콰터니온 대수

수학에서, 필드 F에 대한 쿼터니온 대수학은 치수 4를 F에 갖는 중심 단순 대수 A over F이다^[1][2].모든 Quaternion 대수학은 스칼라(균등하게, 필드 확장과 함께 텐서링)를 확장함으로써 행렬 대수학(matrix 대수학)이 된다. 즉, F의 적절한 필드 확장자 K에 대해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ K ${\displaystyle$ A$\otimes _{F}K}$는 K에 대한 2×2 행렬 대수학과의 이형이다.

쿼터니온 대수학의 개념은 해밀턴의 쿼터니온을 임의의 베이스 필드로 일반화한 것으로 볼 수 있다.해밀턴 쿼터니온은 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ F$=\mathb {R}($실수 필드)에 대한 쿼터니온 대수(위 의미)이며, 실제로 2×2 실제 행렬 대수학 외에 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 유일한 대수(이형)이다.$F{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$이$($가) 되면, Biquaternion이 F에 대한 쿼터니온 대수학(quaternion 대수학)을 형성한다.

구조

여기서 쿼터니온 대수란 해밀턴 쿼터니온의 대수보다 더 일반적인 것을 의미한다.계수 필드 F에 특성 2가 없는 경우, F에 대한 모든 쿼터니온 대수는 다음과 같은 곱셈 규칙이 있는 기본${\displaystyle }${${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$\{1$,i,j,k$을(를) 갖는 4차원 F 벡터 공간으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

$(\displaystyle ij=k}$

$(\displaystyle ji=-k}$

여기서 a와 b는 주어진 F의 0이 아닌 요소들이다.이러한 규칙에서 얻을 수 있는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle k^{2}=ijj=-ijj=-ab}$

$F{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$가) 있는 고전적인 예는 해밀턴의 쿼터니온(a = b = -1)과 분할 쿼터니온(a = -1, b = +1)이다$$.분할 쿼터에서는 k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k^{2}=+1}$및$$ $j{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle jk=-i}$이$($가) 해밀턴 방정식과 다르다.

이렇게 정의한 대수학은 (a,b)_F 또는 간단히 (a,b)로 표기된다.^[3]F가 특성 2를 가질 때, 4개 원소의 기초에 관한 다른 명시적 설명도 가능하지만, 어떤 경우에도 F에 대한 4차원 중앙 단순 대수로서의 F에 대한 쿼터니온 대수학의 정의는 모든 특성에 균일하게 적용된다.

quaternion 대수(a,_Fb)는 F에 대한 2×2 행렬의 행렬 대수에서 분할 대수 또는 이형이다. 후자의 경우는 분할이라고 한다.^[4]표준형식

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\}$

규범이 비등방성 2차 형태인 경우에만, 즉 0 원소에 대해서만 분할 대수 구조를 정의한다.에 의해 정의된 원뿔 C(a,b)

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

분할 케이스의 좌표가 F인 점(x,y,z)이 있다.^[5]

적용

콰터니온 알헤브라는 숫자 이론에 적용되는데, 특히 2차 형태에 적용된다.그것들은 F의 브라워 그룹에서 순서 2의 요소를 발생시키는 콘크리트 구조물이다.대수적 수 필드를 포함한 일부 분야의 경우, 브루어 그룹의 순서 2의 모든 요소는 쿼터니온 대수학으로 표현된다.알렉산더 메르쿠르예프의 정리는 어떤 분야의 브라워 그룹 내 순서 2의 각 요소가 콰터니온 알헤브라의 텐서 생산물로 표현된다는 것을 암시한다.^[6]특히 p-adic 분야에 걸쳐 쿼터니온 알헤브라의 구성은 지역 계급장 이론의 2차적 힐버트 상징으로 볼 수 있다.

분류

진짜 쿼터니온 알헤브라가 두 개밖에 없다는 것은 프로베니우스의 정리인데, 그것은 실재 위에 2×2 매트릭스와 해밀턴의 진짜 쿼터니온이다.

비슷한 방법으로, 어떤 지역 분야 F에도 정확히 두 개의 쿼터니온 알헤브라가 있다: F에 대한 2×2 행렬과 분할 대수학이다.그러나 지역 분야에 대한 쿼터니온 분할 대수학은 보통 해밀턴의 그 분야에 대한 쿼터니온이 아니다.예를 들어 p-adic 수보다 hamilton의 쿼터는 p가 2일 때만 분할 대수다.p-adic Hamilton 쿼터니온은 p-adic의 2×2 행렬에 대해 이형이다.p-adic Hamilton 쿼터가 홀수 p에 대한 분할 대수학(division 대수학)이 아님을 확인하려면, 일치² x + y = -1² mod p가 해결 가능한지 관찰하십시오. 따라서 Hensel의 보조정리(여기서 홀수인 것이 필요함)는 p가 필요하다.

x² + y² = −1

p-adic 숫자로 해결할 수 있다.그러므로 쿼터니온

xi + yj + k

정규 0을 가지므로 곱셈 역이 없다.

모든 쿼터니온 알헤브라의 F-알고리즘 클래스를 특정 분야로 분류하는 한 가지 방법으로, F는 F 이상의 쿼터니온 알헤브라의 이소모르피즘 클래스와 그 표준 형태의 이소모르피즘 클래스 사이의 일대일 대응관계를 이용하는 것이다.

모든 쿼터니온 대수 A에 대해, 다음과 같이 A에 2차 형태 N(규범 형태라고 함)을 연관시킬 수 있다.

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

A의 모든 x와 y에 대해quaternion F-algebras의 가능한 표준 형태는 정확히 Pfister 2-forms인 것으로 밝혀졌다.

합리적인 숫자에 대한 쿼터니온 알헤브라스

합리적인 숫자에 대한 쿼터니온 알헤브라는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 2차 확장과 유사하지만 더 복잡한 산술 이론을 가지고 있다$.$

Let ${\displaystyle B}$ be a quaternion algebra over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ and let ${\displaystyle \nu }$ be a place of ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, with completion ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ (so it is either the p-adic numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p$일부 프라임 p 또는 실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해$$ $}.$Define ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$, which is a quaternion algebra over ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. So there are two choices for ${\displaystyle B_{\nu }}$: the 2 by 2 matrices over ${\displaystyle \mathbb {Q$$} _{\nu }}$ 또는$$ 사단 대수학.

We say that ${\displaystyle B}$ is split (or unramified) at ${\displaystyle \nu }$ if ${\displaystyle B_{\nu }}$ is isomorphic to the 2×2 matrices over ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. We say that B is non-split (or ramified) at ${\displaystyle \nu }$ if ${\displaystyle B_{\n$${\displaystyle {}_{}}$ $}}}$은 $Q$ $}}{\$에 대한 쿼터니온 분할 대수$.$ 예를 들어 합리적인 해밀턴 쿼터는 2와${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle \infit }$에서 분할되지$$ 않고 홀수 prim에서 분할된다.합리적인 2x2 매트릭스는 모든 장소에서 분리된다.

$\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$에서 분할되는 합리성에 대한 쿼터니언 대수학은 실제 2차 영역과 유사하며$$, $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$에서 분할되지 않은 것은 가상 2차 영역과 유사하다$$.이러한 비유는 발전기에 대한 최소 다항식이 실제에 걸쳐 분할될 때 실제 임베딩이 있는 2차 영역과 그렇지 않은 경우 비현실 임베딩이 있는 경우에 발생한다.합리적인 4인조 대수의 주문을 이 비유의 강도를 보여 주는 한 예를 우려 단위 그룹:∞{\infty\displaystyle}[표창 필요한]가 네개 한벌 대수 분할과 마찬가지로 2차 링의 질서를 단위 집단은 실제 quadrati에 무한하다 그것은 유한, otherwise[표창 필요한]은 그건 무한대일 것이다.C사건과 달리 유한한.

이성보다 쿼터니온 대수학이 충돌하는 장소의 수는 항상 짝수인데, 이것은 이성보다 이차적 상호주의 법칙에 해당한다.더욱이 B가 함축하는 곳은 B가 대수로서 이형성까지 결정하게 된다.(다시 말해 이성보다 비이형성 콰테르니온 알헤브라는 같은 함축된 장소를 공유하지 않는다.B가 반발하는 프라임의 산물을 B의 차별이라고 한다.

참고 항목

• 구성 대수
• 주기 대수학
• 옥토니언 대수
• 후르비츠 쿼터니온 오더
• 후르비츠 쿼터니온

메모들

참조

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511607219. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.

추가 읽기

위키북 연합 구성 대수학에는 R과 C에 대한 콰터니온 알제브라라는 주제에 관한 페이지가 있다.

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Vol. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001.
• Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN 0-387-98386-4. MR 1937957. 2장(Quaternion Algebras I) 및 7장(Quaternion Algebras II)을 참조하십시오.
• Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Algebra" . Encyclopædia Britannica (11th ed.). Cambridge University Press. (쿼터니온 섹션 참조)
• 수학 백과사전 콰터니온 대수학.