벡터 번들의 방향

수학에서, 실제 벡터 번들의 방향은 벡터 공간의 방향의 일반화다. 따라서, 실제 벡터 번들 →: E →B를 주어진다면, E의 방향은 각 섬유 E에_x 대해 벡터 공간_x E의 방향성이 있고, 각 소소한 벡터 공간 맵(다발 맵)을 각각 요구한다.

${\displaystyle \pi \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}}$

광섬유 방향 보존을 위해 R에ⁿ 표준 방향이 주어진다.좀 더 간결한 표현으로 E의 프레임 번들 구조군, 즉 실제 일반 선형군_n GL(R)은 양성 결정인자를 구성하는 하위군으로 축소할 수 있다는 것이다.

E가 n등급의 실제 벡터 번들인 경우, E에 대한 메트릭의 선택은 구조 그룹을 직교 그룹 O(n)로 감소시키는 것이다.그러한 상황에서 E의 방향은 O(n)에서 특수 직교군 SO(n)로 감소하는 양이다.

방향과 함께 벡터 묶음을 지향성 묶음이라고 한다.방향성을 부여할 수 있는 벡터 번들을 방향성 벡터 번들이라고 한다.

지향성 다발의 기본 불변성은 오일러 등급이다.지향성 번들의 오일러 등급에 의한 곱셈(즉, 컵 제품)은 기신 시퀀스를 발생시킨다.

예

복잡한 벡터 번들은 표준적인 방식으로 방향을 잡는다.

벡터 번들 방향의 개념은 다른 다지관의 방향을 일반화한다: 다른 다지관의 방향은 그것의 접선다발의 방향이다.특히, 서로 다른 다지관은 그것의 접선 다발이 벡터 다발로 방향을 잡을 수 있는 경우에만 방향을 잡을 수 있다.(참고: 다지관으로서 접선 번들은 항상 방향을 잡을 수 있다.)

운영

n등급의 실제 벡터 번들 E에 방향성을 부여하는 것은 E등급의 (실제) 결정요소 번들 ${\displaystyle \mathrm{디트}}$ det${\displaystyle }$E =${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$N E ${\displaystyle \operatorname {det}$ E$=\wedge ^{n}E}$에 방향성을 부여하는 것이다.마찬가지로 E에게 방향성을 부여하는 것은 E의 단위 구면다발에 방향성을 부여하는 것이다.

실제 벡터 번들이 실제 무한 그라스만족에 의해 분류되는 것처럼, 지향성 번들은 지향성 리얼 벡터 공간의 무한 그라스만족에 의해 분류된다.

톰 스페이스

동족학적 관점에서, 어떤 고리 Ⅱ에 대해서도, Ⅱ-방향으로, n등급의 실제 벡터다발 E는 클래스의 선택(및 존재)을 의미한다.

${\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda )}$

in the cohomology ring of the Thom space T(E) such that u generates ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )}$ as a free ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$-module globally and locally: i.e.,

${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tild{H}^{*}(T(E);\lambda ),x\mapsto x\smile u}$

이형성(Tilde)은 각 이형성(Thom Isomorphism)으로 제한되는 감소된 코호몰리를 의미한다.

${\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\tild{H}^{*}(T(E _{U});\Lambda )}$

ization -${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}U}$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle U}$× ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$\timeq U\$times$\mathbf{$R}$n}}}}}}}}. 어떤 작업과 함께 방향의 일반적인 개념이 Z 방향과 일치한다는 것을 보여줄 수 있다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 섬유에 따른 통합
• 방향 번들(또는 방향 피복) - 이것은 비방향 번들에 대한 Thom 이형성을 공식화하는 데 사용된다.

참조

• Bott, Raoul; Tu, Loring (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, New York: Springer, ISBN 0-387-90613-4
• J.P. 5월, 대수학적 위상에서의 간결한 과정.시카고 대학 출판부, 1999.
• Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9