피스터형

수학에서 피스터 형태는 알브레히트 피스터가 1965년에 도입한 특별한 종류의 2차 형태다.다음에 나오는 내용에서 2차적 형태는 2가 아닌 특성의 F장 위에 고려된다.자연수 n의 경우, F에 대한 n-폴드 피스터 형태는 2차 형태의 텐서 제품으로 쓸 수 있는 2차원의 형태다ⁿ.

\displaystyle \langle \\langle a_{1},a_{n2},\landots,a_{n}\langle \contg \langle \langle 1,-a_{1}\1}\langle \otimes \cdotes \langle \langle \langle 1,-langle 1,-a \langle 1,-aimportimports \langle \langle \langle \langle \langle,

일부 0이 아닌 원소 a₁, ...의 경우 F.^[1]의_n a. (일부 저자는 이 정의에서 기호를 생략한다. 여기서 표기법은 아래에서 논의한 Milnor K-이론과의 관계를 단순화한다.)n-폴드 피스터 폼은 $q\oplus (-a)q$ $q\oplus (-a)q$ q $(-)$ q {\ $displaystyle q\oplus(-a)q}$ 처럼 (n-1)-폴드 피스터 폼 q와 nonzero 요소 a로 유도하여 구성할 수도 있다 $q\oplus (-a)q$

따라서 1배와 2배인 피스터 형태는 다음과 같이 보인다.

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

1 ,

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

-

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

=

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

2

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

-

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

{\

a

\langle \!\langle \cang 1,-a\angle =x^{2}-ay^{2

\displaystyle \langle \!\langle a,b\langle \cong \langle \langle 1,-a,-b,ab\angle =x^{2}-ai^{2}-bz^{2}-bz^{2}+abw^{2}.}

n ≤ 3의 경우, n-폴드 피스터 형태는 구성 알헤브라의 표준 형태다.^[2]이 경우 두 개의 n-폴드 피스터 형태는 해당 조성 알헤브라가 이형성인 경우에만 이형성이 된다.특히, 이것은 옥톤 알헤브라의 분류를 제공한다.

N-폴드 피스터 형태는 F의 Witt 링의 기본 이상에 대한 n-th power I을ⁿ 부가적으로 생성한다.^[2]

특성화

필드 F에 대한 2차 형식 q는 x와 y의 벡터에 대해 x와 F에 대한 합리적인 함수의 일부 벡터 z에 대해 q(x).q(y) = q(z)를 쓸 수 있다면 곱이다.등방성 2차 형태는 곱하기형이다.^[3]비등방성 2차 형태의 경우, 피스터 형태는 승수형이며, 반대로 승수형이다.^[4]

N-폴드 피스터 형태의 경우, n-fold Pfister 형태는 19세기부터 알려져 있다. 이 경우 z는 구성 알제브라 특성에 의해 x와 y로 이선될 수 있다.모든 n에 대한 n-폴드 피스터 형태는 보다 일반적인 의미로 합리적 기능을 포함하는 것이 Pfister에 의한 주목할 만한 발견이었다.예를 들어, 그는 어떤 필드 F와 자연수 n에 대해서도 2차 형식 x $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ + $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ ⋯ $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ + x $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ ${\$ 를 사용하여 F의 2 제곱합ⁿ 집합이 곱셈으로 닫힌다고 추론했다. $^{n}^{1}:{$ 2 $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ }}: n-폴드 피스터 형태( $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ ⟨ $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ - 1 , …, $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ - $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ ${\displaystyle \langle \!\langle$ \1,\ $ldots ,-1\langle \!\rangle }).$ ^[5]

Pfister 형태의 또 다른 두드러진 특징은 모든 등방성 Pfister 형태는 사실 쌍곡선, 즉 쌍곡면 $\langle 1,-1\rangle$ - $\langle 1,-1\rangle$ ⟩ $\langle 1,-1\rangele$ 의 직접적인 합에 대해 이형성이 있다는 것이다 $\langle 1,-1\rangle$ 이 속성은 다음과 같이 Pfister 형태를 특징짓기도 한다.q가 필드 F에 대한 비등방성 2차 형태이고, q가 모든 확장 필드 E에 대해 쌍곡선이 되어 q가 E에 대한 등방성이 되는 경우, q는 F에 있는 일부 비제로 a와 F에 대한 일부 피스터 형식 φ에 대해 이형성이 된다.^[6]

K-이론과의 연결

k_n(F)를 n번째 Milnor K-group modulo 2가 되게 한다.F의 위트 링에서 k_n(F)에서 지분의 Iⁿ/I에ⁿ⁺¹ 이르는 동형성이 있는데, 이는 다음과 같다.

\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\n}\rangele ,

여기서 영상은 N-폴드 피스터 형식이다.^[7]피스터 형체는 부가적으로 I을ⁿ 생성하기 때문에 동형성은 허탈적이다.오를로프, 비식, 보에보트스키에 의해 증명된 밀노르 추측의 한 부분은 이 동형성이 사실 이소모르프 k_n(F) ≅ Iⁿ/I라고ⁿ⁺¹ 기술하고 있다.^[8]그것은 발전기와 관계에 의한 아벨 그룹 Iⁿ/I에ⁿ⁺¹ 대한 명확한 설명을 제공한다.Voevodsky에 의해 증명된 Milnor 추측의 다른 부분은 k_n(F) (그리고 따라서ⁿ I/Iⁿ⁺¹) 지도가 Galois cohomology 그룹ⁿ H(F, F₂)에 대해 비정형적으로 동일하다고 말한다.

피스터 이웃

Pfister 이웃은 비등방성형 σ이며, F에서 일부 비제로 a의 보조형태에 이형화된 형태와 딤 φ < 2 딤 σ이 있는 일부 Pfister형이다.^[9]관련 Pfister 형식 by은 by에 의해 이형성까지 결정된다.치수 3의 모든 비등방성 형태는 피스터 이웃이다. 치수 4의 비등방성 형태는 F^*/(F^*)²의 차별이 사소한 경우에만 피스터 이웃이다.^[10]필드 F는 연결된 필드인 경우에만 F보다 5차원 비등방성 형태마다 피스터 인접성이라는 속성을 가지고 있다.^[11]

메모들

^ 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008) 섹션 9.B.
^ ^a ^b 램(2005) 페이지 316
^ 램(2005) 페이지 324
^ 램(2005) 페이지 325
^ 람(2005) 페이지 319
^ 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 코롤라리 23.4.
^ 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 섹션 5.
^ 오르로프, 비식, 보에보스키(2007)
^ 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 정의 23.10.
^ 램(2005) 페이지 341
^ 램(2005) 페이지 342

참조

Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraic and geometric theory of quadratic forms, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, MR 2427530
Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929, Zbl 1068.11023, 10장
Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "An exact sequence for K_*^M/2 with applications to quadratic forms", Annals of Mathematics, 165: 1–13, arXiv:math/0101023, doi:10.4007/annals.2007.165.1, MR 2276765

[1] 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008) 섹션 9.B.

[Lam316-2] 램(2005) 페이지 316

[Lam324-3] 램(2005) 페이지 324

[Lam325-4] 램(2005) 페이지 325

[Lam319-5] 람(2005) 페이지 319

[6] 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 코롤라리 23.4.

[7] 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 섹션 5.

[8] 오르로프, 비식, 보에보스키(2007)

[9] 엘만, 카르펜코, 메르쿠르예프(2008), 정의 23.10.

[Lam341-10] 램(2005) 페이지 341

[Lam342-11] 램(2005) 페이지 342

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