아웃(Fn)

수학에서 Out(F_n)은 n개의 발전기에 있는 자유 그룹의 외부 자동모형 그룹이다.이들 집단은 기하학적 집단 이론에서 중요한 역할을 한다.

우주공간

Out(F_n)은 Culler-Vogtmann Outer space로 알려진 세포 콤플렉스에서 기하학적으로 작용하는데, 이 공간은 원의 꽃다발을 위한 Teichmüler 공간으로 생각할 수 있다.

정의

외부 공간의 한 지점은 본질적으로 R ${\$ }-그래프 $\mathbb {R}$ X 동그라미 부케에 대한 호모토피 등급의 선택과 함께 n 원의 부케에 상당하는 동그라미 X 호모토피다. $\mathbb {R}$ ${\$ -그래프는 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 에 가중치가 있는 가중 그래프일 뿐이다 $\mathbb {R}$ 모든 가중치의 합은 1이어야 하고 모든 가중치는 양수여야 한다.또한 모호성을 피하기 위해(그리고 유한한 치수 공간을 얻기 위해), 각 꼭지점의 유효성은 최소한 3이어야 한다.

호모토피 동등성 f를 피하는 더 자세한 설명은 다음과 같다.우리는 n개의 변수에 있는 $F_{n}$ $F_{n}$ 그룹 F $F_{n}$ {\ $displaystyle$ F_ ${n$ }을 사용하여 n개의 원 부케의 기본 그룹을 식별할 수 있다.또한 X의 최대 트리를 선택하고 남은 각 가장자리에 대해 방향을 선택할 수 있다.이제 우리는 $F_{n}$ 과 $F_{n}$ $F_{n}$ 방법으로 F n {\ $displaystyle$ F_{ $n}$ 의 단어 하나를 각 남은 가장자리에 할당할 것이다.e로 시작한 다음 최대 트리에서 e의 원점으로 되돌아가는 닫힌 경로를 고려하십시오.이 경로를 f와 함께 구성하면 n개의 원이 있는 꽃다발에서 폐쇄 경로를 얻을 수 있으며, 따라서 기본 $F_{n}$ F n $F_{n}$ {\ $displaystyle F_{n}}$ 의 요소가 된다 $F_{n}$ 이 원소는 잘 정의되어 있지 않다; 만약 우리가 자유 호모토피에 의해 f를 바꾼다면 우리는 또 다른 원소를 얻게 된다.알고 보니, 이 두 원소는 서로 결합되어 있고, 따라서 우리는 이 결합 등급에서 순환적으로 감소된 고유한 원소를 선택할 수 있다.이러한 데이터로부터 f의 자유 호모토피 타입을 재구성하는 것이 가능하다.이 견해는 최대 트리와 나머지 가장자리의 방향을 선택해야 하기 때문에 f의 추가 선택을 피하고 추가적인 모호성이 발생한다는 단점을 가지고 있다는 장점이 있다.

외부공간에 대한 Out(F_n)의 작동은 다음과 같이 정의된다. $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 의 모든 자동모형 g는 n 원의 부케의 자기 호모토피 동등성 g g을 유도한다 $F_{n}$ .g′으로 f를 합성하면 원하는 동작을 한다.그리고 다른 모델에서는 g를 적용하여 결과 단어를 주기적으로 감소시키는 것에 불과하다.

길이 함수에 연결

외부 공간의 모든 지점은 고유한 길이 $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ : $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 을(를) 결정한다 $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 의 단어는 선택된 호모토피 동등성을 통해 X의 폐쇄 경로를 결정한다 $F_{n}$ .단어의 길이는 닫힌 경로의 자유 호모토피 클래스에서 경로의 최소 길이가 된다.그러한 길이 함수는 각 결합 등급마다 일정하다.할당 $X\mapsto l_{X}$ $X\mapsto l_{X}$ $X\mapsto l_{X}$ $X\mapsto l_{X}$ ${\$ 는 무한한 차원의 투영 공간에 외부 공간을 내장하는 것을 정의한다 $X\mapsto l_{X}$ .

외계의 단순 구조

두 번째 모델에서 오픈 심플렉스(open simplex)는 $\mathbb {R}$ R ${\$ - 그래프를 $\mathbb {R}$ 통해 제공되며, 조합학적으로 동일한 기본 그래프를 가지고 있으며 동일한 에지는 동일한 단어로 레이블이 지정된다(가장자리의 길이만 다를 수 있음).이러한 심플렉스의 경계 단순화는 에지를 접음으로써 이 그래프에서 발생하는 모든 그래프로 구성된다.이 가장자리가 루프일 경우 그래프의 호모토피 유형을 변경하지 않고 접을 수 없다.따라서 경계가 단순하지 않다.그래서 사람들은 우주공간을 몇몇 단순함이 제거된 단순한 복합공간으로 생각할 수 있다. $\mathrm {Out} (F_{n})$ $\mathrm {Out} (F_{n})$ t $\mathrm {Out} (F_{n})$ ( $\mathrm {Out} (F_{n})$ ) ${\displaystyle \mathrm {Out}(F_{n})$ 의 동작이 단순하고 $\mathrm {Out} (F_{n})$ 동위원소 그룹이 유한한지 쉽게 확인할 수 있다.

구조

The abelianization map $F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}$ induces a homomorphism from $\mathrm {Out} (F_{n})$ to the general linear group $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ , the latter being the automorphism group of ${\d$ $isplaystyle \mathb{Z} ^{n$ 이 맵은 위에 있으며 $\mathrm {Out} (F_{n})$ $\mathrm {Out} (F_{n})$ $\mathrm {Out} (F_{n})$ $\mathrm {Out} (F_{n})$ ) ${\displaystyle \mathrm {Out}(F_{n})$ 을 그룹 확장자로 만들고 $\mathrm {Out} (F_{n})$ ,

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

→

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

r

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

(

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

)

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

→

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

t

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

(

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

) → G

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

(

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

)

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

→

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\mathrm {GL

(n

mathb {Z}

)\

to 1.

커널 $\mathrm {Tor} (F_{n})$ Fn ) ${\displaystyle \mathrm {Tor}(F_{n})$ 은 $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 의 Torrelli 그룹이다 $\mathrm {Tor} (F_{n})$ $F_{n}$

사례 $n=2$ = $n=2$ $n=2$ 에서 $n=2$ 맵 $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ ( $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ → $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ L ( $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ , $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ ) $\mathrm {Out}(F_{n})\mathrm {GL}(n,\mathb {Z} )$ 은 이형성이다 $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ .

클래스 그룹 매핑과 유사

F $F_{n}$ ${\$ 이 $F_{n}$ (가) n원 부케의 기본 $\mathrm {Out} (F_{n})$ 이기 때문에, $\mathrm {Out} (F_{n})$ u $\mathrm {Out} (F_{n})$ ( $)$ {\ $displaystyle$ \ $mathrm {Out}(F_{n})$ 은(호모토피 범주에서)의 n원 부케의 매핑 클래스 그룹으로 토폴로지적으로 설명할 수 있다 $\mathrm {Out} (F_{n})$ .그 표면의 기본 그룹의 외부 자동형 집단에 딸꾹질을 한다.

참고 항목

참조

Culler, Marc; Vogtmann, Karen (1986). "Moduli of graphs and automorphisms of free groups" (PDF). Inventiones Mathematicae. 84 (1): 91–119. doi:10.1007/BF01388734. MR 0830040.
Vogtmann, Karen (2002). "Automorphisms of free groups and outer space" (PDF). Geometriae Dedicata. 94: 1–31. doi:10.1023/A:1020973910646. MR 1950871.
Vogtmann, Karen (2008), "What is … outer space?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (7): 784–786, MR 2436509

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