적인 참조는 갈매기 등대문제라고^[32] 불리며, 위의 절에서와 같이 입자물리학에서 Breit-Wigner 분포라고 한다.
• 수문학에서 Cauchy 분포는 연간 최대 1일 강우량 및 하천 방류와 같은 극단적인 사건에 적용된다. 파란색 그림은 이항 분포에 기초한 90% 신뢰 벨트를 보여주는 월간 최대 일일 강우 순위에 Cauchy 분포를 적합시킨 예를 보여준다. 강우 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타낸다.
• 로렌츠 모델에 따른 복잡한 전기적 허용성의 가상 부분에 대한 표현은 Cauchy 분포다.
• 계산 금융에서 지방 꼬리를 모형화하기 위한 추가 분포로서 Cauchy 분포는 VAR(위험 시 값)을 모형화하는 데 사용될 수 있으며 가우스 분포보다 훨씬 더 큰 극단적 위험 확률을 산출한다.^[33]

참고 항목

• 레비 비행과 레비 과정
• 라플라스 분포, 카우치 분포의 푸리에 변환
• 코시 공정
• 안정공정
• 슬래시 분포

참조

외부 링크

• "Cauchy distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 초기 사용: Cauchy 배포에 대한 출품작에는 몇 가지 역사적 정보가 있다.
• Weisstein, Eric W. "Cauchy Distribution". MathWorld.
• GNU 과학 라이브러리 – 참조 매뉴얼
• George Marsaglia에 의한 정상변수의 비율