오일러급

수학에서, 특히 대수적 위상에서, 오일러 클래스는 지향적인 실제 벡터 번들의 특징적인 클래스다.다른 특성계급과 마찬가지로 벡터다발이 얼마나 '틀린'지 측정한다.매끄러운 다지관의 접선다발의 경우 오일러 특성의 고전적 개념을 일반화한다.이것 때문에 레온하르트 오일러의 이름을 따서 지은 것이다.

이 기사 $전반$에 걸쳐 E ${\displaystyle E}$은(는) 기본 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 통한 순위 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 지향적이고 실제 벡터 번들로 구성되어$$ 있다$.$

형식 정의

오일러 클래스 $e{\displaystyle (E}$ ) ${\displaystyle e(E)}$은(는) 통합 코호몰로지 그룹의 요소다.

${\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z}),}$

다음과 같이 구성되었다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 방향은 코호몰로지 생성기의 지속적인 선택에 해당함$$

${\displaystyle H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{0\};\mathbf {Z})\cong H^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z})\cangmathbf {Z}}}}}}$

0의$$ 보완 $R{\displaystyle {\mathbf{}}^{}\setminus \{0\}\{\backslash }$$displaystyle \mathbf{R$$}{\displaystyle \mathbf{R} ^{r}\setminus \{0\}}}}}$에 대한$$ 각 섬유 ${\$displaystystyle \{r$}.$톰 이소몰피즘으로부터, 이것은 오리엔테이션 수업을 유도한다.

${\displaystyle u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z})}$

제로 섹션 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 보완 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{0}$에 대한$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 공동호몰로지$.$포함 항목

${\displaystyle (X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),}$

여기서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 0 섹션으로$$ 포함되면$$ 지도를 유도하십시오.

${\displaystyle H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z})\to H^{r}(E;\mathbf {Z})\to H^{r}(X;\mathbf {Z}).}$

오일러 클래스 e(E)는 이 지도들의 구성 하에 있는 u의 이미지다.

특성.

오일러 클래스는 특성 클래스의 공리인 이러한 특성을 만족한다.

• 우스꽝스러움말:If ${\displaystyle F\to Y}$ is another oriented, real vector bundle and ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ is continuous and covered by an orientation-preserving map ${\displaystyle F\to E}$, then ${\displaystyle e(F)=f^{*}(e(E))}$. In particular, ${\displaystyle e(f^{\ast }(E))={}^{}}$${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle e}$ (${\displaystyle E}$)${\displaystyle e(f^{*}(E)=f^{*}(E$
• Whitney sum 공식:$F{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\to X}$이(가) 다른 방향의 실제 벡터 번들일 경우, 직접 합계의 오일러 클래스는 $e{\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \oplus }$ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$ ) = ${\displaystyle e}$ ( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle ⌣}$ ${\displaystyle e.}$ ${\displaysty$e$(E\oplus F)=e(E)\smile$e$(F)$로 주어진다$.$$}$
• 정규화:$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 0이 없는 섹션이 있는$$ 경우 e(${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle e(E)=0$
• 방향:$E{\displaystyle \stackrel{}{}}$} ${\$이(${\displaystyle 가\stackrel{}{}}$) 반대 방향의$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$인 경우, e${\displaystyle (}E{\displaystyle )}$= - (${\displaystyle$ e$({\overline {E})=-e(E$

"정상화"는 오일러 클래스의 구별되는 특징이라는 점에 유의하십시오.오일러 클래스는 ${\displaystyle \mathrm{e}(E}$) ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle e(E)\neq 0}$인 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 비바니싱 섹션이 없다는$$ 의미에서 비바니싱 섹션의 존재를 방해한다.

Also unlike other characteristic classes, it is concentrated in a degree which depends on the rank of the bundle: ${\displaystyle e(E)\in H^{r}(X)}$. By contrast, the Stiefel Whitney classes ${\displaystyle w_{i}(E)}$ live in ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)}$$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 등급에 관계없이 $.$이는 이하에서 논의한 바와 같이 오일러계급이 불안정하다는 사실을 반영한 것이다.

일반 섹션의 소멸 위치

오일러 클래스는 다음과 같은 방법으로$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 섹션의 소멸 위치에 해당한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $차원{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$의 지향적인 부드러운 다지관이라고 가정합시다.$$$\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ E ${\displaystyle \sigma \colon$ X$\to E}$은(가) 0 구간을 가로로 교차하는 부드러운 섹션이 되도록$$ 하십시오.Let ${\displaystyle Z\subseteq X}$ be the zero locus of ${\displaystyle \sigma }$. Then ${\displaystyle Z}$ is a codimension ${\displaystyle r}$ submanifold of ${\displaystyle X}$ which represents a homology class ${\displaystyle [Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )}$ and${\displaystyle e}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle e(E)}$은$({\displaystyle }$는) [ ${\displaystyle Z}$ {\$displaystyle$ [$Z]}$의 Poincaré 이중이다$.$

자기 절개

예를 들어, $Y{\displaystyle }${\$displaystyle Y$}이$$(가) 콤팩트 서브매니폴드인 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$에서 Y ${\displaystyle$ $Y$$}$의 일반 번들 Y {\\$displaystyle$ Y}의 오일러 클래스는 $자연$스럽게 X ${\displaystytyle$ X}의 Y}의 $자체{\displaystyle }$ 절편으로 식별된다$.$

다른 불변제와의 관계

문제의 번들 E가 콤팩트하고 지향적인 r차원 다지관의 접선다발인 특별한 경우, 오일러 클래스는 다지관의 최상위 코호몰로지 요소로서, 기본 호몰로지 클래스에 대한 코호몰로지 클래스를 평가하여 정수와 자연스럽게 구분된다.이 식별 하에서 접선다발의 오일러 등급은 다지관의 오일러 특성과 동일하다.특성수 언어에서 오일러 특성은 오일러 등급에 해당하는 특성수다.

따라서 오일러 클래스는 접선 번들이 아닌 벡터 번들에 대한 오일러 특성을 일반화한 것이다.다시 말해, 오일러 클래스는 벡터 번들의 다른 특성 클래스에 대한 원형이며, 각 "상위" 특성 클래스는 다음과 같이 오일러 클래스와 동일하다는 것이다.

2로 수정하면 지도가 유도된다.

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z})\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}).}$

이 지도 아래 오일러 클래스의 이미지는 w(E)에서_r 가장 높은 스티펠-휘트니 클래스다.이 스티펠-휘트니 클래스를 '오리엔테이션을 무시한 오일러 클래스'로 볼 수 있다.

복합 순위 d의 모든 복합 벡터 번들 E는 실제 순위 2d의 지향적이고 실제 벡터 번들 E로 간주할 수 있다.E의 오일러 클래스는 최고 치수 체르누스 클래스 $e{\displaystyle (E}$) = c(${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle {\mathrm{2d}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)}$에 의해 주어진다.

정사각형에서 최상위 폰트랴긴 클래스까지

폰트랴긴 클래스 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle p_{r}(E)}$은(는) E: ${\displaystyle p_{}}$ r ${\displaystyle {}_{}E}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}_{}}$: 2 ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$C ${\displaystyle \otimes }$ E )${\displaystyle p_{r}(E)=c_{2r}(\mathbf {C}\otimes E)$의 복합화에 대한 체르드 등급으로 정의된다$.$

복합화 $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes E}$은(는) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \oplus }$ E ${\displaystyle$ E$\oplus E}$에 대한 지향적 번들로서 이형성이 있다$$$.$ 오일러 클래스를 비교하면 다음과 같다.

${\displaystyle e(E)\mathbf(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C})=c_{r}(E\otimes \mathbf {C})\in H^{2r}(X,\mathbf {Z}).}$

If the rank r of E is even then ${\displaystyle e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)}$ where ${\displaystyle p_{r/2}(E)}$ is the top dimensional Pontryagin class of ${\displaystyle E}$.

불안정

특성 $클래스{\displaystyle }$ c${\displaystyle c}$는 c${\displaystyle (E{\underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{R}}^{}}$ ${\displaystyle {\_}^{\mathrm{}}}$1${\displaystyle }$) = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (E}$)$${\$displaystyle$ c$(E\oplus {\r}^{1}}=c$(E$)}$이(가$$)이면 $안정적$이며 ${\displaystyle {\underset{}{여기}}^{}}$서 $_$ 1 {\$displaystystyle {\{R}}^{1$}:{1}:{1}은$$하나의 사소한$$ 묶음이다.대부분의 다른 특성계급과는 달리 오일러계급은 불안정하다.실제로 $e{\displaystyle (E}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{\mathrm{}}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle ⌣}$ e${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\_}^{\mathrm{}}}$ 1)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle e(E\oplus {\underline {R}^{1}}=e(E)\smile e({\underline {R}^{R}}=0$

The Euler class is represented by a cohomology class in the classifying space BSO(k) ${\displaystyle e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))}$. The unstability of the Euler class shows that it is not the pull-back of a class in ${\displaystyle H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))}$ under the inclusion $B{\displaystyle \mathrm{}}$ S ${\displaystyle \mathrm{O}}$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{k}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {BSO}(k)\to \mathrmat {BSO}(k+1)}$.

이는 오일러 클래스가 번들의 치수(${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 접선 번들의 경우 다지관)에 따라 등급이 달라지는 클래스라는 점에서 직관적으로 알 수 있다: 오일러 클래스는 $H{\displaystyle {}^{}}$ d ( ${\displaystyle X^{}}$ )${\displaystyle$ H$^{d}(X)$의 요소인 반면$$ d ${\displaysty$ d$}$는 번들의 치수인$$ $반면{\displaystyle }$ 다른 클래스는 고정 치수(e)를 가지고 있다.g. 첫 번째 Stiefel-Whitney 클래스는 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) {\$displaystyle$ H^{1$}(X)}$의 요소다.$$

오일러계급이 불안정하다는 사실은 '결함'으로 봐서는 안 된다, 오히려 오일러계급이 '불안한 현상을 감지한다'는 뜻이다.예를 들어, 짝수 치수 구의 접선 번들은 안정되게 사소한 것이지만 사소한 것이 아니다(구 S ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$\subseteq $\mathrm$ {$R} ^{n+1})$는 사소한 정상 번들을 포함하므로$$ 구와 사소한 선 번들을 더한 유클리드 공간의 접선 번들이 된다.${\displaystyle {Sn}^{}}$ ${\$에 기인하는 것$)$에 기인하여 다른 특성계급은 모두 구를 위해 사라지지만, 오일러계급은 짝수 구를 위해 사라지지 않아 비독점적 불변성을 제공한다.

예

구스

n-sphere S의ⁿ 오일러 특성은 다음과 같다.

${\displaystyle \chi(\mathbf {S}^{n}=1+(-1)^{n}={\begin{case}2&n{짝수}\0&n{\text{홀수}}}.\end{case}}}$

따라서 짝수 구의 접선 묶음에는 비반사 섹션이 없다(이는 털복숭이 공 정리라고 알려져 있다).특히, 짝수 구의 접선다발은 비교가능하지 않다. $즉{\displaystyle {}^{}}$, S ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$ S$^{2n}$는 평행할 수 있는 다지관이 아니며$$, Lie 그룹 구조를 인정할 수 없다.

홀수 구체인²ⁿ⁻¹ S r R의²ⁿ 경우, 어느 곳에서도 사라지지 않는 부분은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle(x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\reason,x_{2n},-x_{2n-1}}}}}$

오일러 클래스는 사라졌음을 보여준다; 이것은 원 위에 있는 통상적인 섹션의 n개의 복사본일 뿐이다.

As the Euler class for an even sphere corresponds to ${\displaystyle 2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )}$, we can use the fact that the Euler class of a Whitney sum of two bundles is just the cup product of the Euler classes of the two bundles to see that there are no other subbundles of t그는 접선 번들 그 자체와 무효 번들보다도 더 접선 번들, 어떤 고차원적인 구체에 대해서도.

구체의 접선다발은 안정되게 사소한 것이지만 사소한 것이 아니기 때문에 다른 모든 특성계급은 그 위에서 사라지게 되고, 오일러계급은 구들의 접선다발의 비경쟁성을 감지하는 유일한 평범한 공동유전학계급이다:더 이상의 결과를 증명하기 위해서는 반드시 2차 공동유전학 운영이나 K-이론을 이용해야 한다.

원

실린더는 자연 투영 $R{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{1$}\$1}\to$ S$^{1}}$에 의한 원 위의 선다발이며$,$ 사소한 선다발이기 때문에 0이 없는 구간을 소유하며, 따라서 오일러 등급은 0이다.또한 원의 접선다발과도 이형이다. 그 오일러 등급이 0이라는 사실은 원의 오일러 특성이 0이라는 사실과 일치한다.

참고 항목

• 반데르몽드 다항식
• 톰 이형성
• 일반화 가우스-보넷 정리

기타반

• 체르누스급
• 폰트랴긴급
• 스티펠위트니급

참조

• Bott, Raoul and Tu, Loring W. (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic Classes. Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.