파데 테이블

복잡한 분석에서, Padé 테이블은 합리적인 Padé 근사치의 무한 범위일 수 있는 배열이다.

R_{m, n}

주어진 복잡한 공식 파워 시리즈로 말이야Padé 표에 놓여 있는 특정 근사치 순서는 종종 홀로모픽 또는 용적함수의 지속적인 부분 표현에 대한 연속적인 수렴과 일치하는 것으로 보일 수 있다.

역사

비록 초기의 수학자들이 초월함수에 대한 합리적 근사들의 순서를 포함하는 산발적인 결과를 얻었지만, 프로베니우스 (1881년)는 분명히 근사들을 표의 형태로 구성한 첫 번째 사람이었다.앙리 파데는 1892년 그의 박사학위 논문 Sur la propositionche d'une ponferation parales presentals propresentals proprecentals, 1892년에 이 개념을 더욱 확대했다.이후 16년 동안 파데는 자신의 표의 특성을 탐구하고 표와 지속적인 분수를 분석하는 데 관련된 28개의 논문을 추가로 발표했다.^[1]

Padé 테이블에 대한 현대의 관심은 H. S. Wall과 Oskar Perron에 의해 되살아났다. 그는 주로 테이블과 특정 등급의 지속적인 분수의 연결에 관심이 있었다.대니얼 샨크스와 피터 윈은 1955년에 관한 영향력 있는 논문을 발표했고, W. B. 그랙은 70년대에 광범위한 수렴 결과를 얻었다.더 최근에는 전자 컴퓨터의 광범위한 사용이 그 주제에 대한 많은 추가적인 관심을 자극하고 있다.^[2]

표기법

함수 f(z)는 공식 파워 시리즈로 표현된다.

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots =\sum _{l=0}^{\inful }c_{l}z^{l}}}}}}}}}$

여기서 c₀ ≠ 0, 관례상.그런 다음 f(z)에 대한 Padé 테이블의 (m, n)번째^[3] 항목_{m, n} R은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R_{m,n}(z)={\frac {P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{m}z^{m}}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots +b_{n}z^{n}}}}$

여기서 P_m(z)와 Q_n(z)는 각각 m과 n 이하의 다항식이다.계수 {a_i} 및 {b_i}은(는) 항상 식을 고려하여 찾을 수 있음

${\displaystyle f(z)\ 관련 \sum _{l=0}^{m+n}c_{l}z^{l}=:f_{apx}(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)f_{apx}(z)=P_{m}(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}z^{2}+{2}cdots +c_{m+n}z^{m+n}\right)=P_{m}(z)}$

그리고 m + n까지 z의 유사한 힘의 계수를 동일시한다.열강들의 계수의 경우 m+1에 m+n, 오른 쪽은 0과 결과적인 시스템의 1차 방정식이 포함된 균일계의 n방정식의 n+1미지수 bi, 그렇게 허용하지 않는다의 무한히 많은 솔루션 각각의 여부를 판단한 가능한 Qn.그럼 쉽게 그 방정식 abov의 첫번째 m계수 해당하는에 의해 발견된다.e. 단, 취소로 인해 생성된 이성함수_{m, n} R이 모두 동일하므로 (m, n)번째 항목이 Padé 테이블의 (m, n)번째 항목이 고유하다는 것을 보여줄 수 있다.^[2]또는 b₀ = 1을 요구하여 표를 표준 형태로 만들 수도 있다.

비록 Padé 표의 항목들은 항상 이 방정식 시스템을 풀어서 생성될 수 있지만, 그러한 접근방식은 계산적으로 비싸다.엡실론 알고리즘과 같은 더 새롭고 시간 절약적인 방법에 의해 Padé 테이블의 사용은 meromorphic 함수로 확장되었다.^[4]

블록 정리 및 정규 근사치

(m, n)번째 근사치를 구성하는 방법 때문에 차이

Q_n(z)f(z) − P_m(z)

첫 번째 학기가 바로 그 정도인 권력 시리즈다.

m + n + 1.

그 차이의 첫 번째 학기가 정도라면

m + n + r + 1, r > 0,

그 다음, 합리적인 함수 R이_{m, n} 차지한다.

(r + 1)²

Padé 표의 셀, 위치(m, n)에서 위치(m+r, n+r)까지 포함.즉, 표에 같은 이성적 함수가 두 번 이상 나타나면 그 이성적 함수가 표 안에 있는 세포의 네모난 블록을 차지한다는 것이다.이 결과는 블록 정리라고 알려져 있다.

특정한 이성적 함수가 정확하게 파데 표에서 한 번 발생하면 f(z)에 대한 정상 근사치라고 한다.완전한 파데 테이블의 모든 항목이 정상이라면 테이블 자체는 정상이라고 한다.일반 파데 근사치는 다음과 같이 f(z)의 테일러 시리즈 팽창에서 계수 c의_n 결정 인자를 사용하여 특성화할 수 있다.(m, n)번째 결정 요인 정의

${\displaystyle D_{m,n}=\left{\begin{행렬}c_{m}&, c_{m-1}&, \ldots &, c_{m-n+2}&, c_{m-n+1}\\c_{m+1}&, c_{m}&, \ldots &, c_{m-n+3}&, c_{m-n+2}\\\vdots &, \vdots &,&\vdots &, \vdots \\c_{m+n-2}&, c_{m+n-3}&, \ldots &, c_{m}&, c_{m-1}\\c_{m+n-1}&, c_{m+n-2}&, \ldots &, c_{m+1}&, c_{m}\\\end{매트릭스}}\right. }$

k_k < 0의 경우 D_m,0 = 1, D_m,1 = c_m, c = 0으로 표시한다.그러면

• f(z)에 대한 (m, n)번째 근사치는 네 가지 결정 요인 D_m,n−1, D_m,n, D 및_m+1,n D가_m+1,n+1 소멸되지 않는 경우에만 정상이다.
• Padé 표는 결정 요인 D 중_m,n 어느 것도 0이 아닌 경우에만 정상이다(특히 이는 f(z)의 시리즈 표현에서_k 계수 c 중 어느 것도 0이 될 수 없음을 의미).^[5]

연속 분수가 있는 연결부

분석적 지속분수가 나타날 수 있는 가장 중요한 형태 중 하나는 규칙적인 지속분수로서, 이는 형태의 지속분수다.

${\displaystyle f(z)=b_{0}+{\proxac {a_{1}z}{1-{1-{a_{2}z}{1-{1-{1-{3}z}{1-{\pa_{4}z}{1-{1-\ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

여기서 ≠ 0은_i 복합 상수, z는 복합 변수다.

주 대각선을 따라 정규 지속 분수와 정규 근사치를 갖는 파데 표 사이에는 밀접한 관계가 있다: 파데 근사치 R_0,0, R_1,1, R, R의_1,02,12,2 "stairstep" 시퀀스는 그 시퀀스가 정규 지속 분수의 연속적인 수렴과 일치하는 경우에만 정상이다.즉, Padé 테이블이 주 대각선을 따라 정상인 경우, 규칙적인 연속 분수를 구성하는 데 사용할 수 있으며, 함수 f(z)에 대해 규칙적인 연속 분수를 나타내는 것이 존재한다면, f(z)를 나타내는 Padé 테이블의 주 대각선은 정상이다.^[2]

예제 - 지수함수

여기 지수함수에 대한 Padé 표의 예가 있다.

지수함수 e에^z 대한 Padé 표의 일부

n m	0	1	2	3	4
0	${\displaystyle {\frac{1}{1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{1}:{2}}:}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{1}:{2}}:z^{2}-{\scriptstyle {\\frac{1}{6}}z^{3}}}}}}}}}}}}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1}{1-z+{\frac{1}{1}{1}:{2}}-{{1}{6}z^{1}{6}}}+{\frac{1}{24}z^{4}}}}}}}}}}}}}}}$
1	${\displaystyle {\frac {1+z}{1}}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\scriptstyle {1}{1}:{1}z}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}z}}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\scriptstyle {1}{1}{3}z}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\script {\frac {1}{6}}z^{2}}:}}}}}}}}}}{1-{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\frac{1}{4}z}{1-{4}}z}{1-{4}}z+{\frac{1}{4}}z^{3}}}}}{\fractstyle{\frac}}}}z^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {{\frac{1+{\frac{1}{5}}{1-{1-{1-{4}{5}}{5}}}{10}}}z^{1}{1}{15}z^{120}z^{4}}}}}}}}}}}}}}}{120}z^{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
2	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{1}:{1}z^{1}:{1}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\frac{2}{3}}z+{\scriptstyle {\frac{1}{6}}z^{1}{1-{\scriptstyle {1}{1}}z}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\frac{1}{1}:{2}}:z+{\frac{1}{1}}z^{2}}:{1-{\frac 스타일 {1}{1}{1}}}z+{2}}:{\frac 스타일 {\12}z^{2}}:2}}:}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{3}}z+{\frac {1}{30}}z^{2}}{1-{\frac {2}{3}}z+{\frac {1}{5}}z^{2}-{\frac {1}{30}}z^{3}+{\frac {1}{360}}z^{4}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {1}{1}{1}:{2}}:z^{2}+{\scriptstyle {\frac{1}{6}}z^{3}}}}}}}{1}:{1}}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1+{\frac{3}{4}}z+{\frac{1}{1}{4}}}z^{2}+{\frac{1}}zyle{1}}{1-{24}}}}z}}{1-{\scriptstylestyle {\{1}{1}}}}}}}z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {3}{7}}z+{\frac {1}{14}}z^{2}+{\frac {1}{210}}z^{3}}{1-{\frac {4}{7}}z+{\frac {1}{7}}z^{2}-{\frac {2}{105}}z^{3}+{\frac {1}{840}}z^{4}}}}$
4	${\displaystyle {\frac{1+z+{\scriptstyle {1}{1}{1}:{2}}:z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{1}{6}}}}}{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{1}}}z^{4}}}}:{1}:{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{15}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{360}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{7}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {2}{105}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{840}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{14}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{210}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}+{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}{1-{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}-{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}}}$

몇 가지 특징이 바로 나타난다.

• 표의 첫 번째 열은 e를^z 위한 Taylor 시리즈의 연속적인 잘라내기들로 구성된다.
• 마찬가지로, 첫 번째 행은 e의^−z 연속적인 확장의 연속적인 자르기들의 왕복선을 포함한다.
• 근사치 R과_m,n R은_n,m 상당히 대칭적이다 – 분자와 분모가 서로 교환되고 + 부호와 마이너스 부호의 패턴이 다르지만, 이 근사치에서 모두 동일한 계수가 나타난다.실제로 일반화된 초지하계 계열의 1 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1}F_{$1}}$ 표기법을$$ 사용하여

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {{}_{1}F_{1}{1}(-m;-m-n;z)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-z)}}}$

• (주_n,n 대각선 상에서) R과 관련된 계산은 상당히 효율적으로 수행될 수 있다.예를 들어,₇₂₀ R은_3,3 /z를⁶ 통해 지수함수에 대한 파워 시리즈를 완벽하게 재현하지만, 2입방 다항식의 대칭성 때문에 매우 빠른 평가 알고리즘을 고안할 수 있다.

Gauss의 지속 분수를 도출하는 데 사용되는 절차는 지수함수에 대해 다음과 같은 C-프랙션 확장을 도출하기 위해 특정 결합 초기하계에 적용될 수 있으며, 전체 복잡한 평면 전체에 걸쳐 유효하다.

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+-\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

근본적인 재발 공식을 적용함으로써, 이 C-fraction의 연속적인 수렴이 Padé 근사치 R_0,0, R, R의_1,01,1 계단 순서라는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 이 경우, 밀접하게 관련된 지속 분수는 ID로부터 얻을 수 있다.

${\displaystyle e^{z}={\frac {1}{e^{-z}};}$

계속 이어지는 부분은 다음과 같다:

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

이 분수의 연속적인 수렴체는 파데 표에도 나타나며, 시퀀스_0,0 R_0,1, R_1,1, R_1,2, R_2,2, …을 형성한다.

일반화

형식 뉴턴 시리즈 L은 형식이다.

${\displaystyle L(z)=c_{0}+\sum _{n=1}^{{n}\prod _{k=1}^{n}(z-\beta _{k})$

여기서 복합 평면 내 점의 시퀀스 {β_k}을(를) 보간 점 집합이라고 한다.그러한 직렬 L에 대해 위에서 설명한 절차와 완전히 유사한 방식으로 일련의 합리적인 근사치 R을_m,n 형성할 수 있으며, 근사치는 뉴턴-파데 표에 배열할 수 있다.뉴턴-파데 표의 일부 "staircase" 시퀀스는 형태인 Tiele형 연속 분수의 연속적인 수렴과 일치한다는 것이 밝혀졌다^[6].

${\displaystyle a_{0}+{\putac {a_{1}(z-\propert_{1}{1-{1}{1-{\putac {a_{2}(z-\propert_{3})(z-\put_{3}}}{1-\dots}}}}}}}}}}}.}$

수학자들도 0의 근방과 무한의 근방에서 f(z)의 함수를 번갈아 나타내는 두 개의 시리즈, 즉 z의 힘, 1/z의 힘을 고려하여 2점짜리 Padé 테이블을 구성했다.^[2]

참고 항목

• 샨크스 변환

메모들

참조

• Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Theory and Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 185–197. ISBN 0-201-13510-8.
• Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. pp. 377–415. ISBN 0-8284-0207-8.
  (이것은 D가 원래 발행한 책을 재인쇄한 것이다. 반 노스트랜드 컴퍼니, 1948년.)