직교 파장

직교 파장은 연관된 파장 변환이 직교인 파장이다.즉, 역파장 변환은 파장 변환의 조정이다.이 상태가 약해지면 두 번째 파장을 일으킬 수 있다.

기본 사항

스케일링 함수는 다시 사용할 수 있는 기능이다.즉, 정제 방정식(쌍 척도 관계 또는 팽창 방정식)이라고 하는 프랙탈 함수 방정식이다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\varphi }}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{N}}}}$- 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{a}}}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$- k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi (x)=\sum \{k=0}^{n-1a_{k}\pi(2x-k$

여기서 실수의 시퀀스$$$({\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\mathrm{N}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{N-1}}}$을(를) 스케일링 시퀀스 또는 스케일링 마스크라고 한다.웨이브렛은 유사한 선형 결합을 통해 얻는다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\psi }}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{M}}}}$- 1 ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$- k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi(2x-k$

여기서 실수의 시퀀스$$$({\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , b ${\displaystyle {\mathrm{M}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (b_{0},\dots ,b_{M-1}}}$을(를) 웨이브릿 시퀀스 또는 웨이브릿 마스크라고 한다.

파형의 직교성을 위해 필요한 조건은 스케일링 시퀀스가 균일한 수의 계수에 의해 파형의 모든 이동에 직교한다는 것이다.

${\displaystyle \sum _n}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }{n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}$m = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}${\$displaystyle \sum$_{$n\in \mathb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m,0$

여기서 ${\displaystyle {\Delta m}_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 크론커 델타다.

이 경우 스케일링에서 파장 순서와 동일한 수의 M=${\displaystyle \mathrm{N}}$ 계수가 $있는{\displaystyle {}_{}}$ 경우, 파장 순서는 b${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ = (${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ a ${\displaystyle N_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 경우에 따라 반대 기호가 선택된다.

소멸 모멘트, 다항 근사치 및 부드러움

정제 방정식에 대한 해결책의 존재에 필요한 조건은 다음과 같은 양의 정수 A가 존재한다는 것이다(Z-변환 참조).

${\displaystyle (1+Z)^{A} a(Z):=a_{0}+a_{1}}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.}$

최대 가능 전력 A는 다항 근사 순서(또는 poll. app. power) 또는 소멸 모멘트의 수라고 불린다.스케일링 함수의 정수 번역의 선형 조합으로 도 A-1까지 다항식을 표현할 수 있는 능력을 기술한다.

In the biorthogonal case, an approximation order A of ${\displaystyle \phi }$ corresponds to A vanishing moments of the dual wavelet ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$, that is, the scalar products of ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ with any polynomial up to degree A-1 are zero.반대 방향에서 $~{\$의 근사 순서 ã은 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 소멸 모멘트와 동등하다$.$ 직교 사례에서 A와 ã가 일치한다.

스케일링 함수의 존재에 대한 충분한 조건은 $다음$과 같다: a${\displaystyle }$( ${\displaystyle Z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$- A${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle Z{}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle Z}$ $){\displaystyle a (Z)=2^{1-A}(1+Z)^{{$1-A}{{1+Z)$A}p(Z)}$및 추정치

${\displaystyle 1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\왼쪽 p(e^{it})\오른쪽 <2^{A-1-n}}}}$

일부 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대해 유지한 다음$,$ 정제 방정식은 콤팩트한 지지와 함께 n 배 연속적으로 다른 솔루션을 가진다.

예

• ${\displaystyle p}$( Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(Z)=1},$ 그리고$$ $a{\displaystyle }$( ${\displaystyle Z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$A${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ +${\displaystyle Z{}^{}}$) A ${\$}(1+Z$)^{{$1-A$}{1$+Z)라고 가정합시다.A$}$, 그리고 n=A-2에 대한 견적은 유효하다.해결책은 순서 A-1의 쇤베르크스 B-스플라인이며, 여기서 (A-1)-th 파생상품은 단편적으로 일정하므로 (A-2)-th 파생상품은 립시츠-연속적이다.A=1은 단위 간격의 지수 함수에 해당한다.

• A=2와 p 선형은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle a(Z)={\frac {1}{4}(1+Z)^{2}(1+Z)+c(1-Z)).}$

이 정도 3 다항식을 확장하고 4개의 계수를 직교성 조건에 삽입하면 ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= 3${\displaystyle c^{2}=3.}$ 양수$$ 루트는 D4-파형의 스케일링 시퀀스를 제공한다(아래 참조).

참조

• 잉그리드 다우베치:1992년 Wavelet에 대한 10개의 강의.
• 프로시. 제1차 NJWavelets, Subband and Transforms에 관한 IT 심포지엄, 1990년 4월.