오카모토-우치야마암호체계

오카모토-우치야마 암호체계는 오카모토 다쓰아키와 우치야마 시게노리가 1998년 제안한 공개키 암호체계다.시스템은 정수 modulo n, (Z${\displaystyle /n\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ )${\displaystyle {}^{\ast }}$ ${\$에서 작동하며$,$ 여기서 n은 pq형이고², q는 큰 소수다.

작전

다른 공용 키 암호 시스템과 마찬가지로 이 체계는 그룹$({\displaystyle Z\mathbb{}/n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$에서 작동한다$.$ 이 체계는 동형성이므로 변형이 가능하다.

키 생성

공용/개인 키 쌍은 다음과 같이 생성된다.

1. 큰 두 개의 $primes{\displaystyle }$p {\$displaystyle$p$$} $및{\displaystyle }$q {\$displaystyle$q}을(를) 생성하십시오$.$
2. 계산 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n=p^{2}q}$.
3. 임의 정수 $g{\displaystyle \in \{2}$… n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle g\in$\{$2\dots n-1\}}$을(를) $선택$하여 g ${\displaystyle p^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ $≢$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$p-1}\equiv$ 1$\mod p^{2$
4. 계산 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle n}$ ${\$.

그러면 공개 키는${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle g}$, h${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n,g,h)}$이고 개인 키는${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p,q)}$ 입니다$.$

암호화

메시지 < ${\displaystyle m<p}$은(는) 다음과 같이$$ 공개 키$({\displaystyle n}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle(n,g,h)}$으로 암호화할 수 있다.

1. 임의 정수 $r{\displaystyle \in \{1}$… ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle r\in \{1\dots n-1\}$을(를) 선택하십시오$.$
2. 계산 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ m ${\displaystyle h^{}}$ r ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle n}$ ${\$

$c$ ${\displaystyle c}$ 값은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m}의 암호화 입니다$.$

암호 해독

암호화된 메시지 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 다음과 같이$$ 개인 키$({\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle(p,q)}$을(를) 사용하여 해독할 수 있다$$.

1. 계산 $a{\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{c^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{mod}{}}$ ${\displaystyle \frac{p{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$
2. $계산{\displaystyle }$ $b{\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{g^{}}{}}$ p${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{mod}{}}$ ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$ p ${\$ b$={\frac {(g^{p-1}{\bmod{p^{2}}}-1}{p$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaysty$ b$}$이 $정수$가 된다$$.
3. 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ modulo$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 역수를 계산하십시오$.$

   ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle md}$ p ${\$

4. 계산 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle mod}$ p ${\$

$값{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle m$}은(는$)$ c {\$displaystyle$ c$}$의 암호 해독이다$.$

예

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p=3$$}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{q}}$= 5 ${\displaystyle q=5$ 그러면 $n{\displaystyle }$= 3 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 5}$=$$ {\$displaystyle n=3^{2}\cdot 5$$=45$$\}.$ $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle 22}$ ${\$displaystystyle g=$22}$을 선택하십시오$.$그러면 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle {22}^{}}$ ${\displaystyle {45}^{}}$ ${\displaystyle mod}$ 4 ${\displaystyle 5\mathrm{}}$= ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle h=22^{45}{\bmod{4}}5=37$ .

이제 메시지 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m=2$}을$($를) 암호화하려면 임의 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 13}$ ${\displaystyle r=$${\displaystyle 13}$$}$을(를) 선택하고 계산 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle {gm}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {mod}^{}}$ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle {22}^{}}$ 2 ${\displaystyle {37}^{}}$ ${\displaystyle mod}$ 4${\displaystyle }$= ${\displaystyle 43}$ ${\displaysty c=g^{m}h^{n}}}{n}}}}}}}}{237^{13}{13$}}}}}}}}}}}}}{{{$4bmod {4}}}}}{4$

메시지 암호를 해독하기 위해 43을 계산한다.

${\displaystyle a}$= ${\displaystyle (\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{43}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2모드}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{}}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a={\frac {(43^{2}{\bmod{3}^{2})-1$$3$}}:{3$}=1}.$

${\displaystyle b}$= ${\displaystyle (\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{22}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{mod}^{}}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{}}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b={\frac {(22^{2}{\bmod{3}^{2})-1}{3$}}}}{3$}=2$

${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 2^{}}$- 1 ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ b$'=2^{-1}{\bmod{3}=2$

그리고 마지막으로 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m=ab'=2$}$$.

정확성 증명

$마지막{\displaystyle }$ 암호 해독 단계에서 계산된 값 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle p}$ ${\$이$($가) 원본 메시지 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$과(와) 같다는 것을 증명하고자 한다$.$

${\displaystyle (g^{m}h^{r}}^{p-1}^{p-1}^{nr}^{p-1}^{p-1}^{m^{p-1}{p-q}\equiv (g^{p-1})^{mod p^{p-1}:{2}}$

$따라서{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$을(를) 복구하려면 base $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle$ g$^{p-1$을(를) 가진 이산 로그선으로 해야 한다.

그룹

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}\simeq (\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )^{*}\times (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 부분군인 H를 정의하고$$ 카디널리티는 p-1이다.

={ : - 1 p = 1+ < < ${\displaystyle$ H$=\{x^{p-1$}\$mod p^{2}=1$+rp$,0<p$

$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) $∗$ {\$displaystyle (\mathb {Z} /p^{2}\mathb {Z} )^{*}}$의 원소 x에 대해$,$ p가^p−1 x - 1을 나누기 때문에^p−1 x mod² p가 H에 있다.

The map ${\displaystyle L(x)={\frac {x-1}{p}}}$ should be thought of as a logarithm from the cyclic group H to the additive group ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, and it is easy to check that L(ab) = L(a) + L(b), and that the L is an isomorphism between these two groups.통상적인 로그의 경우와 마찬가지로 L(x)/L(g)는 어떤 의미에서 base g를 가진 x의 로그다.

에 의해 달성되는.

${\displaystyle {\frac {L\왼쪽((g^{p-1})^{m}\오른쪽){L(g^{p-1})}{L(g^{p-1}}}=m\mod p.}$^{[필요한 설명 필요]}

보안

전체 메시지의 보안은 n을 인수하는 것과 동등한 것으로 보일 수 있다.^{[clarification needed]}의미적 보안은${\displaystyle }$(Z/n Z${\displaystyle {}^{}}$)의 요소 x in (${\displaystyle Z\mathbb{}/n\mathbb{}}$ Z ) $∗$ {\$displaystyle$ (\$mathb {Z}/n\mathb {Z}^*})$이 순서 p의 하위 그룹에 있는지 여부를$$ 결정하기 어렵다고 가정하는 p-부분군 가정에 있다.이것은 2차 잔류성 문제와 더 높은 잔류성 문제와 매우 유사하다.

참조

• Okamoto, Tatsuaki; Uchiyama, Shigenori (1998). "A new public-key cryptosystem as secure as factoring". Advances in Cryptology — EUROCRYPT'98. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1403. Springer. pp. 308–318. doi:10.1007/BFb0054135.