옥토니언 대수

수학에서 필드 F에 대한 옥토니언 대수 또는 케이리 대수는 F에 대한 8차원 구성 대수인 대수 구조다.즉, 다음과 같은 비퇴행 2차 형태 N(규범 형태라고 함)을 가지는 F에 대한 비이탈적 비 연상 대수 A이다.

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

A의 모든 x와 y에 대해

옥토니언 대수학의 가장 잘 알려진 예는 실수의 분야인 R보다 옥토니언 대수인 고전 옥토니언이다.분할-옥톤은 또한 R에 대한 옥톤수 대수를 형성한다.R-알지브라 이소모르피즘에 이르기까지, 이것들은 실존물 위에 있는 유일한 옥토니언 알제브라들이다.생체역전의 대수는 복합수 C에 대한 옥톤수 대수다.

N에 대한 옥톤수 대수는 N형식이 비등방성인 경우에만 분할 대수다.분할 옥톤수 대수는 2차 형태 N이 등방성인 대수(즉, N(x) = 0인 비제로 벡터 x가 존재함)이다.F-알지브라 이형성까지, 어느 분야든 F에 걸쳐 독특한 분할 옥토니언 대수학이 존재한다.^[1]F가 대수학적으로 닫히거나 유한장일 때, 이것들은 F 위에 있는 유일한 옥토니언 알제브라들이다.

옥톤 알헤브라는 항상 연관성이 없다.그러나 그들은 대체 알헤브라스인데, 교대성은 연대의 약한 형태다.게다가, 무우팡의 정체성은 어떤 옥토니언 대수학에도 있다.따라서 어떤 옥토니언 대수에서든 변위할 수 있는 원소가 단위 규범의 원소와 마찬가지로 무우팡 루프를 형성한다.

임의의 들판 k 위에 일반 옥톤 알헤브라의 건설은 레오나드 딕슨이 그의 저서 알헤브렌 und ihre Zahlentheuri (1927년) (Seite 264)에서 설명하고 맥스 조른에 의해 반복되었다.^[2]제품은 k에서 γ의 선택에 달려 있다.k에 대한 쿼터니온 대수에서 Q와 Q가 주어지면, 옥토니언은 q + Qe로 표기된다.또 다른 옥토니언은 r + Re로 쓸 수 있다.그리고 *는 쿼터니온 대수에서 결합을 나타내는 것으로, 그들의 제품은

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr+\gamma R^{*}Q)+(Rq+Qr^{*}e)}$

이 케이리-딕슨 건축에 대한 조른의 독일어 서술은 구성 알헤브라의 건축을 설명하는 이 어폰의 지속적인 사용에 기여했다.

N. Furey는 표준 모델의 구성요소를 조정하기 위한 시도에 옥톤 알헤브라를 사용할 수 있다고 제안했다.^[3]

분류

규범형식의 F 이형성계급이 옥토니언 F-알제브라의 이형성계급과 일대일 일치한다는 것은 아돌프 후르비츠의 정리다.더욱이 가능한 표준 형식은 정확히 F에 대한 Pfister 3-forms이다.^[4]

어떤 두 옥토니언 F-algebras도 F의 대수적 폐쇄에 대해 이형성이 되기 때문에, 비아벨리안 갈루아 코호몰로지 사상을 적용할 수 있다.특히 분할된 옥토늄의 오토모피즘 그룹이 분할 대수군₂ G라는 사실을 이용하여, F보다 G토르들의₂ 이소모르피즘 등급과 옥토니언 F-algebras의 이소모르피즘 등급의 일치성을 본다.이러한 이형성 클래스는 비아벨리안 갈루아 코호몰로지 세트 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(F ,${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$) ${\displaystyle H^{1}(F,G_{2})}$을 형성한다$.$^[5]

참조

• Garibaldi, Skip; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003). Cohomological invariants in Galois cohomology. University Lecture Series. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Okubo, Susumu (1995). Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. p. 22. ISBN 0-521-47215-6. Zbl 0841.17001.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. An introduction to non-associative algebras. Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
• Zhevlakov, K.A.; Slin'ko, A.M.; Shestakov, I.P.; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Academic Press. ISBN 0-12-779850-1. MR 0518614. Zbl 0487.17001.
• Serre, J. P. (2002). Galois Cohomology. Springer Monographs in Mathematics. Translated from the French by Patrick Ion. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42192-0. Zbl 1004.12003.
• Springer, T. A.; Veldkamp, F. D. (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.

외부 링크

• "Cayley–Dickson algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]