톰 스페이스

수학에서는 톰 공간, 톰 콤플렉스, 폰트랴긴-대수 위상과 미분 위상의 톰 구성(René Thom and Lev Pontryagin)은 파라콤팩트 공간 위에 벡터 번들과 연관된 위상 공간이다.

Thom 공간 구축

이 공간을 구성하는 한 가지 방법은 다음과 같다.내버려두다

[\displaystyle p:E\to B}

파라콤팩트 공간 B 위에 있는 n 진짜 벡터 묶음이다.그런 다음 B의 각 점 B에 대해 섬유 E $E_{b}$ ${\$ 는 $n$ $n$ -차원 $n$ 실제 벡터 공간이다 $E_{b}$ .E에서 직교 구조를 선택하라. 섬유에서 매끄럽게 변화되는 내적 생산물. 우리는 단결의 칸막이를 사용하여 이것을 할 수 있다.Let $D(E)$ be the unit ball bundle with respect to our orthogonal structure, and let $S(E)$ be the unit sphere bundle, then the Thom space $T(E)$ is the quotient $T(E):=D(E)/S(E)$ of topological spaces. $T(E)$ ( $T(E)$ ) $T(E)$ 은 $S(E)$ ( $S(E)$ ) $S(E)$ 의 $S(E)$ 이미지를 기준점으로 하는 뾰족한 공간이다 $T(E)$ . $T(E)$ 가 콤팩트하면, $T(E)$ ( E $T(E)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $T(E)}$ 이(가) E의 원 포인트 콤팩트화 된다 $T(E)$ .

For example, if E is the trivial bundle $B\times \mathbb {R} ^{n}$ , then $D(E)=B\times D^{n}$ and $S(E)=B\times S^{n-1}$ . Writing $B_{+}$ for B with a disjoint basepoint, ${\displ$ $aystyle T(E)}$ 는 $T(E)$ $B_{+}$ + ${\$ 와 $B_{+}$ $S^{n}$ $S^{n}$ ${\$ S $^{n}$ 의 스매시 제품이다 $S^{n}$ 즉, $B_{+}$ + ${\$ 의 n번째 감소된 서스펜션이다 $B_{+}$

톰 이소모르퍼시즘

이 공사의 의의는 섬유다발의 코호몰로지 주제에 속하는 다음과 같은 결과로부터 시작된다.(우리는 방향성에서 발생하는 합병증을 피하기 위해 $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$ ${\$ 개의 $\mathbb{Z } _{2}$ 계수에 대해 결과를 명시했다. 벡터 번들의 방향도 참조한다.톰 스페이스.)

$p:E\to B$ : E $p:E\to B$ → B ${\displaystyle p:$ $E\to B}$ 은(는) n등급의 진정한 벡터 묶음이다 $p:E\to B$ .그리고 지금은 톰 이소모르프라고 불리는 이소모르프리즘이 있다.

[\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathb {Z} _{2})\to {\widetilde{H}^{k+n}(T(E);\mathb {Z} _{2}),}

0보다 크거나 같은 모든 k에 대해, 우측이 코호몰로지 감소.

이 정리는 르네 톰이 1952년 그의 유명한 논문에서 공식화하고 증명했다.

등급 k의 B에 있는 사소한 묶음의 톰 공간은 $B_{+}$ + ${\$ B의 K번째 현수막에 이소모르퍼시픽이기 때문에 (cf) 정리는 국소소소소소소요에 대한 이소모르퍼시즘의 글로벌 일반화로 해석할 수 있다.#톰 공간 구성)이는 톰 공간을 참조하지 않는 정리의 공식화에서 보다 쉽게 알 수 있다.

Thom 이형성 — $\Lambda$ {\ $displaystyle \Lambda }$ 을(를) 링으로 하고 $\Lambda$ $p:E\to B$ : $p:E\to B$ → B ${\displaystyle p:$ $E\to B}$ 은(는) n등급의 지향적인 실제 벡터 묶음이다 $p:E\to B$ .그리고 어떤 계급이 존재한다.

u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda )

여기서 B는 0 섹션으로 E에 내장되며, F 섬유에 대해서는 u의 제한

u _{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )

F의 방향에 의해 유도된 등급이다.게다가

{\displaysty}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end}}}

이소모르프다.

In concise terms, the last part of the theorem says that u freely generates $H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )$ as a right $H^{*}(E;\Lambda )$ -module.u클래스는 보통 E의 톰클래스라고 불린다.풀백 $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ : $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ ; $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ ) $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ → $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ ; $){\displaystyle p^{*:$ $H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$ 는 $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ 링 이형성이며, $\Phi$ $\Phi$ 는 다음 방정식으로 주어진다 $\Phi$ .

\Phi(b)=p^{*(b)\smile u.

특히 톰 이소모르피즘은 $H^{*}(B)$ ∗ $H^{*}(B)$ ( $H^{*}(B)$ $){\displaystyle H^{*}(B)}$ 의 정체성 요소를 u로 보낸다 $H^{*}(B)$ .참고: 이 공식을 이해하기 위해 u는 (우리는 링 $\Lambda$ $\Lambda$ 을(를) 삭제함 $\Lambda$ 의 요소로 취급된다.

{\tilde{H}^{n}(T(E)))=H^{n}(\operatorname {Sph}(E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B)

^[1]

Thom의 작업의 중요성

1952년 논문에서 톰은 톰 계급인 스티펠-을 보여주었다.휘트니 계급, 그리고 스텐로드 작전은 모두 연관되어 있었다.그는 이러한 아이디어를 1954년 논문 Quelkes 소유주의 글로벌화에서 거미집단이 특정 톰 공간 MG(n)의 호모토피 그룹으로 계산될 수 있다는 것을 증명하기 위해 사용했다.증거는 매끄러운 다지관의 횡단성 특성에 따라 달라지며 밀접하게 관련되어 있다. 톰 횡단성 정리 참조.이 건축물을 뒤집음으로써 존 밀너와 세르게이 노비코프(다른 많은 것들 중)는 고차원 다지관의 존재와 독특성에 대한 질문에 대답할 수 있었다. 이것은 오늘날 수술 이론으로 알려져 있다.또한 공간 MG(n)가 서로 맞아 떨어져 현재 톰 스펙트럼으로 알려진 스펙트럼 MG를 형성하며, 코보디즘 그룹은 사실상 안정적이다.따라서 톰의 구조는 미분위상과 안정적 호모토피 이론을 통합하며, 특히 구들의 안정적인 호모토피 그룹에 대한 우리의 지식에 필수적이다.

스테인로드 작전이 가능하다면 우리는 그것들과 정리의 이형성을 이용하여 스티펠--을 건설할 수 있다.휘트니 수업.Steenrod 작동(모드 2)이 자연 변형인지 상기

Sq^{i:H^{m}(-;\mathb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;;\mathb {Z} _{2}),}

모든 비 음의 정수 m에 대해 정의된다. $i=m$ = $i=m$ $i=m$ 이면 $i=m$ $Sq^{i}$ $Sq^{i}$ ${\$ 가 컵 사각형과 일치한다 $Sq^{i}$ .우리는 stiefel을 정의할 수 있다. $w_{i}(p)$ 번들 $p:E\to B$ : E $p:E\to B$ → $p:E\to B$ ${\$ $displaystyle w_{i}(p)}$ 의 $w_{i}(p)$ Whitney 클래스 w $w_{i}(p)$ ( $w_{i}(p)$ ) ${\$ $displaystyle p:$ $E\to B}$ by $p:E\to B$ :

[\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i})(\Phi(1))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}

가변성 매니폴드에 대한 결과

위의 묶음을 매끄러운 다지기의 접선 묶음으로 삼으면, 위의 결론을 우 공식이라고 하며, 다음과 같은 강한 결과를 가져온다:스티엔로드 작전은 호모토피 동등성에 따라 불변하므로, 우리는 스티펠-로 결론짓는다.다지관의 휘트니 클래스도 그렇다.이는 다른 특성계급에 일반화되지 않는 이례적인 결과다.세르게이 노비코프 때문에 이성적인 폰트랴긴 계급을 위한 위상학적 공조를 확립하는 유사한 유명하고 어려운 결과가 존재한다.

톰 스펙트럼

진짜 거미줄

보르디즘에 대해 생각하는 두 가지 방법이 있는데, 하나는 두 $n$ 의 n $n$ -manifolds $n$ $M,$ $M^{}$ $'$ ${\$ M $'}$ 을 고려하는 것으로서 $(n+1)$ 경계 $W$ $W$ 과 $W$ ( $n+1)$ -manifold가 $(n+1)$ 있을 경우 교두통하다 $M,M'$ .

\displaystyle \partial W=M\coprod M'}

이러한 종류의 정보를 인코딩하는 또 다른 기법은 내장 $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ m $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ N $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ + $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ ${\$ 을(를) 취하고 일반적인 $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ 번들을 고려하는 것이다.

\nu :N_{\mathb {R}^{N+n}/M}\to M

정상적인 다발의 유질 동상 클래스와 함께 포함된 매니폴드 함께 실제로 이것과 일부 RNW에 대한던 1가지 이슈 때문이었습니다를 찾는+n{\displaystyle \mathbb{R}^{N_{W}[0,1]× cobordism W{W\displaystyle}를 사용하여 shown[2] 수 있는 cobordism 클래스[M]{\displaystyle[M]} 같은 정보를 부호화합니다.+n} $MO(n)$ 에 $\mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]$ $MO(n)$ $\mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]$ 정의된 $Thom$ 공간 M O ( $MO(n)$ n ) $MO(n)$ 에 대한 호모토피 클래스의 $MO(n)$ 을 제공하는 \times [ $0,1]}.$ 의 이형성 표시

\pi _{*}MO(n)\cong \Oomega _{n}^{O}}

일이 좀 더 필요하다.^[3]

Thom 스펙트럼 정의

정의상, Thom 스펙트럼은^[4] Thom 공간의 연속이다.

MO(n)=T(\gamma ^{n})

여기서 우리는 순위 n의 범용 벡터 번들을 위해 $\gamma ^{n}\to BO(n)$ $\gamma ^{n}\to BO(n)$ → $\gamma ^{n}\to BO(n)$ ( $n$ ${\displaystyle \gamma ^{n}\to$ BO(n $)}$ 를 썼다.그 순서는 스펙트럼을 형성한다.^[5]톰의 정리는 $\pi _{*}(MO)$ ( $\pi _{*}(MO)$ O $){\displaystyle \pi$ _ ${*}(MO)}$ 이(가) 지향하지 않는 거미줄 고리라고 말하고 $\pi _{*}(MO)$ 있는데,^[6] 이 정리의 증거는 톰의 횡단성 정리에 결정적으로 의존한다.^[7]횡단성의 부족은 예를 들어 톰 스펙트럼에서 위상학적 다지관의 거미줄 고리 계산을 방해한다.

참고 항목

메모들

^ 이형성의 증거.우리는 B를 0 섹션, 즉 0 벡터 섹션 또는 무한 섹션으로 $\operatorname {Sph} (E)$ $\operatorname {Sph} (E)$ ( $\operatorname {Sph} (E)$ ) ${\displaystyle \operatorname$ { $Sph}$ ( $E)}$ 에 $\operatorname {Sph} (E)$ 삽입할 수 있다. 즉, 무한 벡터 섹션(주요적으로 차이가 중요하지 않음).두 가지 임베딩 방법을 사용하여 세 가지:
$($ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ , $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ ) $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ B , $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ ) ${\displaystyle$ (\ $operatorname$ { $Sph} (E),\operatorname$ { $Sph}$ (E $)\setminus$ B, $B$ .
분명히 $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ ( $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ ) $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ 변형이 B로 환원된다 $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ .이 세 배의 긴 정확한 순서를 보면, 우리는 다음과 같은 것을 볼 수 있다.
$H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph}(E),\operatorname {Sph}(E)\setminus B),$
그 중 후자는 다음과 같은 이형이다.
$H^{n}(E,E\setminus B)$
따로따로
^ "Thom's theorem" (PDF). Archived (PDF) from the original on 17 Jan 2021.
^ "Transversality" (PDF). Archived (PDF) from the original on 17 Jan 2021.
^ 8-9페이지 참조
^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/mflds/2fordism.pdf
^ 스퉁, 페이지 18
^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/mflds/4transversality.pdf

참조

Sullivan, Dennis (2004). "René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism". Bulletin of the American Mathematical Society. 41 (3): 341–350. doi:10.1090/S0273-0979-04-01026-2.
Bott, Raoul; Tu, Loring (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. New York: Springer. ISBN 0-387-90613-4. Poincaré 이중성 및 Sphere 번들의 오일러 클래스에 대한 링크를 처리하는 차동 위상에 대한 고전적 참조
May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. pp. 183–198. ISBN 0-226-51182-0.
"Explanation for the Pontryagin–Thom construction". MathOverflow.
Stong, Robert E. (1968). Notes on cobordism theory. Princeton University Press.
Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés différentiables". Commentarii Mathematici Helvetici. 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. S2CID 120243638.
Ando, Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J.; Rezk, Charles (2014). "Units of ring spectra and Thom spectra". Journal of Topology. 7 (4): 1077–1117. arXiv:0810.4535. doi:10.1112/jtopol/jtu009. MR 0286898. S2CID 119613530.

외부 링크

http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
"Thom space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Akhil Mathew의 블로그 게시물: https://amathew.wordpress.com/tag/thom-space/

[1] 이형성의 증거.우리는 B를 0 섹션, 즉 0 벡터 섹션 또는 무한 섹션으로 $\operatorname {Sph} (E)$ $\operatorname {Sph} (E)$ ( $\operatorname {Sph} (E)$ ) ${\displaystyle \operatorname$ { $Sph}$ ( $E)}$ 에 $\operatorname {Sph} (E)$ 삽입할 수 있다. 즉, 무한 벡터 섹션(주요적으로 차이가 중요하지 않음).두 가지 임베딩 방법을 사용하여 세 가지:
$($ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ , $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ ) $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ B , $(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ ) ${\displaystyle$ (\ $operatorname$ { $Sph} (E),\operatorname$ { $Sph}$ (E $)\setminus$ B, $B$ .
분명히 $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ ( $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ ) $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ 변형이 B로 환원된다 $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ .이 세 배의 긴 정확한 순서를 보면, 우리는 다음과 같은 것을 볼 수 있다.
$H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph}(E),\operatorname {Sph}(E)\setminus B),$
그 중 후자는 다음과 같은 이형이다.
$H^{n}(E,E\setminus B)$
따로따로

[2] "Thom's theorem" (PDF). Archived (PDF) from the original on 17 Jan 2021.

[3] "Transversality" (PDF). Archived (PDF) from the original on 17 Jan 2021.

[4] 8-9페이지 참조

[5] ttp://math.northwestern.edu/~jnkf/mflds/2fordism.pdf

[6] 스퉁, 페이지 18

[7] ttp://math.northwestern.edu/~jnkf/mflds/4transversality.pdf

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