라빈 암호 체계

Rabin 암호 시스템은 RSA와 마찬가지로 정수 인수 분해의 어려움과 관련이 있는 비대칭 암호화 기술입니다.그러나 Rabin 암호 시스템은 공격자가 정수를 효율적으로 인수할 수 없는 한 선택된 일반 텍스트 공격에 대해 계산적으로 안전하다는 것이 수학적으로 입증되었지만 ^[1]^{: 145}RSA에 대해 알려진 증거는 없습니다.Rabin 함수의 각 출력이 4개의 가능한 입력 중 하나에 의해 생성될 수 있다는 단점이 있습니다. 각 출력이 암호문인 경우, 4개의 가능한 입력 중 어느 것이 진정한 평문인지 식별하기 위해 복호화 시 추가적인 복잡성이 요구됩니다.

역사

이 알고리즘은 마이클 O. 라빈에 [2]의해 1979년 1월에 출판되었다.Rabin 암호 시스템은 암호 텍스트에서 평문을 복구하는 것이 팩터링만큼 어렵다는 것을 증명할 수 있는 최초의 비대칭 암호 시스템이었습니다.

암호화 알고리즘

모든 비대칭 암호 시스템과 마찬가지로 Rabin 시스템은 암호화에 대한 공개 키와 암호 해독에 대한 개인 키라는 키 쌍을 사용합니다.공용 키는 모든 사용자가 사용할 수 있도록 게시되지만 개인 키는 메시지의 수신인만 알 수 있습니다.

키 생성

Rabin 암호 시스템의 키는 다음과 같이 생성됩니다.

p $p\equiv 3{\bmod {4}}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ 4 { \ $display style$ p \ $equiv$ 3 { \ $b mod$ { 4 $p\equiv 3{\bmod {4}}$ } $q\equiv 3{\bmod {4}}$ $q\equiv 3{\bmod {4}}$ 3 mod 4 display 3 3 3 3 q 3 $q\equiv 3{\bmod {4}}$ mod 4 { \ $display style$ q $p$ \ $equiv$ 3 \ $bmod$ { $4$ $}$ $q\equiv 3{\bmod {4}}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ large2개의 큰 $p$ 되는 소수p\ $displaystyleq$ 를 $q$ 합니다 $q$ .
$n=pq$ n $n=pq$ $n=pq$ q \ $displaystyle$ n $= pq$ }

$(\displaystyle$ n $)$ 이 $n$ 공개키이고 쌍 $(p,q)$ , $(p,q)$ q $)(\displaystyle (p,q))$ 이 $(p,q)$ 개인키입니다.

암호화

$메시지$ M $(\displaystyle$ M $)$ 을 $M$ 암호화하려면 먼저 가역 매핑을 사용하여 메시지 M(\ $displaystyle$ m $<n})$ 을 $m<n$ $m<n$ m $(\$ displaystyle m)으로 변환한 다음 c $c=m^{2}{\bmod {n}}$ $c=m^{2}{\bmod {n}}$ n(\ $displaystyle$ c $=m^{2}{n$ 을 $c=m^{2}{\bmod {n}}$ 합니다. $c$ 은 c $\displaystyle$ c입니다 $c$

복호화

$메시지$ m ${displaystyle$ m $}$ 은 $m$ 암호문 c{ $displaystyle$ c $}$ 에서 $c$ 다음과 같이 제곱근 modulo $n$ { $displaystyle$ n $}$ 을 $n$ 취함으로써 복구할 수 있습니다.

다음 공식을 사용하여 c $\displaystyle$ c $\$ $displaystyle$ p $\$ $displaystyle$ 의 $p$ $q$ $c$ 을 계산합니다.
${displaystyle}m_{p}&=c^{\frac {1}{4}(p+1)}{\bmod {p}\m_{q}&=c^{\frac {1}{4}(q+1)}{\bmod {q}\end{aligned}}$
확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 $y_{p}$ p ${\$ 및 $y_{p}$ $y_{q}$ q { $displaystyle y_{q}$ 를 $y_{q}$ $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ ( $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ + $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ ） $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1$ { $displaystyle y_{p}$ \ $cdot$ p $+y_{q}$ \ $cdot = 1$ 。
중국어 나머지 정리를 사용하여 c $\displaystyle$ c $\displaystyle$ $c$ 의 $c$ $n$ 4제곱근을 구합니다.
${displaystyle }r_{1}&=left(y_{p}\cdot p_{q}+y_{q}\cdot q\cdot m_{p}\right){\bmod {n2}&=n-r_{1}\r_{3}=\cdot p_{q$

이 4개의 값 중1개는 원래의 $평문$ m $displaystyle$ m입니다.다만, 4개의 값 중 어느 것이 올바른 것인지, 추가 정보가 없으면 판별할 수 없습니다.

제곱근 계산

위의 1단계 공식은 실제로 $c$ 의 제곱근을 산출하는 것을 다음과 같이 나타낼 수식은 c $\displaystyle$ c의 $c$ 제곱근입니다.첫 번째 공식에서는 $m_{p}^{2}\equiv c{\bmod {p}}$ $m_{p}^{2}\equiv c{\bmod {p}}$ 2 $m_{p}^{2}\equiv c{\bmod {p}}$ c $m_{p}^{2}\equiv c{\bmod {p}}$ p {\ $displaystyle m_{p}^{p}\equiv c{\$ bmod ${p$ p $p\equiv 3{\bmod {4}},$ $p\equiv 3{\bmod {4}},$ $p\equiv 3{\bmod {4}},$ $p\equiv 3{\bmod {4}},$ 이므로 ${\displaystyle$ ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p+1)}$ p $\equiv$ 3 ${4$ $}}}$ 의 ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p+1)}$ 지수 $p\equiv 3{\bmod {4}},$ ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p+1)}$ ( ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p+1)}$ + ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p+1)}$ 1 ) an { $text$ { $frac1}$ an { $p}$ + p}입니다.c $c\equiv 0{\bmod {p}}$ $c\equiv 0{\bmod {p}}$ $c\equiv 0{\bmod {p}}$ p \ $displaystyle$ c \ $equiv$ 0 \ $bmod$ { $p$ } $c\equiv 0{\bmod {p}}$ c $、$ p \ $displaystyle$ c \ $equiv$ m^ { \ b $p$ $c\equiv m^{2}{\bmod {pq}}$ { p $}$ {\ {\ $、$ c $c\equiv m^{2}{\bmod {pq}}$ 2 $c\equiv m^{2}{\bmod {pq}}$ $c\equiv m^{2}{\bmod {p}}$ q $c\equiv m^{2}{\bmod {pq}}$ $c\equiv m^{2}{\bmod {p}}$ $c$ $c\equiv m^{2}{\bmod {p}}$ $c\equiv m^{2}{\bmod {p}}$ 2 $display$ $style$ c\ $equiv$ m^ { p } } { p } } $that$ that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that2 $mod$ c 。즉, c는 2차 잔차 $p$ 로p(\ $display$ style p $p$ 그리고나서

m_{p}^{{\frac {1}{2}}(p+1)}\equiv c\cdot c^{\frac {1}{2}}(p-1)\equiv c\cdot 1\mod p

마지막 단계는 오일러의 기준에 의해 정당화된다.

예

예를 들어 p $p=7$ $p=7$ { $displaystyle$ p $=7}$ $q=11$ q $q=11$ { $displaystyle$ q $=$ $11$ $q=11$ 을 $n=77$ 한 $p=7$ $n=77$ $=$ $m=20$ { $displaystyle n=$ 77 $n=77$ 을(를) 사용합니다. m $=$ $20$ { $displaystyle$ m $=$ 20 $m=20$ }을 사용합니다.따라서 암호문은 c $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ n $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ mod 77 $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ $c=m^{2}{\bmod {n}}=400{\bmod {77}}=15$ {\ $displaystyle$ c $=m^{2}{\bmod {$ n}} = $400 b$ bmod ${77$ } = $15$ 입니다.

복호화는 다음과 같이 진행됩니다.

$m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ p $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ 4 $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ ( $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ + $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ ) $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ p $=$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ 7 $1$ { { \ $displaystyle$ m _ { p } = $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ $^$ { \ $frac$ { $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ $}$ { $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ \ $bmod$ { $m_{p}=c^{{\frac {1}{4}}(p+1)}{\bmod {p}}=15^{2}{\bmod {7}}=1$ 7 } $=$ { \ $bmod$ { 7 $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ \ $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ 9 = $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$ 3 mod $m_{q}=c^{{\frac {1}{4}}(q+1)}{\bmod {q}}=15^{3}{\bmod {11}}=9$
확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 $y_{p}=-3$ p $=$ - $y_{p}=-3$ 3(\ $displaystyle y_$ {p}=- $3$ $y_{q}=2$ $y_{q}=2$ $y_{q}=2$ q $=$ }=2}를 $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ 합니다. y $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ p + y $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ ( - $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ 7 $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ ) $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ + ( $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ 11 $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ ) $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ { $displaystyle$ y $y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=(-3\cdot 7)+(2\cdot 11)=1$ p _ p _ { p _ { p _ $cd$ } } { p _ cd + cd + cd + cd _ cd } { $cd$ } { cd } { $cd$ } { cd } { $cd$
4개의 평문 후보를 계산합니다.
$({displaystyle {displaystyle}{cdot 9+2\cdot 11\cdot 1){\bmod {77}=64\r_{2}&=13\r_{3}&=cdot 7\cdot 9-2\cdot 11\cdot 1\b}}{b}) {b}$

$r_{3}$ 3 $(\$ 이 $r_3$ $r_{3}$ 평문임을 알 수 있습니다.4개의 후보 모두 15 mod 77의 제곱근입니다.즉, 각 후보별로 $r_{i}^{2}{\bmod {77}}=15$ $r_{i}^{2}{\bmod {77}}=15$ $r_{i}^{2}{\bmod {77}}=15$ 77 $=$ $r_{i}^{2}{\bmod {77}}=15$ {\ $displaystyle r_$ ${i}^{\$ $bmod {77$ }= $15$ 이므로 $r_{i}$ $ri는$ 한 값 15로 암호화됩니다 $r_{i}$ .

디지털 서명 알고리즘

Rabin 암호 시스템을 사용하여 디지털 서명을 만들고 확인할 수 있습니다.시그니처를 작성하려면 개인키 $(p,q)$ , $(p,q)$ q $(p,q)$ ) { $displaystyle (p , q$ ) $(p,q)$ 이 필요합니다.시그니처를 확인하려면 $공개키$ n { $displaystyle$ n $n$ } 이 필요합니다.

서명

$m<n$ m < $m<n$ \ $displaystyle$ m < $n$ >는 $m<n$ 다음과 같이 개인 키 $(p,q)$ , $(p,q)$ ) $(p,q)$ { $displaystyle$ ( $p , q$ )로 $(p,q)$ 서명할 수 있습니다.

임의의 $값$ u\ $displaystyle$ u
암호화 $해시함수$ H(\ $displaystyle$ H)를 $H$ 사용하여 c $)$ { $displaystyle$ c $=H(mu$ 를 $c=H(m|u)$ 합니다.여기서 막대는 연결을 나타냅니다. $\displaystyle$ c는 $c$ n $\displaystyle$ n보다 $작은$ 정수여야 합니다.
$r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ $\displaystyle$ c를 $c$ Rabin 암호화 값으로 간주하고 개인 키 $(p,q)$ $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ $)\displaystyle (p,$ $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ $)\$ displaystyle ( $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ $(p,q)$ $displaystyle r_{1},r_{$ 2}, $r_{4$ 를 사용하여 복호화를 시도합니다.
$r_{i}$ $(\$ 를 $r_{i}$ 암호화하면c(\ $displaystyle$ c $c$ 가 $c$ 될 것으로 예상할 수 있지만, 이는 c $(\displaystyle$ c $)$ 가 $c$ 2차 잔차 $p$ 로p(\ $displaystyle$ p $)$ 및 $p$ q(\ $displaystyle$ q $q$ 일 $c$ 에만 해당됩니다. 이 경우 첫 번째 복호화를 암호화합니다. $r_{1}$ r $({$ c\ $displaystyle$ c로 $c$ 되지 않으면 새로운 $\displaystyle$ u를 사용하여 $u$ 이 알고리즘을 반복합니다. $적절한$ c $\displaystyle$ c를 $c$ 찾기 전에 이 알고리즘을 반복해야 하는 예상 횟수는 4입니다.
c ${$ $displaystyle$ c $}$ 로 $r_{1}$ 암호화되는 $r_{1}$ 1 { $displaystyle r_{1}$ } 이 검출되면 시그니처는 $(r_{1},u)$ ( $(r_{1},u)$ 1, $(r_{1},u)$ u $(r_{1},u)$ ) { $displaystyle (r_{1},u$ 입니다.

시그니처 확인

$메시지$ m {\ $displaystyle$ $(r,u)$ m $}$ 의 $m$ 시그니처 $r,u)$ 는 $(r,u)$ 다음과 같이 $공개키$ n {\ $displaystyle$ n $}$ 을 $n$ 사용하여 확인할 수 있습니다.

c $c=H(m|u)$ ( $c=H(m|u)$ $c=H(m|u)$ { $displaystyle$ c $= H$ ( $mu )$ } 를 $c=H(m|u)$ 합니다.
$공개키$ n $\displaystyle$ n $n$ displaystylen\ $r$ n $\$ $displaystyle$ n
시그니처는 r $\displaystyle$ r의 $r$ $r$ 가 c $displaystyle$ c와 $c$ 한 경우에만 유효합니다.

알고리즘 평가

효과

복호화에서는 올바른 결과 외에 3개의 잘못된 결과가 생성되므로 올바른 결과를 추측해야 합니다.이것은 Rabin 암호 시스템의 주요 단점이며, 광범위한 실용화를 방해하는 요인 중 하나입니다.

일반 텍스트가 텍스트메시지를 나타내는 것이라면 추측은 어렵지 않습니다.단, 일반 텍스트가 수치를 나타내는 것이라면 이 문제는 모종의 명확화 스킴에 의해 해결되어야 하는 문제가 됩니다.특수 구조를 가진 일반 텍스트를 선택하거나 패딩을 추가하여 이 문제를 제거할 수 있습니다.반전의 모호성을 제거하는 방법은 Blum과 Williams에 의해 제안되었다. 사용된 두 개의 소수는 3 모듈로 4와 일치하는 소수점으로 제한되고 제곱의 영역은 2차 잔기의 집합으로 제한된다.이러한 제한에 의해 스쿼링 함수는 트랩도어 순열로 바뀌어 ^[3]모호성이 해소됩니다.

효율성.

암호화의 경우 제곱모듈로를 계산해야 합니다.이 방법은 큐브 이상의 계산이 필요한 RSA보다 효율적입니다.

복호화를 위해 두 개의 모듈식 인수분해와 함께 중국어 나머지 정리가 적용된다.이 경우 효율성은 RSA에 필적합니다.

명확화는 추가적인 계산 비용을 초래하며, Rabin 암호 시스템이 광범위한 실용성을 ^{[citation needed]}찾지 못하게 합니다.

보안.

Rabin 암호화 값을 복호화하는 알고리즘은 $계수$ n(\ $style$ n $n$ 에 사용할 수 있는 것으로 증명되었습니다.따라서 Rabin 복호화는 적어도 RSA에서 증명되지 않은 정수 인수분해 문제만큼 어렵습니다.일반적으로 팩터링을 위한 다항식 시간 알고리즘은 존재하지 않는 것으로 알려져 있습니다.이는 개인 키 $(p,q)$ , $(p,q)$ $)\displaystyle$ (p $,$ q )\displaystyle (p , q $(p,q)$ 이 없으면 Rabin 암호화 값을 복호화하는 효율적인 알고리즘이 없음을 의미합니다.

Rabin 암호 시스템은 암호화 프로세스가 결정론적이기 때문에 선택된 일반 텍스트 공격에 대해 구별을 할 수 없습니다.암호문 및 후보 메시지를 부여받은 상대는 암호문이 후보 메시지를 부호화하는지 여부를 쉽게 판단할 수 있다(후보 메시지를 암호화하는 것이 소정의 암호문을 산출하는지 여부를 확인하는 것).

Rabin 암호 시스템은 선택된 암호문 공격에 대해 안전하지 않습니다(메시지 ^[1]^{: 150}공간에서 챌린지 메시지가 랜덤으로 선택되는 경우에도 마찬가지).예를 들어 마지막 64비트의 반복과 같은 용장성을 추가함으로써 시스템은 단일 루트를 생성할 수 있습니다.복호화 알고리즘은 공격자가 이미 알고 있는 루트만 생성하기 때문에 이 특정 선택된 암호문 공격을 중지합니다.이 기법을 적용하면 인수분해 문제와의 동등성 증명에 실패하기 때문에 이 변종이 안전한지는 2004년 현재 불확실합니다.Menezes, Oorschot 및 Vanstone의 응용암호화 핸드북에서는 이러한 등가성이 있을 가능성이 높다고 간주하고 있지만, 루트의 발견이 두 부분으로 이루어진 프로세스(1. ${\bmod {p}}$ mod p\ $displaystyle\bmod$ {p $})$ 와 ${\bmod {q}}$ {q $}$ 및 ${\bmod {q}}$ 2. 중국어 잔여정리의 적용)로 ${\bmod {p}}$ 이루어진다고 간주하고 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ ^a ^b Stinson, Douglas (1995). Cryptography: Theory and Practice. CRC Press LLC.
^ Rabin, Michael (January 1979). "Digitalized Signatures and Public-Key Functions as Intractable as Factorization" (PDF). MIT Laboratory for Computer Science.
^ 샤피 골드와서와 미히르 벨레는 암호학 강의 노트입니다.1996-2001년 MIT 암호학 여름과정

레퍼런스

부크만, 요하네스크립토그래피의 아인푸엉.제2판베를린: Springer, 2001.ISBN 3-540-41283-2
메네제스, 알프레드, 반 우르쇼트, 폴 C, 반스톤, 스콧 A.응용 암호 핸드북CRC Press, 1996년 10월ISBN 0-8493-8523-7
라빈, 마이클디지털 서명 및 공개 키 기능은 인수분해만큼 다루기 어렵습니다(PDF).MIT 컴퓨터 과학 연구소, 1979년 1월.
Scott Lindhurst 유한장에서의 제곱근 계산을 위한 Shank 알고리즘 분석.R Gupta 및 K S Williams, Proc 5th Conf Can Nr Theo Assoc, 1999, vol 19 CRM Proc & Lec Notes, AMS, 1999년 8월
R Kumanduri and C Romero, 컴퓨터 어플리케이션 포함 수론, Alg 9.2.9, 프렌티스 홀, 1997.소수 2차 잔차 모듈의 제곱근에 대한 확률론적.

외부 링크

Menezes, Oorschot, Vanstone, Scott: 응용 암호화 핸드북(무료 PDF 다운로드), 8장 참조

[stinson-1] Stinson, Douglas (1995). Cryptography: Theory and Practice. CRC Press LLC.

[2] Rabin, Michael (January 1979). "Digitalized Signatures and Public-Key Functions as Intractable as Factorization" (PDF). MIT Laboratory for Computer Science.

[3] 샤피 골드와서와 미히르 벨레는 암호학 강의 노트입니다.1996-2001년 MIT 암호학 여름과정

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